專題13參變分離法解決導數問題一、單選題1．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若函數沒有極值點，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數，．對于任意，且，都有，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數（）有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知函數在上有兩個零點，則實數a的最大值為（）A． B．1 C． D．7．已知對任意正數恒成立，則實數的最大值為（）A． B．1 C．2 D．8．已知函數的圖象在處的切線與直線垂直，若對任意的，不等式恒成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數在區間上只有一個零點，則實數可取的值有（）A． B． C． D．10．已知函數有兩個零點，，且，則下列選項正確的是（）A． B．在上單調遞增C． D．若，則11．已知定義在R上的奇函數在上單調遞增，則“對于任意的，不等式恒成立”的充分不必要條件可以是（）A． B．C． D．12．關于函數，下列說法正確的是（）A．當時，在處的切線方程為B．若函數在上恰有一個極值，則C．對任意，恒成立D．當時，在上恰有2個零點三、填空題13．設函數，其中，e是自然對數的底數．若在定義域內有兩個極值，求a的取值范圍___________．14．已知，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是________．15．不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為______．16．已知不等式對任意的恒成立，則實數a的最大值為__________．四、解答題17．已知函數，.（1）若的圖像在處的切線經過點，求的值；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.18．已知函數．（1）若，求函數在處的切線方程；（2）已知，若在上恒成立，求實數的取值范圍．19．已知函數，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．20．已知函數．（1）若函數在處取得極值，求的值并確定在處是取得極大值還是極小值﹔（2）若對恒成立，求的取值范圍．21．已知函數，.（1）若函數在處的切線恰好與直線垂直，求實數的值；（2）討論的單調性；（3）若函數存在極值，在上恒成立時，求實數的取值范圍.22．已知函數.（1）當時，求的極值；（2）若對任意，都有恒成立，求整數a的最大值.專題13參變分離法解決導數問題一、單選題1．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】函數，則，因為函數在上單調遞增，令，則，即，令，函數在上單調遞減，在上單測遞增，故，解得，故選：A.2．若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】依題意：，令，則，令，則，易知單調遞增，，所以單調遞增，故，故，則在上單調遞增，故，即實數的取值范圍為，故選：B.3．若函數沒有極值點，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意可得，沒有零點，或者有唯一解（但導數在點的兩側符號相同），即沒有交點，或者只有一個交點但交點的兩側符號相同.令，，則，令則在上單調遞減且，所以當時，，，單調遞增，當時，，，單調遞減，故當時，取得最大值，又時，，時，，結合圖象可知，即.故選：C.4．已知函數，．對于任意，且，都有，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為，所以同號，因此與的單調性相同，因為，所以函數單調遞增，因此也單調遞增，，因為是增函數，故恒成立．即恒成立．，則，設因為，故單調遞增，又，故當時，，即，因此單調遞減，當時，，即，因此單調遞增，故最小值為．故．故選：D5．已知函數（）有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】令，顯然，所以，令（），則問題轉化為“若圖象與圖象有三個交點，求的取值范圍”.，令，解得，當或時，，在，單調遞增，當時，，在單調遞減，在處取極小值，作出的簡圖，由圖可知，要使直線與曲線有三個交點，則，故實數的取值范圍是.故選：C.6．已知函數在上有兩個零點，則實數a的最大值為（）A． B．1 C． D．【解析】由得，即，.令，，則，令，，則，所以在上單調遞增，又，則當時，，即；當時，，即；所以，又，，且，作出，的簡圖，由圖可知，要使的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則，所以，當函數在上有兩個零點時，實數的最大值為.故選：A.7．已知對任意正數恒成立，則實數的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【解析】由對任意正數恒成立，得，令，則，由得，當時，；當時，.所以，即（當且僅當時，取等號.）所以，當時等號成立，所以，所以的最大值為2.故選：C．8．已知函數的圖象在處的切線與直線垂直，若對任意的，不等式恒成立，則實數的最大值為（）A． B． C． D．【解析】由，得，因為函數的圖象在處的切線與直線垂直，所以，則，所以，對，即,①當時，顯然.②當時，恒成立.令，則.時，恒成立.所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以在內的最小值為，故.③當時，恒成立.當時，顯然，由②知，因為，所以由得.令，顯然在單調遞增，又，，所以存在使得，即.當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減，所以在內的最大值為，故.綜合①②③可知，故實數的最大值為3.故選：C二、多選題9．已知函數在區間上只有一個零點，則實數可取的值有（）A． B． C． D．【解析】由題意可知，在區間上只有一個根，等價于在區間上只有一個根，等價于與的圖像有唯一一個公共點，由得，令得，當時，，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增，∴在區間內，當時取極小值也是最小值，∴當，又，，且，則滿足條件的的取值范圍是，所以可取的值為、.故選:CD.10．已知函數有兩個零點，，且，則下列選項正確的是（）A． B．在上單調遞增C． D．