核心考點05反比例函數考點精講目錄一．反比例函數的定義（共2小題）二．反比例函數的圖象（共3小題）三．反比例函數圖象的對稱性（共1小題）四．反比例函數的性質（共5小題）五．反比例函數系數k的幾何意義（共4小題）六．反比例函數圖象上點的坐標特征（共9小題）七．待定系數法求反比例函數解析式（共4小題）八．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）九．根據實際問題列反比例函數關系式（共1小題）十．反比例函數的應用（共3小題）十一．反比例函數綜合題（共3小題）考點考向考點考向一．反比例函數的定義（1）反比例函數的概念形如y＝（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數．其中x是自變量，y是函數，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．（2）反比例函數的判斷判斷一個函數是否是反比例函數，首先看看兩個變量是否具有反比例關系，然后根據反比例函數的意義去判斷，其形式為y＝（k為常數，k≠0）或y＝kx﹣1（k為常數，k≠0）．二．反比例函數的圖象用描點法畫反比例函數的圖象，步驟：列表﹣﹣﹣描點﹣﹣﹣連線．（1）列表取值時，x≠0，因為x＝0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值．（2）由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確．（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸．三．反比例函數圖象的對稱性反比例函數圖象的對稱性：反比例函數圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線Y＝﹣X；②一、三象限的角平分線Y＝X；對稱中心是：坐標原點．四．反比例函數的性質（1）反比例函數y＝（k≠0）的圖象是雙曲線；（2）當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小；（3）當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大．注意：反比例函數的圖象與坐標軸沒有交點．五．反比例函數系數k的幾何意義比例系數k的幾何意義在反比例函數y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，且保持不變．六．反比例函數圖象上點的坐標特征反比例函數y＝k/x（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，①圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k；②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；③在y＝k/x圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．七．待定系數法求反比例函數解析式用待定系數法求反比例函數的解析式要注意：（1）設出含有待定系數的反比例函數解析式y＝（k為常數，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）帶入解析式，得到待定系數的方程；（3）解方程，求出待定系數；（4）寫出解析式．八．反比例函數與一次函數的交點問題反比例函數與一次函數的交點問題（1）求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數y＝k1x和反比例函數y＝在同一直角坐標系中的交點個數可總結為：①當k1與k2同號時，正比例函數y＝k1x和反比例函數y＝在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數y＝k1x和反比例函數y＝在同一直角坐標系中有0個交點．九．根據實際問題列反比例函數關系式根據實際問題列反比例函數關系式，注意分析問題中變量之間的聯系，建立反比例函數的數學模型，在實際問題中，往往要結合題目的實際意義去分析．首先弄清題意，找出等量關系，再進行等式變形即可得到反比例函數關系式．根據圖象去求反比例函數的解析式或是知道一組自變量與函數值去求解析式，都是利用待定系數法去完成的．注意：要根據實際意義確定自變量的取值范圍．