蘇科版九年級數學上冊集體備課教案

第1章一元二次方程............................................................-2-

1.1一元二次方程..........................................................-2-

1.2一元二次方程的解法....................................................-5-

1.3一元二次方程的根與系數的關系........................................-19-

14用一元二次方程解決問題................................................-21-

第2章對稱圖形一圓............................................................-25-

2.1圓....................................................................-25-

2.2圓的對稱性...........................................................-30-

2.3確定圓的條件.........................................................-36-

2.4圓周角...............................................................-39-

2.5直線與圓的位置關系...................................................-47-

2.6正多邊形與圓.........................................................-59-

2.7弧長和扇形面積.......................................................-64-

2.8圓錐的側面積.........................................................-67-

第3章數據的集中趨勢和離散程度..............................................-70-

3.1平均數...............................................................-70-

2.2中位數與眾數.........................................................-74-

3.3用計算器求平均數.....................................................-79-

3.4方差.................................................................-82-

3.5用計算器求方差.......................................................-85-

第4章等可能條件下的概率.....................................................-88-

4.1等可能性.............................................................-88-

4.2等可能條件下的概率（一）............................................-90-

4.3等可能條件下的概率（二）............................................-95-

第1章一元二次方程

1.1一元二次方程

教學目標

【知識與能力】

通過觀察，歸納一元二次方程的概念，能熟練的把一元二次方程轉化成一般形式.

【過程與方法】

通過探索實際問題中的數量關系及其變化規律，經歷由具體問題抽象出一元二次方程

的過程，進一步使學生感受方是刻畫現實世界的有效的數學模型.

【情感態度價值觀】

培養學生觀察、猜想、探究、歸納的習慣和能力，體驗數學發現的樂趣.

教學重難點

【教學重點】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教學難點】

正確理解和掌握一般形式中的aWO，“項”和“系數”.

教學過程

一、復習舊知

1、你還記得什么叫方程？什么叫方程的解嗎？

2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎樣的？

3、我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實際問題，你還記得利用

一元一次方程解決實際問題的步驟嗎？

二、問題情境

(1)正方形桌面的面積是2m2,求它的邊長？

(2)矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19米。如果花圃的面積

是24m2,求花圃的長和寬？

(3)我校圖書館的藏書在兩年內從5萬冊增加到7.2萬冊，平均每年增長的百分

率是多少？

(4)長5米的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3米。如果梯子底端向

右滑動的距離與梯子頂端向下滑動的距離相等，求梯子滑動的距離。

4>\5

c3BB，

總結：一元二次方程的概念：

像這樣的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次

數是2(二次)的方程叫做一元二次方程

一元二次方程必須同時滿足的三個條件：

⑴⑵⑶

練習，下列方程中那些是一元二次方程：

(l).x2+x=1

⑵=1

(3).x=—

x

(4).x2-3x+2j=0

(5).X2-3=(X-1)(X+2)

⑺mx2-3x+2=0(也是系數)

(8)(a2+l)y2+(2a-l)y+5-a=0

(y是未知數)

7、一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化為

ax2+bx+c=O的形式，我們把ax2+bx+c=O

(a,b,c為常數，aWO)稱為一元二次方程的一般形式。其中a尤6尤。分別為二

次項、一次項、常數項。a,b,c分別為二次項系、一次項系數以及常數項系數。

(一)思考：下列兩個方程是否是一元二次方程？

(l).av2+bx+c=O

(2).M=o(a/o)

(二)指出下列方程的二次項、一次項和常數項及它們的系數：

x2=2X2+2x=4.4

一2d+19x=24x2-x=0

三、學習新知

例1.:把下面的方程化為一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項.

4X(X+3)=5(X-1)2+8

鞏固練習：P7練習1,2

1.方程(2a-4)/—26*+1=0

(1).在什么條件下此方程為一元二次方程？

(2).在什么條件下此方程為一元一次方程

2.以一2、3、0三個數作為一個一元二次方程的系數和常數項，請盡可能多的寫出

滿足條件的不同的一元二次方程？

1.一元二次方程的定義

一元二次方程的一般形式

本節課主要學習了什么知識？你有什么收獲，與同學交流。

四、經典練習(部分題)

1、下列方程中，關于x的一元二次方程是()

A3(x+1)2=2(x+l)B.-L1-2=0

廠+y

C.ax2+far+c=0D.x2+2x=x2-1

2、用換元法解方程(x2+x)2+(x?+x)=6時，如果設(+x=y,那么原方程可變

形為()

A、y"+y—6=0B、y2—y—6=0

C、y+6=0D、y2+y+6=0

3、已知兩數的積是12,這兩數的平方和是25,以這兩數為根的一元二次方程是

4、已知關于x的一元二次方程(攵+1口—6=0的一個根是2,求k的值.

1.2一元二次方程的解法

第一課時

教學目標

【知識與能力】

了解形如(x+m)2=n(n20)的一元二次方程的解法——直接開平方法.

【過程與方法】

會用直接開平方法解形如以2=/,(aWO,ab》O)的方程.

【情感態度價值觀】

會用直接開平方法解形如a(x-=/,(aW0,a620)的方程.

教學重難點

【教學重點】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教學難點】

正確理解和掌握一般形式中的aWO，“項”和“系數”.

