Chapter6

樣本和抽樣分布

(SampleandStatisticDistribution

)引例一公司欲采購某類產(chǎn)品，假設(shè)該類產(chǎn)品不合格率為P。P的大小決定產(chǎn)品的質(zhì)量，影響公司的經(jīng)濟效益。P的大小如何P大致落在哪個范圍

P是否滿足要求數(shù)理統(tǒng)計的方法

概率論

特點：應(yīng)用面廣，分支較多.著名統(tǒng)計軟件：SAS，SPSS，STAT，S-plus等

數(shù)理統(tǒng)計

理論基礎(chǔ)實際應(yīng)用

數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就是研究有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.

在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷.數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.

——

對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值

——

對已取得的觀測值進行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學(xué)推斷統(tǒng)計學(xué)參數(shù)估計(第七章)假設(shè)檢驗(第八章)回歸分析(第九章)方差分析(第九章)

推斷統(tǒng)計學(xué)

§6.1隨機樣本

一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.1.總體…研究某批燈泡的質(zhì)量研究對象的全體稱為總體(母體)，2.個體總體中每個成員稱為個體.總體一、總體和樣本

然而在統(tǒng)計研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個個體的一項(或幾項)數(shù)量指標(biāo).這時，每個個體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.某批燈泡的壽命該批燈泡壽命的全體就是總體國產(chǎn)轎車每公里的耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體

例如:研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體壽命X可用一概率分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.如說總體X或總體F(x).F(x)

類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.

統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是：總體就是一個概率分布.例2：用一把尺子測量一件物體的長度。假定

n

次測量值分別為X1,X2,…,Xn。顯然，在該問題中，我們把測量值X1,X2,…,Xn看成樣本。但總體是什么呢?

事實上，這里沒有一個現(xiàn)實存在的個體的集合可以作為上述問題的總體。可是，我們可以這樣考慮，既然

n

個測量值X1,X2,…,Xn是樣本，那么，總體就應(yīng)該理解為一切所有可能的測量值的全體。又如：為研究某種安眠藥的藥效，讓

n

個病人同時服用這種藥，記錄服藥者各自服藥后的睡眠時間比未服藥時增加睡眠的小時數(shù)

X1,X2,…,Xn，則這些數(shù)字就是樣本。

那么，什么是總體呢?

設(shè)想讓某個地區(qū)(或某國家，甚至全世界)所有患失眠癥的病人都服用此藥，則他們所增加睡眠的小時數(shù)之全體就是研究問題的總體。

對一個總體，如果用X表示其數(shù)量指標(biāo)，那么，X的值對不同的個體就取不同的值。因此，如果我們隨機地抽取個體，則X的值也就隨著抽取個體的不同而不同。所以，X是一個隨機變量!

既然總體是隨機變量X，自然就有其概率分布。我們把X的分布稱為總體分布。

總體的特性是由總體分布來刻畫的。因此，常把總體和總體分布視為同義語。.總體分布

為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本.3.樣本從國產(chǎn)轎車中抽5輛進行耗油量試驗樣本容量為54.樣本容量

樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.

但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個具體的數(shù)(X1,X2,…,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值

.

樣本是隨機變量.抽到哪5輛是隨機的容量為n的樣本可以看作n維隨機變量.2.獨立性：

最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機抽樣”:1.隨機性：二、簡單隨機樣本

由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示.

由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示.

簡單隨機樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.若總體的分布函數(shù)為F(x)，則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1)F(x2)…F(xn)設(shè)總體X

的分布函數(shù)為F(x),則樣本若總體X

的概率密度為

f(

x),則樣本的聯(lián)合d.f.為的聯(lián)合分布函數(shù)為三.總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體（理論分布）？樣本

樣本值

統(tǒng)計是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質(zhì).如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測量身高，得到樣本值.小結(jié)研究對象的全體稱為總體總體中每個成員稱為個體抽樣分布

§6.2

由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.1.統(tǒng)計量

這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量定義請注意:例

是未知參數(shù),若

,

已知,則為統(tǒng)計量是一樣本,是統(tǒng)計量,其中則但不是統(tǒng)計量.2.常用的統(tǒng)計量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為

n

的樣本,稱統(tǒng)計量它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息為樣本的k階原點矩為樣本的k

階中心矩例如統(tǒng)計量的觀察值（樣本值）注樣本方差與樣本二階中心矩的不同故推導(dǎo)關(guān)系式1）推導(dǎo)

設(shè)則2）例1

從一批機器零件毛坯中隨機地抽取10件,測得其重量為(單位:公斤):

210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩.解令例1則例2

在總體中,隨機抽取一個容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解故例2二、抽樣分布

統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統(tǒng)計量的“抽樣分布”.

確定統(tǒng)計量的分布是數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一

正態(tài)總體是最常見的總體,本節(jié)介紹的幾個抽樣分布均對正態(tài)總體而言.復(fù)習(xí)：

正態(tài)分布則特別地,則若i.i.d.~若~標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)分布的上

分位數(shù).若，則稱z

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)定義正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù).若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計三大分布記為分布1、定義:設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分n=2n=3n=5n=10n=15

例如

分布的性質(zhì)

20.05(10)?n=10性質(zhì)講解：

進一步，由中心極限定理可以推出,n充分大時,近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。E(X)=n,D(X)=2n.t

分布

(Student分布)定義則稱T服從自由度為n

的T分布.其密度函數(shù)為X,Y相互獨立,設(shè)t

分布t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=20t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的上

分位數(shù)t

與雙側(cè)

分位數(shù)t/2

均

有表可查.性質(zhì)n=10t

-t

??

t

/2-t

/2??

/2

/2由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:

設(shè)U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10F分布的性質(zhì)例如事實上,故求F

(n,m)?

性質(zhì)例1

證明證例1四、幾個重要的抽樣分布定理

當(dāng)總體為正態(tài)分布時，教材上給出了幾個重要的抽樣分布定理.

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有n取不同值時樣本均值的分布

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時的分布

定理3

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理4(兩總體樣本均值差的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本

定理5(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本●樣本均值分布函數(shù)的近似計算定理1的應(yīng)用總有●樣本均值與

的偏差在一定范圍內(nèi)的概率的近似計算從上式可以看出：對給定的

2和給定的c>0，當(dāng)樣本大小n

增大時，上面的概率也隨之增大；n趨于無窮時，上式趨近于1。任給c>0，總有的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例3設(shè),為使樣本均值大于70解設(shè)樣本容量為

n

,則故令得即所以取例3例4

從正態(tài)總體中，抽取了

n=20的樣本(1)求(2)求解

(1)即例4故(P.386)(2)故例5

設(shè)r.v.X與Y相互獨立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自X與Y的簡單隨機樣本,求統(tǒng)計量所服從的分布.解例5從而例7

設(shè)

是來自N(,2)的簡單隨機樣本,

是樣本均值,則服從自由度為n-1的t分布的隨機變量為例7故應(yīng)選(B)解第二節(jié)樣本及抽樣分布統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理課堂練習(xí)

幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息請注意:

二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:

設(shè)相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.

c2

分布請看演示1.

設(shè)