高三數學三輪復習(理科)

數學熱點一集合簡易邏輯與命題

【考點精要】

考點一.集合中的元素。集合中的元素可以是數、點或范圍等，研究元素時應注意區分。如：

集合A={(x,y)|y=x+2,xe7?},集合B={y[y=x+2,xw尺},集合A中的元素是點而集合B中的

元素是數。

考點二.元素與集合、集合與集合之間的關系.e,口以及。與{。}是兩組極易混淆的概念.e表

示元素與集合之間的關系，口表示集合與集合之間的關系.一般地。表示集合中的一個元素，{a}表

示只含有一個元素的集合。

考點三.集合中元素的互異性.例如集合P={l,a,〃，集合。={。,。2,。以，且P=Q,求實數a,b

的值.在利用兩集合相等求解時，共得到三種結果:⑴a=l,b=O,(2)a=-l,b=O,(3)a=l,b=l.確定

最后的答案時一定驗證，并注意空集。

考點四.空集.空集是不含任何元素的集合，是任何一個集合的子集，是任何一個非空集合的真

子集。空集與任何集合的交集都是空集，例如集合

A={^2<x<8),B={^m-l<x<2m+3\,3口A,求機的取值范圍.解答此題首先要考慮到B是

空集的情況。又如集合4=口|依—1=0},3={x|尤2—3x+2=0},且AU8=B,則實數。=

考點五.命題的否定與否命題.對于一個命題，命題的否定只是否定它的結論，而否命題則是即

否定題設也否定結論.對于命題“若P則q”，其命題的否定是“若P則r"，其否命題是“若「p則

―q”。

考點六.充要條件.條件的充分性和必要性與命題的四種形式有著密切的關系，四種命題的形式

是基礎。對于一些直接利用定義較難作出判斷的充要條件的問題，可利用逆否命題的等價性作出判

斷。如：已知x關于的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,aeR。求方程至少有一個正根的充要條件。

又如：給出下列命題：①實數。=0是直線2y=l與2ax-2y=3平行的充要條件；②若

=O是向+|母=,+4成立的充要條件；③已知x,yeR,“若孫=0,則尤=0或

y=0”的逆否命題是“若x#0或ywO則孫。0"；④“若。和人都是偶數，則a+匕是偶數”的

否命題是假命題。其中正確命題的序號是

考點七.數形結合思想的運用.注意運用數形結合思想，數形結合思想作為一種重要的數學思想

在解決集合等比較抽象的問題時可大有作為，此時可借助韋恩圖、數軸或直角坐標系等工具將抽象

問題具體化.如：設A、B、I均為非空集合，且滿足A口則下列各式中錯誤的是()

A.(GA)D3=/B.(C/A)5G3)=/

C.Ac(G3)=0D.(CIA)r>(C,B)=C,B

解析：利用韋恩圖可知，選B.

考點八.邏輯聯結詞“或”的意義.“或”這個邏輯聯結詞，一般有兩種解釋：一是“不可兼有”，

即“a或b”，是指a,b中的某一個，但不是兩者，日常生活中常采用這種解釋。而教材中一般采

用另一種解釋：“可兼有”，即“a或b”是指a,b中的任何一個或兩者。例如“xwA或尤

是指x可能屬于A但不屬于B；x也可能不屬于A但屬于B；x還可能既屬于A又屬于B.

巧點妙撥

L集合中的元素三個基本特性的應用

(1)確定性：任意給定一個對象，都可以判斷它是不是給定集合的元素，即給定集合必須有明

確的條件，依此條件可以明確地判定某一對象是否是這個集合的元素，如“較大的數”“著名科學

家”等均不能構成集合。

(2)互異性：集合中任何兩個元素都應該是不同的，特別是含有字母的問題，解題后需進行檢

驗。

(3)無序性：集合中元素排列沒有順序。

2.簡易邏輯是一個新增內容，據其內容的特點，在高考中應一般在選擇題、填空題中出現，如

果在解答題中出現，則只會是中低檔題。

3.由于空集是任何非空集合的真子集，因此3=①時也滿足。解含有參數的集合問題時要特

別注意當參數在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況。

【典題對應】

-、集合的有關定義

例1.(2012?山東2)已知全集U=8,1,2,3,4},集合A={1,2,3,},B={2,4},則(CuA)IjB

為

A{1,2,4}B{2,3,4}C{0,2,4}D{0,2,3,4}

二、集合與絕對值不等式的結合

例2.(2012?上海)若集合A={x|2x+l〉0},3={x||x—11<2},則AC3=.

