四川省宜賓市南溪區第三初級中學2025屆數學高二上期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.22．我國古代數學名著《算法統宗》是明代數學家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.13．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=A. B.C. D.4．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.5．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.6．已知某班有學生48人，為了解該班學生視力情況，現將所有學生隨機編號，用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.297．已知命題：拋物線的焦點坐標為；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.8．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.49．已知平面的一個法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.10．在直三棱柱中，側面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.11．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面12．在正方體中，AC與BD的交點為M.設則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．銀行一年定期的存款的利率為p，如果將a元存入銀行一年定期，到期后將本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，則10年后到期本利共________元14．已知函數，則的導函數______.15．已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點，且（O為坐標原點）.若，則橢圓的離心率為________16．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）．若，則的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數的為第一檔，高于平均數的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.18．（12分）已知函數，，其中為自然對數的底數.（1）若為的極值點，求的單調區間和最大值；（2）是否存在實數，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．（12分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.20．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數在區間上的最大值；（2）當時，求函數的極值.21．（12分）已知數列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數，即可得到結果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標函數為，由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D2、A【解析】根據題意，轉化為等比數列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.3、D【解析】由歸納推理可知偶函數的導數是奇函數，因為是偶函數，則是奇函數，所以，應選答案D4、A【解析】設，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關于的軌跡方程.5、C【解析】求出基本事件總數與正、副隊長不在同一組的基本事件個數，即可求出答案.【詳解】基本事件總數為正、副隊長不在同一組的基本事件個數為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.6、B【解析】由系統抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學生來自第三組,設其編號為,則,進而求解即可【詳解】由系統抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學生來自第三組,設其編號為,則,所以,故選:B【點睛】本題考查系統抽樣的編號,屬于基礎題7、D【解析】求出的焦點坐標，及等軸雙曲線的離心率，判斷出為假命題，q為真命題，進而判斷出答案.【詳解】拋物線的焦點坐標為，故命題為假命題；命題：等軸雙曲線中，，所以離心率為，故命題q為真命題，所以為真命題，其他選項均為假命題.故選：D8、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B9、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設x軸與平面所成角為，則，因為，所以，故選：C10、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.11、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D12、C【解析】根據空間向量的運算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意求出每年底的本利和，歸納即可.【詳解】由題意知，第一年本利和為：元，第二年本利和為：元，第三年本利和為：元，以此類推，第十年本利和為：元，故答案：14、【解析】利用基本初等函數的求導公式及積的求導法則計算作答.【詳解】函數定義域為，則，所以.故答案為：15、##【解析】由向量的數量積得，從而得，利用勾股定理和橢圓的定義可得的等式，從而求得離心率【詳解】，所以，又，所以是直角三角形，，，又，，所以，，，所以故答案為：16、【解析】設出半焦距c，用表示出橢圓的長半軸長、雙曲線的實半軸長，由可得為直角三角形，由此建立關系即可計算作答,【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得值，根據離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區間對應的小矩形最高，由此能求出眾數；（2）利用各個區間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區間內的居民最多，可以將這個區間的中點175作為眾數的估計值，所以眾數的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數的估計值為：，則月均用電量的平均數的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.18、（1）單調增區間是，單調減區間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點求得，進而可得函數的單調區間和最大值；（2）對導函數，分與進行討論，得函數的單調性進而求得最值，再由最大值是求出的值.【詳解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的單調增區間是，單調減區間是；的極大值為；也即的最大值為.（2）解：∵，∴，①當時，單調遞增，得的最大值是，解得，舍去；②時，由，即，當，即時，∴時，；時，；∴的單調增區間是，單調減區間是，又在上的最大值為，∴，∴；當，即時，在單調遞增，∴的最大值是，解得，舍去；綜上：存在符合題意，此時.【點睛】本題主要考查了函數的導數在求解函數的單調性及求解函數的最值中的應用，還考查了函數的最值求解與分類討論的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的條件.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據命題的真假，結合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結果；（2）求得命題為真對應的的范圍，結合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實數k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當p真q假時，或，得，當p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.20、（1）2（2）當時，沒有極值；當時，極大值為，極小值為.【解析】（1）當時，，可得：.，，得或，列出函數單調性表格，即可最大值；（2），令，得或，分別討論和，即可求得的極值.【詳解】（1）當時，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+極大值極小值由于，，所以函數在區間上的最大值為2.（2），令，得或.當時，，所以函數在上單調遞增，無極值.當時，列表如下：+0-0+極大值極小值函數的極大值為，極小值為.【點睛】本題主要考查根據導數求函數單調性和極值，解題關鍵是掌握導數求單調性的方法和極值定義，考查分析能力和計算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】(1)按照所給條件，先算出的表達式，再按照