課前準備

無

教學過程

一、知識回顧：

1、把下列方程化為一般形式，并說出各項及其系數。

(1)5=4x--(2)5=3/

⑶y2-G+l)2=(y+2Xy-2)

2.我們曾學習過平方根的意義及其性質，現在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根

有哪些性質？

平方根有下列性質：

(1)一個正數有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數的；

(2)零的平方根是零；(3)負數沒有平方根。

3、填空：

4的平方根是，81的平方根是:100的算術平方根是。

二、自學自悟

思考：如何解方程x2=2呢？

根據平方根的意義，是的平方根，所以，x=

即此一元二次方程的兩個根為

結論：1、根據平方根的意義，x就是2的平方根，，x=±&

這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。

2、形如方程,-左=°依'0)可變形為，=以上20)的形式，用直接開平方法求解。

三、例題學習

例1：解下列方程

(1)x2-4=0；(2)4--1=0；

例2：解下列方程

(1)(x+1)'—2=0；(2)12(2—x)'—9=0.

(這兩題和上面兩題有什么異同點？解法上有什么聯系？

小結：如果一個一元二次方程具有(x+h)2=k(k20)的形式，那么就可以用直接開

平方法求解

例3.解方程(2x—1)J(x—2產

分析：如果把2x-l看成是(x-Z)?的平方根，同樣可以用直接開平方法求解

練習：(2X-1)2=(3-X)2

四、知識梳理與小結

1、1.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟

2、任意一個一元二次方程都可以用直接開平方法解嗎？

形如(x+/?)2=以左20)的方程。

說明：(1)解形如(無+療=依%之°)的方程時，可把(尤+外看成整體，然后直開平方。

(2)注意對方程進行變形，方程左邊變為一次式的平方，右邊是非負常數，

(3)如果變形后形如(X+H)=左中的K是負數，不能直接開平方，說明方程無實數根。

(4)如果變形后形如(x+")2=k中的k=0這時可得方程兩根X”/相等。

鞏固練習

1、解下列方程：

(1)7=169；(2)45-7=0；

(3)12/—25=0；(4)4/+16=0

2.解下列方程：

(1)(x+2)2—16=0(2)(x—1尸一18=0

(3)(l-3x)2=l；(4)(2x+3)z—25=0

1、本節課的主要內容是什么/

2、通過本節課的學習，你有什么收獲，與同學交流一下。

第二課時

教學目標

【知識與能力】

會用配方法解二次項系數為1的一元二次方程，體會配方法是一種重要的數學方法.

【過程與方法】

經歷探究將一般一元二次方程化成(x+加尸=〃(〃20)形式的過程，理解配方法的意

義，體會轉化的思想，向學生滲透知識來源于生活.通過觀察，思考，對比獲得一元

二次方程的解法——配方法.

【情感態度價值觀】

通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情.

教學重難點

【教學重點】

掌握用配方法解二次項系數為1的一元二次方程.

【教學難點】

把一元二次方程轉化為的(x+力2=k(A20)形式.

教學過程

1.填空

1、請寫出完全平方公式。

(a+Z?)2=(a~b)2=

2、用直接開平方法解下例方程：

⑴*+3)2=5(2)(X-5)2+4=13

2、將下列各進行配方:

22

(1)X+2X+=(X+—)

(2)X-8x+-------=(X—)

⑶丁+5y+——=(y+)2

(5)x2+bx+_____=(x+___)2

3.想一想如何解方程/+6X+9=5?

想一想如何解方程J+6x+4=0?

兩個方程之間有什么聯系？

提示：能否將方程/+6x+4=0轉化為(x+加產=〃的形式呢？

定義：把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,然后用開平方法求解,這種解一

元二次方程的方法叫做配方法.

目的：把左邊轉化成(。。。)Jk的形式，右邊的k是一個非負數。

例1：用配方法解下列方程

(I*-4x+3=0

(2)x2+3x-1=0

注意：配方時，等式兩邊同時加上的是一次項系數一半的平方

小結：用配方法解一元二次方程的步驟：

移項:把常數項移到方程的右邊；

配方:方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；

開方:根據平方根意義,方程兩邊開平方；

求解:解一元一次方程；

定解:寫出原方程的解.

1用配方法解下列方程:

(1)X2+12X=-9

(2)-X2+4X-3=0

用配方法解一元二次方程

X2+2X-24=0

知識梳理與小結

課堂反饋練習(一)(看誰準確率高)

1、填空：

(1)尤2+6X+()=()2

27

(2)x-8x4-()=()

(3)/+x+()=()2

27

(4)4X-6x+()=4()

2、用配方法解方程：

29

(1)k+2x=5；(2)%-4x+3=0；

(3)V+8x—2=0；(4)f+7=-6x

課堂反饋練習(二)(看誰又快又準)

1、解下列方程：

(1)X2+2X-3=0；(2)X2+10X+20=0；

(3)x2-6x=4；(4)x2-x=l；

(5)X2-7X+12=0；(6)x2+6x-16=0

本節課主要學習了用配方法解一元二次方程，配方時一定要注意等式兩邊都加一次項

系數一半的平方，尤其要注意負號。

第三課時

教學目標

【知識與能力】

進一步理解配方法和配方的目的，.掌握運用配方法解一元二次方程的步驟，.會利用

配方法熟練靈活地解二次項系數不是1的一元二次方程，進一步體會配方法是一種重

要的數學方法.