三、集合與充要條件的結合

例3.(2012?山東3)設a>0aWl,則“函數f(x)=a*在R上是減函數”，是“函數g(x)=(2-a)

V在R上是增函數”的（）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

名師坐堂：解決充要條件問題一定要弄清命題的已知與結論的關系，考察是正推還是逆推，無

論是正推還是逆推都要符合邏輯推理原則。

四、集合與一元二次不等式的結合

例4.（2011?山東1）設集合M={x|X2+X-6<0},N={X|1WXW3.},則MflN=（）.

A.[1,2）B.[1,2]C.（2,3]D.[2,3]

【授之以漁】

1.解題技巧：解答選擇題主要考慮以下幾個方面：一、直推法，運用邏輯推理將已知條件進行

推導直接得出。二、倒推法，由結論入手向已知條件遞推。三、驗證法，將所給的答案逐一代入驗

證，符合已知的即為答案。四、數形結合法，將已知條件轉化成圖形通過計算觀察得出結論。五、

猜測法（排除法），對題目的已知條件進行適當類比，推證出相應答案。

2.涉及本單元知識點的高考題，綜合性大題不多.所以在復習中不宜做過多過高的要求，只要

靈活掌握小型綜合題型（如集合與映射，集合與自然數集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件

與必要條件與三角、立幾、解幾中的知識點的結合等）映射的概念以選擇題型出現，難度不大。

3.活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發點。利用定義，可

直接判斷所給的對應是否滿足映射或函數的條件，證明或判斷函數的單調性與奇偶性并寫出函數的

單調區間等。

4.重視“數形結合”滲透。“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。當研究的問題較為抽象時，

當思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議便是：畫圖利用圖形

的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題。

【直擊高考】

1.以下判斷正確的是（）

A.“若ab=O,則a=O或〃=0”的逆否命題是“若或力#0,則abwO”

B.命題“存在xeR,/+x+4<0”的否定是“存在xeR,/+x+4〉0”

C.命題“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”是全稱命題

u

D.a,b,c成等比數列”是“/=ac”的充要條件

1

2.已知函數/（x）=+（尤-1）°的定義域為M,g（x）=ln（2—x）的定義域為N,則

Jx+2

MC\N=()

A.{x|x>-2}B.(x|x<2)C.{%|-2<x<2}D.以上都不對

3.若人二卜三卒會2-“<8卜3=卜￡即082才>1}則入口(0*)的元素個數為()

A.0B.1C.2D.3

4.設函數/(x)=七2集合M=W/(x)vO},P=Hr(%)>。},若Mu。則實數〃

X1

的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(1,+co)D.[l,+oo)

5.已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是4的()

A.充分不必要條件B.必要不成分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

6.命題甲：(；廣，2』，2一成等比數列；命題乙：lgx,lg(l+x),lg(x+3)成等差數列，則

甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不成分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