若，則【解析】令得，記，，令得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；且時，，，時，據題意知的圖象與的圖象有兩個交點，且交點的橫坐標為，，所以，故A選項正確；因為所以當時，，遞增，因為，所以，故B選項正確；當時，，，又因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，所以C選項錯誤；因為在遞增，在遞減，且，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，故D選項正確故選：ABD.11．已知定義在R上的奇函數在上單調遞增，則“對于任意的，不等式恒成立”的充分不必要條件可以是（）A． B．C． D．【解析】奇函數在上單調遞增，則在上也單調遞增，即是R上的單增函數；，則，，即在上恒成立；令，則，，記，恒成立，即單減，又，，則必有，使，故，，，，因此，，單增，，，單減，因此，由代入得，故若使在上恒成立，則，根據充分不必要條件的定義可以判斷C、D正確，A、B錯誤；故選：CD.12．關于函數，下列說法正確的是（）A．當時，在處的切線方程為B．若函數在上恰有一個極值，則C．對任意，恒成立D．當時，在上恰有2個零點【解析】對于A，當時，，，所以，故切點為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對于B，，，則，若函數在上恰有一個極值，即在上恰有一個解，令，即在上恰有一個解，則在上恰有一個解，即與的圖象在上恰有一個交點，，，令，解得：，，當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當時，與的圖象在上恰有一個交點，即函數在上恰有一個極值，則，故B正確；對于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設，，則，，令，解得：，，當時，，當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以極大值為，，所以在上的最大值為，所以時，在上，恒成立，即當時，才恒成立，所以對任意，不恒成立，故C不正確；對于D，當時，，，令，則，即，作出函數和的圖象，可知在內，兩個圖象恰有兩個交點，則在上恰有2個零點，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．設函數，其中，e是自然對數的底數．若在定義域內有兩個極值，求a的取值范圍___________．【解析】因為有兩個極值點，所以有兩個零點，即有兩個零點，令，則，因為恒成立，所以導數的正負取決于分子，令，顯然在定義域內單調遞減，且，所以在區間單調遞增，在區間單調遞減，且，，，函數圖象如下圖所示，所以若有兩個交點，則14．已知，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是________．【解析】依題意，知，即對任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當時，．函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減，所以，故實數的取值范圍是．15．不等式在上恒成立，則實數的取值范圍為______．【解析】由不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立令，其中，則，，故在上單調遞減，，故在上單調遞減，所以，，可得，.因此，實數的取值范圍是.16．已知不等式對任意的恒成立，則實數a的最大值為__________．【解析】原不等式變形為，設，，由可知，函數在上遞減，在上遞增，所以恒成立，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號．設，顯然函數為增函數，，，所以存在唯一的，使得．因為不等式對任意的恒成立，所以，即，當時，因為，，所以．故的取值范圍為，即實數a的最大值為1．四、解答題17．已知函數，.（1）若的圖像在處的切線經過點，求的值；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題知的定義域為.又，則.又因為，所以切點為.所以，解得.（2）當時，.當時，不等式恒成立即不等式，恒成立.設，，則.因為，所以.所以在上單調遞減，從而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范圍為.18．已知函數．（1）若，求函數在處的切線方程；（2）已知，若在上恒成立，求實數的取值范圍．【解析】（1）若時，，，，由導數的幾何意義可得，所以在處的切線方程為，即，所以切線方程為．（2）不等式在上恒成立，所以，在上恒成立，所以，在上恒成立，令，，所以在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，所以，所以，所以的取值范圍為．19．已知函數，．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設，若在上有兩個零點，求實數的取值范圍．【解析】（1）當時，，所以，所以，，所以曲線在點處的切線方程，即.（2）由題意知：在上有兩個零點，顯然，由，得，令，則，令，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為，又，時，，故當在上有兩個零點時，，所以，所以實數的取值范圍為.20．已知函數．（1）若函數在處取得極值，求的值并確定在處是取得極大值還是極小值﹔（2）若對恒成立，求的取值范圍．【解析】，解得，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減．在處取得極小值．由，得，設，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，，對恒成立，原問題等價于對恒成立，令，則當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減；，.21．已知函數，.（1）若函數在處的切線恰好與直線垂直，求實數的值；（2）討論的單調性；（3）若函數存在極值，在上恒成立時，求實數的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，函數的定義域為，.，因為在處的切線與直線垂直，則，解得.（2）由（1）可知，，令，對稱軸為，當，即時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增；當，即時，令，得恒成立，所以，，所以在上恒成立，即函數在上單調遞減；在上恒成立，即函數在上單調遞增.綜上所述，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.（3）由（2）可知，函數存在極值，則.對于，不等式恒成立，等價于恒成立.令，則恒成立.令，