【過程與方法】

通過對比用配方法解二次項系數是1的一元二次方程，解二次項系數不是1的一元二

次方程，經歷從簡單到復雜的過程，對配方法全面認識.

【情感態度價值觀】

通過對配方法的探究活動，培養學生勇于探索的學習精神.感受數學的嚴謹性和數學

結論的確定性.故知新，培養學生利用舊知解決問題的能力.

教學重難點

【教學重點】

掌握用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程.

【教學難點】

把一元二次方程轉化為的(*+力2=k(A20)形式.

教學過程

活動一、知識回顧

1、用配方法解下列方程：

(1)x'-6x-16=0；

(2)X2+3X-2=0；

(3)x2+10x-8=0；

(4)x-4x+3=0；

2、方程x2--x+l=0與方程2x~5x+2=0有什么關系？

2

活動二、自學自悟

如何解方程2x-5x+2=0?

點撥：對于二次項系數不為1的一元二次議程，我們可以先將兩邊同時除以二次項系

數，再利用配方法求解

活動三、例題學習

例題1、用配方法解方程

1、3/+8X+1=02、-3/+4x+l=0

(思考：二次項系數不為1怎么辦？二次項系數為負數怎么辦？)

例2、一個小球豎直上拋的過程中，它離上拋點的距離h(m)與拋出后小球運動的時

間t(s)有如下關系：h=24t-5t\經過多少時間后，小球在上拋點的距離是16m?

活動四、知識梳理與歸納

議一議：用配方法解一元二次方程的步驟是：

活動五、課堂反饋練習(一)(力求結果準確)

1、填空：

⑴x2,x+=(x-)；

3

(2)2x-3x+=2(x-)2.

(3)a2+b2+2a-4b+5=(a+)2+(b-)2

2、用配方法解一元二次方程2X2-5X-8=0的步驟中第一步是。

3、方程2(x+4)2-10=0的根是.

4、用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正確的是()

A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4

C.x-2x+l=-+lD.x-2x+l=--+l

22

5、用配方法解下列方程:

(1)2/一7r—4=0；(2)3%2-1=6x

(3)，+15=10x(4)3y2-y-2=0

6、已知(a+b)J17,ab=3.求知-b)”的值.

本節課主要學習了二次項系數不是1時的一元二次方程該怎么解。

第四課時

教學目標

【知識與能力】

理解一元二次方程求根公式的推導過程.會用求根公式解簡單數字系數的一元二次方

程.

【過程與方法】

經歷從用配方法解數字系數的一元二次方程到解字母系數的一元二次方程，探索求根

公式，發展學生合情合理的推理能力，并認識到配方法是理解公式的基礎.；通過對

公式的推導，認識到一元二次方程的求根公式適用于所有的一元二次方程,操作簡單.

提高學生的運算能力，并養成良好的運算習慣.明確運用公式求根的前提條件是斤一

4ac20.

【情感態度價值觀】

感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性.提高學生運算能力，使學生獲得成功體驗，

建立學習信心.

教學重難點

【教學重點】

掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程.

【教學難點】

求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時，代入求根公式常出符號

錯誤.

教學過程

活動一、知識回顧

1、用配方法解一元二次方程的步驟是什么？

2、用配方法解下例方程

(1)2/一7x—2=0(2)2/—4x+5=0

活動二、自學自悟

請嘗試用配方法解一元二次方程：a^+bx+c=0(aWO)

示范：ax2+bx+c=0

x2+—x+—=0

aa

x2+^x=—￡

aa

2.I/。、2、

x+-xb+(—)2=一—c+i(/—b)22

a2aa2a

(x+—)=----------

2a4a

x+±+J〃-4ac

2a2a

-b±y/b2-4ac

2a

小結：一般地，對于一元二次方程a*+6x+c=0

(aWO),當時，它的根是。這個公式叫做一元二次方程的，利用這個公式解一元

二次方程的方法叫做。

活動三、例題學習

例、請你利用求根公式解下列方程：

(1)/+3x+2=0(2)2x~7x=4

解：(2)移項，得2/-7x-4=0

a=2,b=-7,c=-4

b2-4ac=(-7)2-4X2X(-4)=81

._-(-7)±商_7土9

??X---------------------------------------------------

2x24

?一

??x?-4x_A1-

2

活動四、知識梳理與小結

1、用公式法解一元二次方程時要注意什么？

2、任何一個一元二次方程都能用公式法求解嗎？

舉例說明。

3、若解一個一元二次方程時，下一4ac<0,請說明這個方程解的情況。

活動五、課堂反饋練習

1、把方程4-x2=3x化為ax*+bx+c=O(a#0)形式為，b2-4ac=

2、用公式法解下列方程:

(1)X2-2X-8=0；(2)X2+2X-4=0；

(3)2x-3x-2=0；(4)3x(3x-2)+l=0.

(5)2x2+x-6=0(5)x2+4x=2

課堂小結

本節課主要學習了一通公式法求一元二次方程的根，課后要多練習。

第五課時

教學目標

【知識與能力】

能用tf-4ac的值判別一元二次方程根的情況，用公式法解一元二次方程的過程中，

進一步理解代數式萬一4ac對根的情況的判斷作用.