7.在下列說法中：⑴“p且q”為真是“2或q”為真的充分不必要條件；⑵“p且q”為

假是“p或q”為真的充分不必要條件；⑶"p或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；⑷

“非p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是

數學熱點二數列、函數與方程

【考點精要】

考點一.等差、等比數列的定義。等差數列的前n項和在公差不為。時是關于n的常數項為0

的二次函數；一般地，有結論”若數列｛凡｝的前n項和S“初7+c(a,"ceR)。則數列｛凡｝

為等差數列的充要條件是c=0"；在等差數列中，S,“，邑?,-5,“，53,”-邑,“(加6"*)也是等差數列。

在等比數列中公比等于T時是一個很特殊的情況要予以關注。如｛%｝是等比數列，則

s,n,S21n-s1n,s3m-s21n(meN*)就不一定是等比數列。

考點二.數列的遞推關系。解決遞推數列問題的基本原則就是對數列的遞推式進行交換。把遞

推數列問題轉換為幾類基本數列進行處理。轉化的常用方法有：(1)待定系數法。如

a?=qan_[+p(pw0,1)可以通過待定系數2將其轉化為形如an+1+2=q(a“+2)的等比數列。(2)

取倒數法，如對％+1的基本變換思想是先取倒數，再通過待定系數法變換為

4+1

———1=-(--l)o(3)觀察變換法，如%+1=2(1+!)24，可以變換為%+:=2與,轉

an+12ann(n+l)~n

化為等比數列，還有取對數法等.解遞推數列問題要注意選取合適的變換遞推式的方法，通過轉換

進行解答，在變換時要小心謹慎、不能出錯.

考點三.數列與分段函數。通過考查分段函數進而明晰數列n在不同的范圍內賦予不同的意義。

1W〃W1OOO,

如：數列｛4｝中,2求Si。。。

n

考點四.數列的通項公式以及前n項和。數列的通項公式以及前n項和公式的本身就是一種特

殊意義的方程，這種方程的解具有整數性及多元化性。高考中諸多題目均能涉及。

數列求和的常用方法:

(1)公式法：(1)等比數列｛2｝的前〃項和Sn=2“一1,則—+a；=

(2)計算機是將信息轉換成二進制數進行處理的。二進制即“逢2進1”，如(1101"表示二進

制數，將它轉換成十進制形式是1x2,+1x2?+0x21+1x20=13,那么將二進制(111…轉換成

2005個1

十進制數是

(2)分組求和法：S“=—1+3—5+71)=

(3)倒序相加法：①求證：C；+3C；+5C；+―+(2〃+1)C；=(〃+1)?2”；

②已知AM三，則/⑴+〃2)+/⑶+/(4)+心+宿)+心=一

(4)錯位相減法：(1)設｛4｝為等比數列,Tn=nax+(〃一l)a2+…+2%+a“，已知4=1,%=4,

①求數列｛6｝的首項和公比；②求數列｛7；｝的通項公式.

(2)設函數/(x)=(x—1)2,g(x)=4(x—1),數列｛%,｝滿足:%=21(a,)=(a,-

a“+i)g(a〃)(“eN+)，①求證：數列｛/—1｝是等比數列；

QO

2,!

②令/?(%)=(6-l)x+(o2-l)x+???+(??-l)x,求函數h(x)在點x=§處的導數/?/(-),并

Q

比較%)與2"-〃的大小。

（5）裂項相消法：（1）求和:----------1------------F,??H------------------------------------

1x44x7(3n-2)x(3n+l)

(2)在數列｛%｝中，an=-^=——-,=,且Sn=9,貝!|n=_____

A/〃+“+1

1III

（6）通項轉換法：求和:1+----+-------+…+--------------=________

1+21+2+31+2+3+-,+71

如：設｛七｝為公比q>l的等比數列，若出004和?2005是方程4/一8%+3=0的兩根,則

a2006+a2007=----------'

考點五.函數、導數、方程、數列的綜合應用。以函數、導數、方程、數列等知識為載體，考

查學生綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等分析問題、解決問題的能力，考查學生對函數與方程思