十．反比例函數的應用（1）利用反比例函數解決實際問題①能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型．②注意在自變量和函數值的取值上的實際意義．③問題中出現的不等關系轉化成相等的關系來解，然后在作答中說明．（2）跨學科的反比例函數應用題要熟練掌握物理或化學學科中的一些具有反比例函數關系的公式．同時體會數學中的轉化思想．（3）反比例函數中的圖表信息題正確的認識圖象，找到關鍵的點，運用好數形結合的思想．十一．反比例函數綜合題（1）應用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數這一數學模型，是解決實際問題的關鍵一步，培養了學生的建模能力和從實際問題向數學問題轉化的能力．在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數的圖象和性質、待定系數法和其他學科中的知識．（2）數形結合類綜合題利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上．還能利用圖象直接比較函數值或是自變量的大小．將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法．考點精講考點精講一．反比例函數的定義（共2小題）1．（2022春?余杭區期末）已知y是關于x的反比例函數，x1，y1和x2，y2是自變量與函數的兩組對應值．則下列關系式中，成立的是（）A．x1x2＝y1y2 B．x1y1＝x2y2 C． D．【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特點可得x1y1＝x2y2，進而得到答案．【解答】解：∵y是關于x的反比例函數，∴k＝xy，∵x1，y1和x2，y2是自變量與函數的兩組對應值，∴x1y1＝x2y2，故選：B．【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．2．（2022春?浦江縣校級期中）函數y＝是反比例函數，則m＝﹣1．【分析】由反比例函數的定義可知|m|＝1，且m﹣1≠0，從而可求得m的值．【解答】解：∵y＝是反比例函數，∴|m|＝1，且m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查的是反比例函數的定義，掌握反比例函數的定義是解題的關鍵．二．反比例函數的圖象（共3小題）3．（2022春?錢塘區期末）描點法是畫未知函數圖象的常用方法．請判斷函數的圖象可能為（）A． B． C． D．【分析】根據反比例函數的性質可知函數y＝在第一、三象限，對稱中心為原點，根據函數平移的規律，把y＝向左平移1個單位得到y＝，對稱中心為（﹣1，0），據此即可判斷．【解答】解：∵k＝1，∴函數y＝在第一、三象限，對稱中心為原點，把y＝向左平移1個單位得到y＝，對稱中心為（﹣1，0），故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質，函數y＝與函數y＝的關系是解題的關鍵．4．（2021春?北侖區校級期末）小明在學習過程中遇到了一個函數y＝+1，小明根據學習反比例函數y＝的經驗，對函數y＝+1的圖象和性質進行了探究．（1）畫函數圖象：[問題1]函數y＝+1的自變量x的取值范圍是x≠2；①列表：如表．x…﹣6﹣21034610…y…0﹣3﹣1﹣79532…②描點：點已描出，如圖所示．③連線：[問題2]請你根據描出的點，畫出該函數的圖象．（2）探究性質：根據反比例函數y＝的圖象和性質，結合畫出的函數y＝+1圖象，回答下列問題：[問題3]①該函數的圖象是具有軸對稱性和中心對稱性，其對稱中心的坐標是（2，1）；[問題4]②該函數圖象可以看成是由y＝的圖象平移得到的，其平移方式為向右平移2個單位，再向上平移1個單位；[問題5]③結合函數圖象，請直接寫出+1≥﹣1時x的取值范圍x≤0或x＞2．【分析】（1）分母不為零；畫圖象；（2）根據反比例函數y＝的圖象和性質，結合畫出的函數y＝+1圖象即可得出結論．【解答】解：（1）函數y＝+1的自變量x的取值范圍是：x≠2，故答案為：x≠2；如圖所示，（2）根據反比例函數y＝的圖象和性質，結合畫出的函數y＝+1圖象可知：①該函數的圖象是具有軸對稱性和中心對稱性，其對稱中心的坐標是（2，1）；②該函數圖象可以看成是由y＝的圖象平移得到的，其平移方式為：向右平移2個單位，再向上平移1個單位；③結合函數圖象，+1≥﹣1時x的取值范圍是x≤0或x＞2．