山東省濟寧市鄒城市第一中學2024-2025學年高二上學期10月階段性檢測數(shù)學試題鄒城一中高二階段性檢測數(shù)學試題一?單選題（本大題共10小題，每題5分，共50分）1.下列可使構(gòu)成空間的一個基底的條件是（）A.兩兩垂直 B.C. D.2.在長方體中，下列向量與是相等向量的是（）A. B. C. D.3.在三棱錐中，是棱的中點，且，則（）A. B.C D.4.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.5.現(xiàn)有7張分別標有卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.6.在空間直角坐標系中，已知，則到的距離為（）A.3 B. C. D.7.如圖所示，在二面角的棱上有兩點，，線段，分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則線段的長為（）A. B.1 C.8 D.8.在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當線段、的長度均最短時，（）A. B. C. D.9.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立10.已知正四面體的棱長為6，P是四面體外接球的球面上任意一點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二?多選題（本大題共5小題，每題6分，共30分）11.從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對事件，是互斥事件，但不是對立事件的是（）A.“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”B.“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”C.“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”D.“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”12.給出下列命題，其中正確的是（）A.對空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面B.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D.已知向量，則在上投影向量為13.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C如果與相互獨立，那么，D.如果與相互獨立，那么，14.如圖，平面，正方形邊長為1，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當時，則（）A.B.C.若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D.若PA=1，則直線PE與平面所成角為15.如圖，在正方體中，E、F分別是、的中點，G為線段BC上的動點(含端點)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.存在點G使得直線⊥平面EFGB.存在點G使得直線AB與EG所成角為45°C.G為BC的中點時和G、C重合時的三棱錐的外接球體積相等D.當G與B重合時三棱錐的外接球體積最大三?填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）16.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，則擲得奇數(shù)點的概率是______.17.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石．18.已知三棱錐，點滿足：，過點作平面，與直線，，分別相交于三點，且，，，則______.19.某校進行定點投籃訓練，甲、乙、丙三個同學在固定的位置投籃，投中的概率分別，，p，已知每個人投籃互不影響，若這三個同學各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則p＝______________.20.某中學組織學生到一工廠開展勞動實習，加工制作帳篷．將一塊邊長為的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形（其中），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的帳篷（如圖②）．該四棱錐底面是正方形，從頂點P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線與平面所成角的正弦值為___________．四?解答題（本大題共3小題，共35分）21.在如圖所示的多面體中，平面，平面，為中點，是的中點.（1）證明：平面（2）求點到平面的距離.22.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．23.如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點，為的中點，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；鄒城一中高二階段性檢測數(shù)學試題一?單選題（本大題共10小題，每題5分，共50分）1.下列可使構(gòu)成空間的一個基底的條件是（）A.兩兩垂直 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共面、不共面以及基底等知識來確定正確答案.【詳解】由空間任意三個不共面的向量都可以組成空間的一個基底可得A正確；若，則與共線，此時與必然共面，所以無法構(gòu)成空間基底，B錯誤；與都表示共面，C，D錯誤．故選：A2.在長方體中，下列向量與是相等向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合相等向量的定義進行判斷即可.【詳解】如圖所示的長方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個向量相等，因此本選項正確；C：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確，故選：B3.在三棱錐中，是棱的中點，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合向量的線性運算，即可得出結(jié)果.【詳解】因為是棱的中點，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查用基底表示空間向量，熟記空間向量基本定理即可，屬于常考題型.4.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】運用空間向量平行的坐標結(jié)論計算.【詳解】因為，所以,即，則.故選：C.5.現(xiàn)有7張分別標有的卡片，甲一次性從中隨機抽取5張卡片，抽到的卡片數(shù)字之和為，剩下的2張卡片數(shù)字之和為，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化，再結(jié)合古典概型公式求解即可.