想、數形結合思想、轉化與化歸思想等思想的運用。

考點六.等差數列前n項和最值的求法：

⑴1%20(或上"V。);⑵利用二次函數的圖象與性質。

—>oj

考點七.考查數列4+1=。％+4"（其中均為常數，（“7（0-以4-1）/0）。一般地，要先在原

遞推公式兩邊同除以“向，進行化簡求解。

巧點妙撥

1.根據遞推公式，通過尋找規律，運用歸納思想，寫出數列中的某一項或通項，主要需注意從

等差、等比、周期等方面進行歸納；掌握數列通項a,與前〃項和S“之間的關系。

2.根據遞推關系，運用化歸思想，將其轉化為常見數列；注意掌握一些數列求和的方法，如：

(1)分解成特殊數列的和，(2)裂項求和，(3)錯位相減法求和，(4)利用數列的周期性求和，(5)利

用正整數的方塞和公式求和等。

3.以等差、等比數列的基本問題為主，突出數列與函數、數列與方程、數列與不等式、數列與

幾何等的綜合應用。

4.求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察求通項；一是根據遞推關

系式求通項。

5.數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮法，放縮通常

有化歸等比數列和可裂項的形式。

6.數列是特殊的函數，而函數又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知

識點交融的題，這應是命題的一個方向。

【典題對應】

一、等差、等比數列的概念與性質

例1.(2010天津理數6)已知｛4｝是首項為1的等比數列，s,是｛4｝的前n項和，且9s3=必，

則數列，的前5項和為()

(A)U15或5(B)331■或5(C)—31(D)1—5

816168

二、求數列的通項與求和

例2.(2012?山東理20)在等差數列｛aj中，a3+a4+a5=84,a9=73.

(I)求數列｛aj的通項公式；

(II)對任意mGN*,將數列｛aj中落入區間(9”，9號內的項的個數記為bm,求數列｛bj的

前m項和S.

三、數列與不等式的聯系

例3.(2009?湖南)已知等比數列｛&｝的首項為q=g,公比4滿足q〉0且“Hl。又已知

日,5%,9%成等差數列。

(1)求數列｛4｝的通項；

—Ill1

(2)令2求證：對于任意〃￡N*,都有一V——+——+…+-----<lo

'2她b力36也+i

四、數列與函數、概率等的聯系

例4.(2008?福建理)已知函數/0)=；%3+/—2.

(I)設｛an｝是正數組成的數列，前n項和為Sn,其中al=3.若點①山/田—ZaQ(nGN*)

在函數

y=f'(x)的圖象上，求證：點(n,Sn)也在y=f'(x)的圖象上；

(II)求函數f(x)在區間(a-l,a)內的極值.

例5.(2007?浙江21)已知數列｛%｝中的相鄰兩項的I,%/是關于x的方程

2kk

%-(.3k+2)x+3k-2=0的兩個根，且。21<a2k(k-1,2,3-

(1)求％,%，/，%;

(2)求數列｛%｝的前2〃項和S2“；

?(.1嚴)?(T)〃4)(_IV(〃+D

記/(“)=%1(sin'n(―1嚴)

(3)+3),Tn=^—+…+---求--證--:--

2sinndy0^2Q3Q4a5a6a2n-ia2n

-<7；,<—(neiV*),

624

【授之以漁】

1.數列中S“與%的關系一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注

意s“與%的關系.關于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：”了解遞推公式是給出數列的

一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項”。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，主要加

大了對“遞推公式”的考查。

2.探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然后給

以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

等差、等比數列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等

題，也有難題。

求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握,

還應該掌握一些特殊數列的求和.

將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分

值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

有關數列與函數、數列與不等式、數列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今后

在這方面還會體現的更突出。

數列與程序框圖的綜合題應引起高度重視。

3.在題型設計方面、選擇題和填空題主要考查數列的概念.“巧用性質、減少運算量”在等差、

等比數列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么"，既要

充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果。等差

與等比數列的基礎知識與基本技能，突出“小、巧、活”的特點；解答題常把數列、函數、不等式

等知識結合.在知識交匯處命題.綜合考查應用意識、推理能力和數學思想方法。

【直擊高考】

n—/7/7—Z7

1.如果數列｛%｝滿足%=2,%=1，且*_-=—_曰（，，22）,則第10項等于（）

111D.1

A.B.C.—

跡F105

=.（”23）,則與等于（）

2.若數列｛4｝滿足由=1,Cl?=

*.2

A.1B.2c.1.D.