【過程與方法】

經歷觀察、比較、概括二次根式的定義；通過探究二次根式的條件和結果，達成知識

目標.

【情感態度價值觀】

培養學生觀察、猜想、探究、歸納的習慣和能力，體驗數學發現的樂趣.

教學重難點

【教學重點】

一元二次方程的概念和一般形式.

【教學難點】

正確理解和掌握一般形式中的aWO，“項”和“系數”.

教學過程

1、運用公式法解下例方程：

(1)x2-4x+4=0(2)2x2-3x-4=0

(3)X2+3X+5=0

探究新知

對于ax^+bx+c=0的根x=-~~~土'/A

2a

若出現△=〃—4QCV0怎么辦呢？

例如解方程3x2-4X+4=0

小結：當時，有兩個不相等的實數根

當△=()時，有兩個相等的實數根

當△VO時，沒有實數根

舉例：判斷下列方程根的情況

(1)3x2-4x+l=0

(2)3x2-4x+7=0

(3)x2—4x+4=0

解：(1)VA=Z?2-4?C=16-12=4>0

...此方程有兩個不相等的實數根

(2)VA=&2-4ac=16-84=-68<0

，此方程沒有實數根

(3),.,△=&2-4ac=16-16=0

，此方程有兩個相等的實數根

練習：不解方程，判斷方程根的情況

1、x2+3x-4=02、2x2-6x+7=0

3、5x2-6x-4=04、x2-2^5x+5=0

例題：已知方程x2+kx-4=0有兩個相等的實數根，求k的值。

變式1、有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍;

變式2、沒有實數根，求k的取值范圍；

變式3、有實數根，求k的取值范圍；

變式4、若方程變為kx2+3x-4=0有實數根，求k的取值范圍

分析：對于變式4,要考慮k為0時的一元一次方程情況。

本節課主要學習了一元二次方程得根的判別式，要學會利用根的判別式來判斷一元二

次方程根的情況。

第六課時

教學目標

【知識與能力】

了解因式分解法的概念.會用提公因式法和運用乘法公式將整理成一般形式的方程左

邊因式分解，根據兩個因式的積等于0,必有因式為0,從而降次解方程.

【過程與方法】

能經歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發展學生合情合理的推理能力.體驗

解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法.

【情感態度價值觀】

積極探索方程不同解法，通過交流發現最優解法，獲得成功體驗.

教學重難點

【教學重點】

積極探索方程不同解法，通過交流發現最優解法，獲得成功體驗.

【教學難點】

選擇適當的方法解一元二次方程.

教學過程

回顧：

到目前為此，我們已經學習了一元二次方程的幾種解法？

1、直接開平方法x2=a(a20)

2配方法(x+h)2=k(k?0)

3公式法=>x=必坐三伏-癡壯0)

練習：解方程x2—3x.

解法1：配方法

解法2：公式法

探究新知

(建模)我們知道，若aXb=O,

則有a=0,b=0

(應用)解方程：X2=3X.

由d=3x.可知，x(X-3)=0

x=0,X—3=0

??x?=0,x2=3.

(拓展延伸)用上面的方法解下列方程

1、x2+5x.=0

2、x2-25=0

3、(x+2)(x-5)=0

4、2(x—4)+x(x—4)=0

例題教學

例題1、解下列方程

1、x2=-4x2、5x2+3x=0

3、x+3—x(x+3)=0

4^(2x—1)2—x2=0

5、4x(5x+2)=3(5x+2)

解：(3)原方程變形為

(x+3)(1-x)=0

x+3=0或1—x=0

??Xj—3,x21

(4)原方程變形為

(2x—1+x)(2x—1—x)=0

2x—l+x=0或2x—1—x=0

x,———3,xn-1

3

(5)小明是這樣解的：兩邊同時除以

3

(5x+2)得，4x=3x=—

4

請問小明的做法對嗎？正確應該怎么解？

小結：本節課主要學習了用因式分解的方法解一元二次方程，難點是會因式分解。

1.3一元二次方程的根與系數的關系

教學目標

【知識與能力】

了解一元二次方程根與系數的關.系，并能進行簡單的應用.

【過程與方法】

能通過對根與系數關系的探索，提高代數推理的能力與意識.

【情感態度價值觀】

積極探索方程不同解法，通過交流發現最優解法，獲得成功體驗.

教學重難點

【教學重點】

了解一元二次方程根與系數的關系，并能進行簡單的應用.

【教學難點】

了解一元二次方程根與系數的關系，并能進行簡單的應用.

教學過程

探索發現

觀.察下表，你能發現下列一元二次

方程的根與系數有什么關系嗎？

X\X

ax2+bx+c=O2

12

X2-3X+2=O

f+3x+2=0-1-2

23

—5x+6=0

-2-3

x2+5x+6=0

x2-3x=003

解釋規律

你能解釋剛才的發現嗎？

一元二次方程ax2+/?x+c=0

(aWO),如果62—4ac2O,它的兩個根分別是有、蒞.

總結發現

一元二次方程ax2+"+c=0(aWO),如果它的兩個根分別是為、

X".

bc

“1+*2=-------，X?%=一,

CI(2

例題精講

例求下列方程兩根的和與兩根的積：(1)4+2*—5=0；(2)2y+x=l.