【詳解】因為，所以，故，而，所以，解得，所以求的概率即可，從7張卡片抽2張，基本事件有，，共有個基本事件，且設(shè)的概率為，符合題意的事件有，，共9種，所以，故D正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查概率，解題關(guān)鍵是合理消元，轉(zhuǎn)化條件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可．6.在空間直角坐標系中，已知，則到的距離為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量法求解.【詳解】解：因為，所以，所以，所以，所以到的距離為，故選：D7.如圖所示，在二面角的棱上有兩點，，線段，分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則線段的長為（）A. B.1 C.8 D.【答案】D【解析】【分析】如圖，過作∥，過作∥，，連接，然后根據(jù)題意可得為直角三角形，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】如圖，過作∥，過作∥，，連接，因為線段，分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，所以，，所以四邊形為矩形，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為二面角為，所以，因為，所以，所以為等邊三角形，所以,在中，,故選：D8.在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當線段、的長度均最短時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到平面，直線，從而求得最短時，得到為的中心，為的中點，求得的長，結(jié)合向量的運算公式，即可求得的值.【詳解】解：如圖所示，因為，，可得平面，直線，當最短時，平面，且，所以為的中心，為的中點，如圖所示，又由正四面體的棱長為1，所以，，所以，因為平面，所以，所以中，，所以故選：A9.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點數(shù)為5；事件；事件.則下列說法正確的是（）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨立 D.事件與事件相互獨立【答案】D【解析】【分析】分別寫出事件、、、所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A，B；根據(jù)獨立事件的定義判斷C，D.【詳解】解：由題意可知；；；；對于A，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于B，因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；對于C，因為，，，所以事件與事件不相互獨立，故錯誤；對于D，因為，，，所以事件與事件相互獨立，故正確.故選：D.10.已知正四面體的棱長為6，P是四面體外接球的球面上任意一點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得該正四面體的外接球的半徑，進而得，再根據(jù)求解即可.【詳解】如圖，設(shè)分別為正四面體棱中點，作平面，垂足為，所以，由正四面體的性質(zhì)知三點共線，且，且其外接球的球心在上，記為，因為正四面體的棱長為6，所以，，設(shè)四面體外接球的半徑為，即，所以，，即，解得，所以，，因為P是四面體外接球的球面上任意一點，所以，因為，，所以，因為，所以故選：B【點睛】方法點睛：對于立體幾何的外接球問題，通常處理方法為，找到球心在某個特殊平面上的投影，進而找到球心的位置，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，從而求出表面積或體積.二?多選題（本大題共5小題，每題6分，共30分）11.從裝有3只紅球，3只白球的袋中任意取出3只球，則下列每對事件，是互斥事件，但不是對立事件的是（）A.“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”B.“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”C.“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”D.“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”【答案】AB【解析】【分析】對于A，判斷兩個事件是否可以同時發(fā)生，從而判斷是否為互斥事件，接下來判斷是否為對立事件；對于BCD，利用與A相同的方法進行分析，從而解答題目.【詳解】從袋中任意取出3個球，可能的情況有：“3個紅球”“2個紅球、1個白球”“1個紅球、2個白球”“3個白球”.對于A：“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件，故A正確；對于B：“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，但有可能同時不發(fā)生，故不是對立事件，故B正確；對于C：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事發(fā)生，是互斥事件，其中必有一事件發(fā)生，故是對立事件，故C錯誤；對于D：“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同事發(fā)生，故不是互斥事件，不可能是對立事件，故D錯誤.故選：AB.12.給出下列命題，其中正確的是（）A.對空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面B.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D.已知向量，則在上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義及其結(jié)論，可判斷AB項；根據(jù)已知得出，即可判斷C項；根據(jù)投影向量的概念，即可得出D項.【詳解】對于A：因為，所以四點不共面，錯誤；對于B：根據(jù)空間向量基底的概念，可知正確；對于C：由已知可得，所以或，故錯誤；對于D：因為，，所以在上的投影向量為，故正確.故選：BD13.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨立，那么，D.如果與相互獨立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A選項在前提下，計算出，，即可判斷；B選項在與互斥前提下，計算出，，即可判斷；C、D選項在與相互獨立前提下，計算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項：如果，那么，，故A選項錯誤；B選項：如果與互斥，那么，，故B選項正確；C選項：如果與相互獨立，那么，，故C選項錯誤；D選項：如果與相互獨立，那么，，故D選項正確.