2

IVIJT

3.設數列%=—sin——,3=/+&+~+。小在S1,S2,…Si。。中正數的個數（）

n25

4.數列｛%｝中，%=a,。2=b,且滿足。八+i=+。八+29則“2012的值為（）

A.bB.b—aC.—bD.—a

5.數列｛4｝的首項為3,｛2｝為等差數列且d=a,+l-4("eN*).若則63=—2,

九=12,則氣=()

A.0B.3C.8D.11

6.已知函數/(x)=sinx+tanx。項數為27的等差數列｛%｝滿足&e(―g,])，且公差

d#0。若/(/)+/(g)+…/(%7)=0,則當左=時，/(?,)=0?

7.設平面內有n條直線(n?2),其中任意兩條直線都相交且交點不同；若用f(n)表示這n條

直線把平面分成的區域個數，則f(2)=,f(3)=,f(4)=,當n

>4時，f(n)=.

8.已知函數[(x)=log3三,“(和>1),刈々，%)是/'。)圖象上的兩點，橫坐標為一的點P

1-x2

滿足2麗=而+麗(0為坐標原點).

(I)問％+為是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由；

(II)若S“=/d)+/F)+…+/(U),其中〃eN*,且〃22,求工。

nnn

9.已知函數/(x)在(-1,1)上有意義，/(-)=-1,且對Vx,ye(—1,1),有

Ax)+/(>)=/(盧)。

1+xy

(1)試判斷函數/(x)的奇偶性；

(2)對于數列｛%｝,有.=!，x“+i=%一居+'試證明數列｛/(%“)｝成等比數列；

2Ifx,+i

(3)求證：S/(x;)>/(1)o

i=l3

數學熱點三函數與不等式

【考點精要】

考點一.一元二次不等式及其應用。主要考查一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方

程“三個二次”的關系。特別當一元二次不等式的解集是。和R的情況的等價命題：ax1+bx+c>0

的解集是R=1或1一一。如：設相、k為整數，方程力i/—依+2=0在區間（0,1）內

A<0[c>0

有兩個不同實根，則加+k的最小值為（）

A.-8B.8C.12D.13

考點二.絕對值不等式。WWa（a>0）-aWxWa，W2。（。>°）o]>。或r<一。。解含

絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉化為一元一次（二次）不等式（組）進行

求解；

如：（2011年高考山東卷理科4）不等式|x-5|+|x+3|210的解集為

A.[-5.7]B.[-4,6]