需要解方程.嗎？

嘗試與交流

小明在一本課外讀物中讀到如下一段文字：

“一元二次方程上—殺X米=0的兩根是2+百和2-百”，

你能寫出這個方程中被墨跡.污染的一次項系數和常數項嗎？

達標練習

課本練習P23練習1、2.

總結

1.一元二次方程根與系數的關系是什么.？

2.應用一元二次方程的根與系數關系時，首先要把方程化成一般形式；

3.應用一元二次方程的根與系數關系時，要特別注意，方程有實根的條件,

即當且僅當4ac?0時，才能應用根與系數的關系.

1.4用一元二次方程解決問題

第一課時

教學目標

【知識與能力】

經歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，進一步體會一元二次方程是刻畫

現實世界數量關系的有效模型.

【過程與方法】

會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，培養學生的數學應用能力.

【情感態度價值觀】

能檢驗所得的問題的結果是否符合實際意義，進一步提高學生邏輯思維能力、分

析和解決問題的能力.

教學重難點

【教學重點】

分析和解決問題，根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.

【教學難點】

分析和解決問題，根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.

教學過程

解應用題的一般步驟.

第一步：設未知數(單位名稱)；

第二步：列出方程；

第三步：解這個方程，求出未知數的值；

第四步：驗(1)值是否符合實際意義；

⑵值是否使所列方程左右相等.

第五步：答題完整(單位名稱).

問題1：用一根長22cm的鐵絲：

(1)能否圍成面積是30cm2的矩形？

(2)能否圍成面積是32cm2的矩形？

解：設這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm,則矩形的寬是cm.(1)根據題

意，得

.x(ll-x)=3O,

即X2-11X+3O=O.

解這個方程，得玉=5,.々=6.

當玉=5時，ll-x=6；

當々=6時，11一%=5；

答：用一根長22cm的鐵絲能圍成面積是30cm2的矩形。

(2)根據題意，得雙11-x)=32,

即*-llx+32=0.因為〃2-4ac=(-11)2-4x1x3251-128=-7<0,

所以此方程沒有實數解.

答：用一根長22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm?的矩形.

問題2：某商店6月份的利潤是.2500元，要使8月份的利潤達到360。元，平均每月

增長的百分率是多少？

分析：

如果設平均每個月增長的百分率為X,那么7月份的利潤是2500(l+x)元，8月

份的利潤是2500(l+x)2元.

總結

①用一元二次方程解決應用題的基本步驟；

②怎樣去分析問題？

第二課時

教學目標

【知識與能力】

經歷和體驗用一元二次方程解決實際問題的過程，進一步體會一元二次方程是刻畫現

實世界數量關系的有效模型.

【過程與方法】

會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，培養學生的數學應用能力.

【情感態度價值觀】

能檢驗所得的問題的結果是否符合實際意義，進一步提高學生邏輯思維能力、分析和

解決問題的能力.

教學重難點

【教學重點】

分析和解決問題，根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.

【教學難點】

分析和解決問題，根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程.

教學過程

回顧

解應用題的一般步驟.

第一步：設未知數(單位名稱)；

第二步：列出方程；

第三步：解這個方程，求出未知數?的值；

第四步：驗(1)值是否符合實際意義；

(2)值是否使所列方程左右相等.

第五步：答題完整(單位名稱).

問題3：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷

售，增加盈利，商場采取了降價措施.假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商

場平均每天可多售出2件.如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫

的單價降了多少元？

分析：設襯衫的單價降x元，則商場平均每天可多售出2”件襯衫.根據“售出的襯

衫件數X.每件襯衫的盈利=1250元”，列出方程.

問題4：某公司組織一批員工到該風景區旅游.，支付給旅行社28000元，你能確定參

加.這次旅游的人數嗎？

教師適當引導學生可從未知數出發，去表示其他的量.學生上黑板板書解題過程，師

生共同評價，并規范解題格式.

練習

課本P27練習1,2.

總結

①用一元二次方程解決應用題的基本步驟；

②怎樣去分析問題？

第2章對稱圖形--圓

2.1圓

教學目標

【知識與能力】

經歷圓的有關定義的形成過程，理解圓的描述定義和集合定義.

【過程與方法】

理解點與圓的位置關系以及如何確定點與圓的三.種位置關系；了解“圓是到定點距

離等于定長的點的集合”，并能應用它解決相關的問題.

【情感態度價值觀】

經歷探索點與圓的位置關系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數量關

系判斷點.與圓的位置關系，逐步學會用運動的觀點及數形結合的思想去解決問題.

教學重難點

【教學重點】

探索點與圓的三種位置關系.

【教學難點】

用集合的觀點描述圓的定義.

教學過程

引入

出示套圈游戲的圖片，讓學生體會到生活中圓的必要一性.問題：只有一個小立柱，

若全班同學沿著紅線站成一橫排，請問游戲對所有同學公平嗎？如何使得游戲對所

有人公平？

實踐探索一

1.形成定義.

教師展示兩件物品：一段（兩端已打結）的棉線、一段皮筋（兩端已打結）.學生

兩人一小組進行合作，利用它們以及手中的筆，在練習紙上分別作出圓.