故答案為（2，1）；向右平移2個單位，再向上平移1個單位；x≤0或x＞2．【點評】此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：自變量的取值范圍、畫圖象、增減性，熟練掌握數形結合的思想是解本題的關鍵．5．（2020春?北侖區期末）小王為探究函數y＝（x＞3）的圖象經歷了如下過程．（1）列表，根據表中x的取值，求出對應的y值，將空白處填寫完整；x…3.544.555.56…y…6321…（2）以表中各組對應值為點的坐標，在平面直角坐標系中描點并畫出函數圖象；（3）結合由y＝（x＞0）圖象到y＝圖象的變化，猜想由y＝的圖象經過向x軸的負方向平移3個單位的平移變化可以得到y＝（x≠﹣3）圖象．y＝（x≠﹣3）的對稱軸是直線y＝x﹣3與直線y＝﹣x+3．【分析】（1）當x＝3.5時，y＝＝6，同理當x＝5.5時，y＝；（2）描點描繪出以下圖象，（3）結合由y＝（x＞0）圖象到y＝圖象的變化和函數的圖象即可得到結論．【解答】解：（1）當x＝3.5時，y＝＝6，同理當x＝5.5時，y＝，故答案為6，；（2）描點描繪出以下圖象，（3）猜想由y＝的圖象經過向x軸的負方向的平移3個單位可以得到y＝（x≠﹣3）圖象．y＝（x≠﹣3）的對稱軸是直線y＝x+3與直線y＝﹣x﹣3．故答案為平移3個單位，直線y＝x+3與直線y＝﹣x﹣3．【點評】本題考查的是反比例函數圖象、軸對稱的性質，數形結合是解題的關鍵．三．反比例函數圖象的對稱性（共1小題）6．（2021春?上城區校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P（2a，a）是反比例函數y＝的圖象與正方形的一個交點，則圖中陰影部分的面積是4．【分析】先利用反比例函數解析式y＝確定P點坐標為（2，1），由于正方形的中心在原點O，則正方形的面積為16，然后根據反比例函數圖象關于原點中心對稱得到陰影部分的面積為正方形面積的．【解答】解：把P（2a，a）代入y＝得2a?a＝2，解得a＝1或﹣1，∵點P在第一象限，∴a＝1，∴P點坐標為（2，1），∴正方形的面積＝4×4＝16，∴圖中陰影部分的面積＝S正方形＝4．故答案為4．【點評】本題考查了反比例函數圖象的對稱性：反比例函數圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①二、四象限的角平分線y＝﹣x；②一、三象限的角平分線y＝x；對稱中心是：坐標原點．四．反比例函數的性質（共5小題）7．（2022春?西湖區期末）已知反比例函數y＝，若y＞1，則x的取值范圍為0＜x＜3．【分析】由k的值，可以得到該函數圖象在第幾象限，從而可以得到相應的不等式，從而可以得到x的取值范圍．【解答】解：∵y＝，∴該函數圖象在第一、三象限，當x＞0時，y＞0；當x＜0時，y＜0；∴當y＞1時，則＞1，x＞0，解得，0＜x＜3，故答案為：0＜x＜3．【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數的性質解答．8．（2022春?東陽市期末）已知反比例函數y＝的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（）A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1【分析】反比例函數y＝，當k＞0時圖象在第一、三象限即可得答案．【解答】解：∵反比例函數y＝的圖象位于第一、三象限，∴a﹣1＞0，解得a＞1，故選：C．【點評】本題考查反比例函數的圖象，解題的關鍵是掌握反比例函數的性質．9．（2022春?余杭區期末）反比例函數y＝，當1≤x≤3時，函數y的最大值和最小值之差為4，則k＝±6．【分析】分k＞0和k＜0進行討論，再根據反比例函數的增減性，利用函數值的差列出方程解答．【解答】解：當k＞0時，在其每一象限內，反比例函數y隨x的增大而減小．∵當1≤x≤3時，函數y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝6，當k＜0時，在其每一象限內，反比例函數y隨x的增大而增大．∵當1≤x≤3時，函數y的最大值和最小值之差為4，∴，解得k＝﹣6，綜上所述，k＝±6．故答案為：±6．【點評】本題考查了反比例函數的增減性，反比例函數的增減性要在其圖象的每一象限內解答，解題關鍵要對于k的值要分情況討論．10．（2022春?