C.（―oo,—5]u[7,+oo）D.（―oo,—4]o[6,+oo）

考點三.二元一次不等式組與簡單的線性規劃問題。了解線性規劃的意義，了解線性約束條件、

線性目標函數、可行域、最優解等知識點。考查用線性規劃的方法解決兩種重要的實際問題：一是

給定一定數量的人力、物力資源，怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二

是給定一項任務，怎樣統籌安排能使完成這項任務耗費的人力、物力資源最小。如：設實數滿

x+2y-5〉0

足不等式組2x+y-7〉0,若尤,y為整數，則3x+4y的最小值是

x>0,y>0,

A.14B.16C.17D.19

考點四.不等式的性質。一般不直接單獨命題，往往與指數函數、對數函數、塞函數等結合進

行考查。

如：（2009?湖南1）若log?”<0,（g）〃>1,則（）

A.a>l,b>0B.a>l,b<0C.0<a<l,b>0D.0<b<l,b<0

考點五.利用不等式考查函數的性質。利用不等式的性質考查函數的性質如單調性、周期性、

參數的范圍等。此類題既可以是選擇題、填空題也可以是解答題，考查的范圍比較廣。如：（2010?江

丫？-4-1X>0

蘇11）已知函數/（%）='"，則滿足不等式/（I--）>/（2%）的工取值范圍

1,%<0

是O

考點六.函數的最值。通過考查函數的最值進而考查學生對不等式的性質、函數的性質的理解

和掌握。此類問題綜合性較強，多以解答題的形式進行考查，需要學生具備較好的基礎知識，并且

具有靈活分析問題、解決問題的能力。如：（2009?寧夏銀川）已知

/（x）=/+2xtan。—其中（—工,工）。（1）當8=—工時，求函數/（x）的最

226

大值與最小值；（2）求。取值范圍，使y=/（x）在區間［-1,右］上是單調函數。

考點七.無理不等式的解法。通常以不等式的性質為依據，等價轉化為有理不等式組，對于某

如函數y=五及1

些特殊的無理不等式，可以考慮用數形結合的方法求解。y=等的圖像與性

質。

考點八.利用函數的單調性、恒成立問題解不等式。利用函數的單調性、恒成立問題解不等式。

此類問題多出現解答題中，這類問題較難把握，其關鍵是找到（列出）不等式（組），再解不等式（組）,

其中參變量是一種常用的策略：口2/（%）恒成立=a2/max（x）o

考點九.分式不等式的解法.一般是將分式不等式轉化為整式不等式,如一元二次不等式組,在一

些選擇題和填空題中,有時也用穿根法解.即：

，)f(x)g(x)>0,

>0o/(%)?g(%>0,------<uo<

g⑴g(x)

f(x)g(x)<0,

1<。=于(x)，g(x)<0,------suo

g(%)g(x)g(x)H0.

用“穿根法”解不等式時應注意：①各一次項中x的系數必為正；②對于偶次或奇次重根可轉

化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”.如：（2011年高考上海卷

理科4）不等式山<3的解為

X

考點十.基本不等式的應用.基本不等式這幾年在高考題中時常出現,主要是求一些函數的最值,

注意一正、二定、三相等。特別注意的是，當等號不能成立時，用對號函數（有的資料叫勾函數）

的單調性。如：若實數x,y滿足/+/+母=1,則x+y的最大值是.

巧點妙撥

1.在復習不等式的解法時，加強等價轉化思想的訓練與復習，通過等價轉化可簡化不等式（組），

以快速、準確求解.加強函數與方程思想在不等式中的應用訓練.不等式、函數、方程三者密不可

分,相互聯系、互相轉化.如求參數的取值范圍問題，函數與方程思想是解決這類問題的重要方法.在

不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結論的一個轉化

過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力。因為證明不等式是高

考考查學生代數推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視.

2.強化不等式的應用，突出不等式的知識在解決實際問題中的應用價值，借助不等式來考查學

生的應用意識.高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數、數列、立體幾何、解析幾何和

實際應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵.因

此，在復習時應加強這方面訓練，提高應用意識，總結不等式的應用規律，才能提高解決問題的能

力.

【典題對應】

一、線性規劃與基本不等式

x+2y>2

例1.（2012?山東理5）設變量羽y滿足約束條件<2x+y<4,則目標函數z=3x-y的取值

4x-y>-1

范圍是（）

333

A.[——,6]B1]C.[—1,6]D.[—6,—]

222

二、含絕對值不等式的解法

例2.（2012?山東理13）若不等式|人—4|<2的解集為國1<%<3},則實數k=o

三、分式不等式的解法

v—2x—2

例3.（2010?江西理3）不等式——>——的解集是（）

xx

A.（0,2）B.（—oo,0）C.（2,+oo）D.（―<x>,0）U（0,+co）

四、一元二次不等式的解法

例4.（2009?天津理10）0<b<l+a,若關于x的不等式（x—加？〉（ax）?的解集中的整數

恰有3個，則（）

A.—1<a<0B.0<a<1C.1<a<3D.3<a<6

五、不等式中的恒成立問題

例5.(2010?湖南理20)已知函數/(x)=Y+6x+c3,ceR),對任意的尤eH,恒有

//(%)</(%)。

(1)證明：當％之0時，/(x)<(x+c)2；

(2)若對滿足題設條件的任意dc,不等式/(c)-/S)</(/-〃)恒成立，求M的最小

值。

【授之以漁】

1.不等式的恒成立問題與函數最值有密切的關系，解決不等式恒成立問題，通常先分離參數，再轉化

為最值問題來解：cN/(x)恒成立oc之/(x)111ax；

2.由。<力(%1，%)(仇。</2(七，%)<〃，求g(x「％)的取值范圍，可利用待定系數法，即

設g(Xi,%)=M(七，％)+“2(王，丁1)，用恒等變形求得p,q，再利用不等式的性質求得g(Xi,%)