2.思考：如何確定一個圓？

實踐探索二

1.回歸游戲.

（1）請學生思考：為什么站成圓形，游戲就公平.？

（教師）設。。的半徑為人點戶到圓心的距離陣"，則有？

（2）甲、乙兩人分別站在圖中力、3兩點處，他倆正準備參加游戲，后來丙、丁也

趕來參加，并分別站在了圖中所示的只。兩點處.

如果你是甲同學，你會有怎樣的看法？

(3)再后來，小兵同學也來參加游戲，他站的位置是圖中所示.的〃點.，但他發現

地上的線幾乎看不清了，請問小兵同學怎樣才能知道自己恰好站在圓上？

2.請你總結一下點與圓有哪些關系？如何判斷？

知識應用

例1已知。。的半徑為4cm,如果點尸到圓心。的距離為4.5cm,那么點尸與。0

有怎樣的位置關系？如果點P到圓心。的距離為4cm、3cm呢？

2.如圖，已知點4請作出到點/的距離等于2cm的點的集合.

(1)這個圓的外部是滿足什么條件的點的集合？

(2)請用陰影表示出到點A的距離小于或等于2cm的點的集合.

3.如圖，已知點只Q,且尸0=4cm.

PQ

(1)畫出下列圖形：到點。的距離一等于2cm的點的集合；到點0的距離等于3cm的

點的集合；

(2)在所畫圖中，到點尸的，距離等于2cm,且到點0的距離等于3cm的點有幾個？

請在圖中將它們表示出來；

(3)在所畫圖中，到點尸的距離小于或等于2cm,且到點。的距離大于或等于3cm

的點的集合是怎樣的圖形？把它表示出來.

4..如圖，己知劭、四是△49C的高，〃為8。的中點.試說.明點B、aD、后在以

點〃為圓心的同一圓上.A

總結

通過今天的學習，你能談談你對圓有什么新的認識嗎？

第二課時

教學目標

【知識與能力】

通過畫圖，了解圓的弦、弧、優弧與劣弧、半徑、直徑及其有關概念.

【過程與方法】

了解同心圓、等圓、等弧的概念.

【情感態度價值觀】

了解“同圓或等圓的半徑相等”，并能應用它解決有關的問題.

教學重難點

【教學重點】

圓中的基本概念的認識.

【教學難點】

圓與直線形的聯系與運用.

教學過程

引入

問題：據統計，某個學校的同學上學方式是，有5()%的同學步行上學，有20%的同學

坐公共汽車上學，其他方式上學的同學有30%,請你.用扇形統計圖反映這個學校學生

的上學方式，并說說你是如何.做的？

實踐探索一

1.圓中的相一關概念.

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.線段BC、/C都是圓。中的弦.

(2)直徑：經過圓心的弦叫做直徑.線段加為直彳空.

（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫弧.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點.分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優弧：大

于半圓的弧叫做優弧.

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

曲線BC、胡C都是圓中的弧，分別記為a'、BAC,其中像弧比'這樣小于半圓周的圓

弧叫做劣弧，像弧物。這樣的大于半圓周的圓.弧叫做優弧.

（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

ZAOB.ZAOC,N8%就是圓心角.

（5）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.

（6）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓（圓心不同）.

（7）等明：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的兩個圓中,

不存在等弧）.

2.同圓與等圓的聯系：同圓與等圓的半徑相等.

實踐探索二

1.如圖，是。。的直徑，。是。。上一點，N為。與N6%有怎樣的..數量關系？

2.拓展總結：連接圓心和半徑，構造等腰三角形是常用的輔助線.

知識應用

例1已知：如圖，點力、6和點C、〃分別在同心圓上，且/月仍

NC與N〃相等嗎？為什卷

例2(1)在圖中，畫出。0的兩條直徑；

(2)依次連接這兩條直徑的端點，得一個四邊形.判斷這個四邊形的形狀，并說明

理由.

例3如圖，扇形如8的半徑的=3,圓心角N403=90°,點。是弧48上異于力、B

的動點，過點。作/于點〃，作綏1必于點E,連接DE,點、G、〃在線段施上,

旦DG=GH=HE.

(1)求證：四邊形0G陽是平行四邊形；(2)當點。在弧上運動時，在切、CG、

加中,是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度，若不存在，請說明

理由.

總結

通過今天的學習，你能談談你的收獲和困惑，對圓有什么新的認識嗎?

2.2圓的對稱性

教學目標

【知識與能力】

經歷探索圓的中心對稱性及有關性質的過程.

【過程與方法】

理解圓的中心對稱性及有關性質，會運用圓心角、弧、弦之間的關系解決有關問題

【情感態度價值觀】

通過探索圓的中心對稱性及有關性質，發展探究能力.

教學重難點

【教學重點】

利用圓的旋轉不變性探索圓的有關性質.

【教學難點】

運用圓心角、弧、弦之間的關系解決有關問題.

教學過程

情境創設

1.觀察轉動的摩天輪，你發現了什么？

2.你知道車輪為什么設計成.圓形？設計成三角形、四邊形又會怎樣？從中你發現了

什么？

實踐探索一

1.操作與探究：

(1)在兩張透明紙片上，分別作半徑相等的。。和。

(2)在。0和。0'中，分別作相等的圓心角N"漢/A'O'B',連接48、A'B'.