故選：BD.【點睛】本題考查在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨立前提下的和事件與積事件的概率，是基礎(chǔ)題.14.如圖，平面，正方形邊長為1，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當時，則（）A.B.C.若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D.若PA=1，則直線PE與平面所成角為【答案】BC【解析】【分析】連接，證明，計算判斷AB；求出異面直線夾角余弦、線面角的正弦判斷CD作答.【詳解】連接，如圖，因為平面，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，則，，A錯誤，B正確；取中點，連接，則，為異面直線PE與BC所成的角或其補角，而平面，平面，有，又，平面，則有平面，平面，于是，，因此，C正確；由平面知，是直線PE與平面所成的角，，顯然，D錯誤.故選：BC15.如圖，在正方體中，E、F分別是、的中點，G為線段BC上的動點(含端點)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.存在點G使得直線⊥平面EFGB.存在點G使得直線AB與EG所成角為45°C.G為BC的中點時和G、C重合時的三棱錐的外接球體積相等D.當G與B重合時三棱錐的外接球體積最大【答案】BCD【解析】【分析】AB選項，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，表達出，，利用空間向量驗證是否存在點G使得線面垂直和異面直線夾角；CD選項，找到球心的位置，設(shè)出球心的坐標，利用半徑相等，得到，由得到，從而得到時，取最大值，即外接球半徑最大，此時，即G與B重合，故D正確；當G為BC中點和當G與C重合時，相等，故外接球半徑相等，體積相等.【詳解】設(shè)棱長為，如圖，以底面中心，為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，．，，A選項；顯然，，故，若⊥平面EFG，EG在面EFG內(nèi)，則，而，A錯誤．B選項；當G為BC中點時，，故，故直線AB與EG所成角為45°，結(jié)論成立，B正確．對于C、D選項；球心O必在過EF中點，且與平面垂直的直線上，設(shè)，G在BC上運動時，，，故，，由可得，，故當時，取得最小值，為，當時，取得最大值，最大值為0，故，∴，，∴時，取最大值，即外接球半徑最大，此時，即G與B重合，故D正確；當G為BC中點時，，；當G與C重合時，，．故外接球是同一個外接球，C正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑或建立空間直角坐標系，利用半徑相等，利用空間向量列出方程，求出半徑.三?填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）16.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，則擲得奇數(shù)點的概率是______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式計算即得.【詳解】擲一枚骰子一次，出現(xiàn)6個不同的結(jié)果，而擲得奇數(shù)點的結(jié)果有3個，所以擲得奇數(shù)點的概率為.故答案為：17.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石．【答案】168石【解析】【詳解】試題分析：由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石．考點：用樣本估計總體．18已知三棱錐，點滿足：，過點作平面，與直線，，分別相交于三點，且，，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再由并利用空間向量共面定理即可得.【詳解】由可得，即可得，所以，又，，，所以，即，又四點共面，由空間向量共面定理可得故答案為：19.某校進行定點投籃訓練，甲、乙、丙三個同學在固定的位置投籃，投中的概率分別，，p，已知每個人投籃互不影響，若這三個同學各投籃一次，至少有一人投中的概率為，則p＝______________.【答案】##【解析】【分析】由已知結(jié)合對立事件的概率關(guān)系及相互獨立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意可知，解得.故答案為：.20.某中學組織學生到一工廠開展勞動實習，加工制作帳篷．將一塊邊長為的正方形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形（其中），然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的帳篷（如圖②）．該四棱錐底面是正方形，從頂點P向底面作垂線，垂足恰好是底面的中心，則直線與平面所成角的正弦值為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)與的交點為點O，以O(shè)為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量以及的坐標，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】設(shè)與的交點為點O，以O(shè)為原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意可知，，故．設(shè)平面的法向量為，又，則有即令，可得平面的一個法向量為．設(shè)與平面的法向量的夾角為，則，則直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：四?解答題（本大題共3小題，共35分）21.在如圖所示的多面體中，平面，平面，為中點，是的中點.（1）證明：平面（2）求點到平面的距離.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，由條件求得，平面的一個法向量為，由可得線面平行．（2）由條件得到，設(shè)與平面所成的角為，則，根據(jù)點到平面的距離求解即可．【小問1詳解】以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∵點是線段的中點，∴點的坐標為，∴，又平面，∴平面的一個法向量為．∴，又平面，∴平面．【小問2詳解】由已知得點坐標為(1,0,0)，∴，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則，設(shè)與平面所成的角為，則,∴點到平面的距離.22.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．【答案】（1）游戲一獲勝的概率為，游戲二獲勝的概率為（2）的所有可能取值為．【解析】【分析】（1）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件與獨立