的范圍。

【直擊高考】

_.14_

1.已知a>0,b>0,a+b=2,則丫=一+—的最小值是()

ab

,79

A.—B.4C.—D.5

22

x+2y-5>0

2.設實數乂y滿足不等式組<2%+丁-7〉0若乂丁為整數，貝!I3x+4y的最小值是()

x>0,y>0

A.14B.16C.17D.19

x<1

3.設函數/(x)=1—，則滿足了(x)V2的x的取值范圍是()

-lOg2,X>1

A.[―1,2]B.[0,2]C.[1,+00)D.[0,+00)

4.設變量滿足同+聞《1,則x+2y的最大值和最小值分別為()

A.1,—1B.2,—2C.1,-2D.2,—1

5.設a>l,且加=1080(。2+1),"=1080(。-1),°=108°(2。)，則以〃〃的大小關系為()

A.n>m>pB.m>p>nC.m>n>pD.p>m>n

6.不等式|x+3|-|x-1|</-3。對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為()

A.(-8,-1]B.[-8,-2)U[5,+8)

C.[1,2]D.(-8,1]u[2,+8)

7.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速

度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數。當橋上的的車流密度達到200

輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/

小時，研究表明；當20<x<200時，車流速度v是車流密度x的一次函數.

(I)當20<x<200時，求函數v(x)的表達式；

(II)當車流密度》為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小

時)

/(x)=v-v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)。

8.若實數x、y、滿足則稱x比y遠離〃z。

(1)若1比1遠離0,求x的取值范圍；

(2)對于任意兩個不相等的正數b,證明：Y+/比尸遠離為萬而；

(3)已知函數/(%)的定義域￡>=[卜片3+孑左，。任取無e。，/(x)等于sinx

和cosx中遠離0的那個值，寫出函數/Xx)的解析式，并指出他的基本性質(結論不要求證明)。

數學熱點四函數與導數

【考點精要】

考點一.函數定義域。考查函數的概念、單調性、解不等式等，借此考查計算能力。如求函數

2

y=71og05(4x-x)的定義域。

考點二.函數的解析式。通過兩種形式考查函數的解析式：一種是客觀題中通過分段函數考查

函數性質，另一種是主觀題中通過解析式的設問，考查函數的性質。如：定義運算a*匕為：

a^b=\a，(a~b\如1*2=1：則函數/(x)=2**2-'的值域為()

b,(a>b)

A.RB.(0,+oo)C.(0,1]D.[1,+oo)

考點三.函數的定義與函數的奇偶性。利用函數的定義與函數的奇偶性考查函數的相關性質。

如設函數/(X)是定義在R上的奇函數，且函數的圖像關于直線X=g對稱，則

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=。

考點四.導數及函數的綜合性質。以函數的單調性為重點，考查導數及函數的綜合性質。如：

(福建)已知函數/(x)=與二9的圖像在點M(—處的切線方程為x+2y+5=0,(I)

%+b

求函數的解析式；(II)求函數的單調區間。

考點五.函數的奇偶性、對稱性。以函數的周期性為依托，綜合考查函數的奇偶性、對稱性等

各種性質，以及對思維能力、推理能力、運算能力的考查。(廣東)設函數/(X)在(-00,+00)上滿足

f(2-x)=f(2+x),f(J-x)=f(J+x),且在閉區間[0,7]上，只有/(1)=/(3)=0。(I)