(3)將兩張紙片疊在一起，使與。0'重合.

(4)固定圓心，將其中.一個圓旋轉某個角度，使得力與力'重合.你發現了什

么？請與同學交流.

2.思考與探索：

(1)在同圓或等圓中，如果.圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個

圓心角相等嗎？為什么？

⑵如果圓心角所對的弦相等呢？

實踐探索二

相關概念

1.一般地，n的，圓心角對著的弧，n°的弧對著的圓心角.

2.圓心角的度數與它所對的弧的度數相等

例1如圖，48、/。、a'是。。的弦，AAOC=ABOC.N4寬與/胡。相等嗎？為什么？

例2如圖，在△/比'中，NC=90°,ZB=28°,以。為圓心，,0為半徑的圓交

48于點〃，交比'與點￡求忌、宸的度數.

知識應用

1.如圖1,在O0中公=④，ZAQB=50°,求NQM的度數.

圖1

2.如圖2,在。。中，7B=7C,/力=40°,求N48C的度數.

A

圖2

拓展延伸

如圖，在同圓中，若忌=2酚，則/6與2⑦的大小關系是（）.

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.AB=2CDD.不能確定

小結與反思

通過本節課的學習，你對圓的對稱性有哪些認識？

第二課時

教學目標

【知識與能力】

會利用圓的軸對稱性探究垂徑定理、證明垂徑定理.

【過程與方法】

能利用垂徑定理進行相關的計算和證明

【情感態度價值觀】

在經歷探索與證明垂徑定理.的過程中，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法，

明白圓的問題依舊要化歸為直線形問題解決.

教學重難點

【教學重點】

垂徑定理的證明及其簡單應用.

【教學難點】

垂徑定理的證明.

教學過程

情境引入

圓是什么對稱圖形？你是如何驗證的？

實踐探索一

圓的軸對稱性.

1.圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？你是

如何驗證的？

2.如何確定圓形紙片的圓心？動手試一試！

實踐探索二

垂徑定理.

1.操作、探索.

學生拿出事先準備好的透明的紙片，在上面畫一個圓0,再任意畫一條非直徑的弦

CD,作一直徑與切垂直，交點為尸（如圖1）.沿著直徑將圓對折（如圖2）,

你有什么發現？

圖1圖2

2.請你用文字語言概括你對垂直于弦的直.徑的研究過程中發現的結論，其中條件和

結論分別是什么？請用幾何語言表示.

3.請證明你的發現.

定理鞏固訓練

1.下列圖形中，哪些能使用垂/定理，為什么？

⑶（4）

2.如圖，。。直徑切與弦/6（非直徑）交于點M,

加一個條件：,就可得到點"是/方的中點.

例題精講

例1如圖，已知在中，弦的長為8厘米，圓心。到四的距離為3厘米，求

。。的半徑,.

例2如圖，以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦48交小圓于點。、D.力。與

劭相等嗎？為什么？

知識應用

1.“圓材埋壁”是我國古代著名數學家著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓

材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”此問題

的實質是解決下面的問題：“如圖，勿為.。。的直徑，弦力由LG?于點￡CE=\,

48=10,求⑦的長.”根據題意可得徵的長為.

2.已知的直徑50cm,弦AB//CD,且相=40cm,勿=48cm,求熊、切之間

的距離.

拓展延伸

如圖，AB、切是。。的兩條弦，AB//CD,介與腸相一等嗎？為什么？

小結與反思

通過本節課的學習，你對圓的對稱性有哪些認識？

2.3確定圓的條件

教學目標

【知識與能力】

解不在一條直線上的三點確定一個圓，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內

接三角形的概念，會過不在一條直線上的三點作圓.能夠利用尺規，過不在同一直線

上的三點畫出一個圓

【過程與方法】

經歷不在一條直線上的三點確定一個圓的探索過程

【情感態度價值觀】

在探究過程中培養學生歸納探索的精神，滲透類比化歸的思想.

教學重難點

【教學重點】

了解不在.一條直線上的三點確定一個圓.

【教學難點】

通過類比，經歷確定圓的條件的探索過程，說明過不在同一直線上的三點有且只有

一個圓.

教學過程

情境引入

考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時，發現一圓形瓷器碎片，你能幫助考古學家畫出

這個碎片所在的整圓，以便于進行深入的研究嗎？

復習回顧

(1)過一點可作幾條直線？

(2)過幾點可確定一條直線？

(3)過幾個點可以,確定一個圓呢？

實踐探索一：確定圓的條件

1.經過已知點力作圓，可以作多少個？

(師.：請你動手畫出猜想)2.經過已知點/、6作圓，可以作多少個？圓心在什么

圖形上？

(師：請你動手畫出的猜想，你有什么發現？)3.經過力、B、。三點，能不能作

圓？如果能，可以作多少個？圓心在什么位置？如果不能，請說明理由.

（教師進行分步引導：

4、B、C三點有怎樣的位置關系？

①如果過三個點，圓心與這三個點有什么關系？

②經過46的圓心有什么特征？經過8、。的圓心有什么特征？

③請你動手畫畫，你有什么發現？）

4.定理：不在同一直線上的三點確定一個圓?.

