江蘇省2025屆數學高二上期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°2．若函數恰好有個不同的零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．下列命題正確的是（）A經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面4．十二平均律是我國明代音樂理論家和數學家朱載堉發明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數學意義是：在1和2之間插入11個正數，使包含1和2的這13個數依次成遞增的等比數列.依此規則，插入的第四個數應為（）A. B.C. D.5．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點P為雙曲線右支一點，為的內心，若成立，給出下列結論：①點的橫坐標為定值a；②離心率；③；④當軸時，上述結論正確的是（）A.①② B.②③C.①②③ D.②③④6．已知等差數列，，則公差d等于（）A. B.C.3 D.-37．設，，，則，，大小關系是A. B.C. D.8．已知隨機變量服從正態分布，，則（）A. B.C. D.9．已知，，若，則實數的值為（）A. B.C. D.210．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.2011．已知函數，，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實數a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]12．若函數，則單調增區間為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是________.14．已知數列中，.若為等差數列，則______.15．在空間直角坐標系Oxyz中，點在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.16．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費滿8千元，可減8百元.方案二：消費金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子，裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子，裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球（這些小球除顏色外完全相同），其優惠情況為：若抽出3個紅色小球則打6折；若抽出2個紅色小球則打7折；若抽出1個紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費了1萬元，請用所學知識幫助你朋友分析一下應選擇哪種付款方案.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.19．（12分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值20．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為（1）求橢圓的標準方程（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：21．（12分）設命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數m的取值范圍.22．（10分）已知圓C經過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D2、D【解析】分析可知，直線與函數的圖象有個交點，利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可求得實數的取值范圍.【詳解】令，可得，構造函數，其中，由題意可知，直線與函數的圖象有個交點，，由，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，，，作出直線與函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，即當時，直線與函數的圖象有個交點，即函數有個零點.故選：D.3、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D4、C【解析】先求出等比數列的公比，再由等比數列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數列，依題意，，則，，第四個數即.故選：C.5、C【解析】利用雙曲線的定義、幾何性質以及題意對選項逐個分析判斷即可【詳解】對于①，設內切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a，所以①正確，對于②，因為，所以，化簡得，即，解得，因為，所以，所以②正確，對于③，設的內切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，，因為，，所以，所以，所以③正確，對于④，當軸時，可得，此時，所以，所以④錯誤，故選：C6、B【解析】根據題意，利用公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數列，，可得等差數列的公差.故選：B.7、A【解析】構造函數，根據的單調性可得（3），從而得到，，的大小關系【詳解】考查函數，則，在上單調遞增，，（3），即，，故選：【點睛】本題考查了利用函數的單調性比較大小，考查了構造法和轉化思想，屬基礎題8、B【解析】直接利用正態分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題9、D【解析】由，然后根據向量數量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：因，，所以，因為，所以，即，解得，故選：D.10、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查11、B【解析】結合導數和二次函數的性質可求出和的值域，結合已知條件可得，，從而可求出實數a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導函數為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當時，，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調遞減，在（0，1]上單調遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對于任意的，．因為開口向下，對稱軸為軸，又，所以當時，，當時，，則函數在[，2]上的值域為[a–4，a]，且函數f（x）在，圖象關于軸對稱，在（，2]上，函數單調遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點睛】本題考查了利用導數求函數的最值，考查了二次函數的性質，屬于中檔題.本題的難點是這一條件的轉化.12、C【解析】求出導函數，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數，所以，令，得，所以的單調增區間為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉化為的最小值問題，然后結合圖形可解.【詳解】由題設知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知∴∴.故答案為：14、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數列，則，解得故答案為：15、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：216、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優惠，則需要抽出至少一個紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對應概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結論.【小問1詳解】解：根據題意得要使方案二比方案一優惠，則需要抽出至少一個紅球，設沒有抽出紅色小球為事件，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因為，所以選擇方案二更劃算.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設x=2，解得n=(2,-2,1).設直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點：線線平行、線面平行、向量法.19、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當斜率存在時,設利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，得到.判斷出當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當斜率存在時,設即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，則.因為,所以所以.所以當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.20、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結合離