試判斷函數的奇偶性；(H)試求方程在閉區間上的根的個數，并證明你的結論。

考點六.函數與導數的綜合應用。以指數式、對數式的運算和指數函數與對數函數的性質等基

礎知識為考點，考查分析運用條件、探索運算方向、選擇運算公式、確定運算程序的思維能力和運

算能力。(全國卷)若4=日,。=電2,C=嚨，則()

235

A.a<b<cB.c<b<cC.c<a<bD.b<a<c

考點七.導數、函數的單調性。以函數的值域、極值與最值為考點，考查導數、函數的單調性

_7

等性質。如：已知函數_-,xe[O,l],(I)求/(x)的單調區間和值域；設。之1，函

2-x

32

數g(x)=x-3ax-2a,x&(0,1]若對任意xxe[0,1]，總存在x()e[0,1],使g(x())=/(不)成立,

求a的取值范圍。

考點八.函數或導數的模式構建。以函數知識為平臺，以向量知識為工具，借助其他知識，考

查學生思維能力、邏輯推理能力、模式構建能力與運算能力。如：在直角坐標平面中，已知點

2(1,2),%(2,22)23(3,23),…2"),其中n是正整數，對平面上任意一點人,記人為人關

于Pi點的對稱點，&為A關于22點的對稱點，…，4為A-關于點p,的對稱點。對任意偶數n,

用n表示向量的坐標。

巧點妙撥

1.討論函數的性質時，必須堅持定義域優先的原則.對于函數實際應用問題，注意挖掘隱含在

實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響.

對于含參數的函數，研究其性質時，一般要對參數進行分類討論，全面考慮.如對二次項含參數

的二次函數問題，應分a=0和aWO兩種情況討論，指、對數函數的底數含有字母參數a時，需按

a>l和OVaVl分兩種情況討論.

2.在理解極值概念時要注意以下幾點：①極值點是區間內部的點，不會是端點；②若/(x)在

(a,b)內有極值，那么/(x)在(a,b)絕不是單調函數；③極大值與極小值沒有必然的大小關

系；④一般的情況，當函數/(x)在[a,b]上連續且有有限個極值點時，函數/(乃在[a,b\內

的極大值點和極小值點是交替出現的；⑤導數為0的點是該點為極值點的必要條件，不是充分條件

(對于可導函數而言).而充分條件是導數值在極值點兩側異號.

求函數的最值可分為以下幾步：①求出可疑點，即r(x)=o的解劉；②用極值的方法確定極

值；③將(a,b)內的極值與/(a),/(勿比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值；當/(x)

在(a,6)內只有一個可疑點時，若在這一點處/(%)有極大(小)值，則可以確定/(x)在該點處

了取到最大(小)值.

3.利用求導方法討論函數的單調性，要注意以下幾方面：①/'(x)>0是/(x)遞增的充分條

件而非必要條件(/'(x)VO亦是如此)；②求單調區間時，首先要確定定義域；然后再根據f(x)>

0(或/'(x)VO)解出在定義域內相應的x的范圍；③在證明不等式時，首先要構造函數和確定定

義域，其次運用求導的方法來證明.

函數、導數的綜合問題往往以壓軸題的形式出現，解決這類問題要注意：(D綜合運用所學的數

學思想方法來分析解決問題；(2)及時地進行思維的轉換，將問題等價轉化；(3)不等式證明的方法

多，應注意恰當運用，特別要注意放縮法的靈活運用；(4)要利用導數這一工具來解決函數的單調性

與最值問題.

【典題對應】

例1.(2012?山東理22)已知函數f(x)=In""(k為常數，e=2.71828……是自然對數

ex

的底數)，曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與x軸平行。

(I)求k的值；

(II)求f(x)的單調區間；

(皿)設g(x)=(x?+x)/(x),其中尸(x)為f(x)的導函數，證明:對任意x>0,g(x)<l+e-2。

例2.(2009?山東理)兩縣城A和B相距20km,現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇

一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對