實踐探索二：相關概念

由定理可知：

經過三.角形三個頂點可以作一個圓，經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接

圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.

實踐探索三：三角形的外接圓

1.已知△48G用直尺和圓規作三角形力6。的外接圓.

2.想一想:

（1）三角形有多少個外接圓？

（2）三角形的外心如何確定？它到三角形三個頂點的距離有何關.系？

⑶個內接三角形？

3.三角形的外接圓有什么性質？知識應用

如何解決“圓形瓷器碎片重圓”的問題？典型例題

例1如圖，/、氏C三點表示三個工廠，要建立一個供水站，使它到這三個工廠

的距離相等，求作供.水站的位置.（不寫做法，尺規作圖，保留作圖痕跡）

?A

C

?B

課堂訓練

1.請用直尺和圓規分別作出直角三角形和鈍角三角形的外接圓；觀察所

畫圖形，你發現三角形的外心和三角形有何位置關系？

2.選擇題：

三角形的外心具有的性質是（）.

A.到三頂點的距離相等

B.到三邊的距離相等

C.外心必在三角形的內部

D.到頂點的距離等于它到對邊中點的距離

小結

1.作直線.

過一點------可以作無數條直線.

過兩個點----確定一條直線..

2.作圓.

過一個點一一可以作無數個圓.

過兩個點一一可以作無數個圓.

過三個點---不在同一直線上的三個點確定一,個圓；在同一直線上的三個點不能作

圓.

3.三角形的外接圓、圓的內接三角形.

2.4圓周角

教學目標

【知識與能力】

了解圓周角的概念

【過程與方法】

讓學生經歷圓周角與圓心角關系的探索過程，培養學生的動手操作、自主探索和合作

交流的能力

【情感態度價值觀】

能用圓周角與圓心角的關系進行簡單的說理，培養學生合情,推理的意識，掌握說理

的基本方法，從而提高數學素養.

教學重難點

【教學重點】

探索圓周角與圓心角的關系.

【教學難點】

通過分類討論，推理、驗證“圓周角與圓心角的關系”.

教學過程

情境引入

足球訓練場上教練在球門前畫了一個圓圈，進行無人防守的射門訓練，如圖，甲、

乙兩名運動員分別在C、。兩地，他們爭論不休，都說自己所在位置對球門4?的張

角大.如果你是教練，請評一評他們兩個人，誰的位置對球門48的.張角大.

實踐探索一：圓周角的概念

教師：在上面的角有什么特征？如果請你命名，你叫它什么？

頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

實踐探索二：圓周角的性質

1.操作猜想：

畫弧況'所對的圓心角，然后再畫同弧8。所對的圓周角.你發現了什么？

2.驗證猜想：

請同學們驗證自己的猜想.

例題講解

例1如圖，。。的弦//、〃。的延長線相交于點反/月勿=150°,分為70°.求

4ABD、乙他9的度數.

例2如圖，。是△/回的外接圓上的一點，/APC=/CPB=6G°.

求證：是等邊三角形.

練一練

如圖，點力、B、C、〃在。。上,ZBAC=35°

(1)ABDC=°,

理由是;

(2)4BOC=：,

理由是.

BC

拓展提升

如圖，點/、B、。在.00上，點。在圓外，CD、8〃分別.交。。于點尺F,比較/次1C

與/劭。的大小，并說明理由.

變式：移動點〃到圓內，其它條件不變，此時N刃C與N8%的大小又,如何？并說明

理由..

總結

這節課你有哪些收獲和困惑？開始的問題情境，你解決了嗎？

第二課時

教學目標

【知識與能力】

進一步鞏固圓周角的概念、圓周角定理，并能運用定理解決有關問題，掌握半.圓（或

直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

【過程與方法】

經歷圓周角性質的過程，培養學生分析問題和解決問題的能力

【情感態度價值觀】

用聯系的觀點思考問題、轉化問題.

教學重難點

【教學重點】

掌握直徑和所對圓周角是直角之間的相互確定關系，靈活運用同弧所對的圓周角和圓

心角的關系解決問題.

【教學難點】

用聯系的觀點看問題中的條件，注重隱藏條件的發現.

教學過程

情境引入

有一個圓形模具，現在只有一個直角三角板，請你找出它的圓心.

實踐探索一

問題1如圖1,勿是。。的直徑，/是。。上任一點，你能確定N物。的度數嗎?

問題2如圖2,圓周角/歷1(?=90°,弦比1經過圓心。嗎？為什么？

請你對上面的結論進行歸納總?結.

例題講解

例1如圖，四是。。的直徑，弦CD與相交于點E,ZACD=6Q°ZADC=5Q°,

求的度數.

例2已知：8C是。。的直徑，力是。。上一點，ADLBC,垂足為〃，AE=AB,BE

交/〃于點尸.

(1)NN”與/胡〃相等嗎？為什么？

(2)判斷△刈6的形狀，并說明理由.

拓展

1.（追問）圖中是否存在與所相等的其他.線段？

2.在例2中，若點“與點力在直徑%的兩側，龍交力〃的延.長線于點凡其余條

件不變（如下圖），例2中的結論還成立嗎？

解決情境引入問題

“有一個.圓形模具，現在只有一個直角三角板，請你找出它