余杭區期末）對于函數，小明根據學習一次函數和反比例函數的經驗，研究了它的圖象和性質．下面是小明的分析和研究過程，請補充完整．（1）自變量x的取值范圍是x≠2．x…﹣101345…y…﹣2﹣3﹣6632…（2）根據列表計算的部分對應值，在平面直角坐標系中用描點法畫出該函數的圖象．（3）從中心對稱和軸對稱的角度分析圖象特征，并說說這個函數的增減性．【分析】（1）由分式的分母不為0即可求解；（2）描點連線，即可畫出函數圖象；（4）根據函數圖象即可得到．【解答】解：（1）要使函數有意義，則x﹣2≠0，解得x≠2，故答案為：x≠2．（2）函數圖象如圖所示：（3）根據圖象可知，函數的圖象關于點（2，0）成中心對稱，關于直線y＝﹣x+2或直線y＝x﹣2成軸對稱，當x＞2時，y隨x的增大而減小，當x＜2時，y隨x的增大而減小．【點評】本題考查了反比例函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵．11．（2021春?鄞州區期末）如圖，矩形OABC的頂點A在y軸的正半軸上，頂點C在x軸的正半軸上，反比例函數y＝（k＞0）在第一象限內的圖象分別與邊AB、BC相交于點D、E．連結OD，OE，恰有∠AOD＝∠DOE，∠ODE＝90°，若OA＝3，則k的值是．【分析】過點D作DF⊥OE于點F，設AD＝a，EB＝b，OA＝3，先證明△ADO≌△FDO（AAS），再證明△DFE≌△DEB（AAS），則可得到OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，則有OE＝6﹣b，AB＝2a，并能求得D（a，3），E（2a，b），由已知D、E在反比例函數y＝上，則有3a＝2ab，求出b＝，在Rt△OEC中，根據勾股定理可求a＝，則可求k＝．【解答】解：過點D作DF⊥OE于點F，∵∠AOD＝∠DOE，∠BAO＝∠DFO＝90°，OD＝OD，∴△ADO≌△FDO（AAS），∴AD＝DF，AO＝OF，∠ADO＝∠ODF，∵∠ODE＝90°，∴∠ODF+∠FDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠FDE＝∠AOD，∵∠ADO+∠BDE＝∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠BDE，∴∠FDE＝∠BDE，∵∠B＝∠DFE＝90°，∴△DFE≌△DEB（AAS），∴EF＝BE，DB＝DF，設AD＝a，EB＝b，OA＝3，∴OF＝3，DF＝BD＝a，BE＝EF＝3﹣b，∴OE＝6﹣b，AB＝2a，∴D（a，3），E（2a，b），∵D、E在反比例函數y＝上，∴3a＝2ab，∴b＝，在Rt△OEC中，OC＝2a，OE＝6﹣b＝，EC＝，∴a＝，∴k＝，故答案為．【點評】本題考查反比例函數與矩形的綜合，作出過點D作DF⊥OE于F的輔助線，利用三角形全等和勾股定理求出A點坐標是解題的關鍵．五．反比例函數系數k的幾何意義（共4小題）12．（2022春?溫州期末）如圖，點A，B依次在反比例函數y＝（常數k＞0，x＞0）的圖象上，AC，BD分別垂直x軸于點C，D，AE⊥y軸于點E，BF⊥AC于點F．若OC＝CD，陰影部分面積為6，則k的值為4．【分析】根據點A的坐標可得點B的坐標，進而利用陰影部分面積為6，求出k的值．【解答】解：設點A（m，），∵OC＝CD，∴B（2m，），∵陰影部分面積為6，CD＝2m﹣m＝m，∴＝6，解得：k＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，理解反比例函數系數k的幾何意義，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是正確解答的前提．13．（2021春?蒼南縣期末）如圖，點A（m，1）和點B在反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作AC∥y軸交x軸于點C，過點B作BD∥x軸交直線AC于點D，CD＝3AC．（1）若AD＝BD，求k的值．（2）連結OB，若四邊形OBDC的面積為6，求點B的坐標．【分析】（1）根據點A的坐標可得AC＝1進而得出CD＝3，由AD＝BD可得點A與點B的橫坐標的差，進而求出m的值，確定點A的坐標即可；（2）表示出點B的坐標，利用含有m的代數式表示四邊形OBCD的面積求出m即可．【解答】解：（1）如圖，過點B作BE⊥x軸于E，∵點A（m，1），∴OC＝m，AC＝1，又∵CD＝3AC．∴CD＝3，∴AD＝BD＝3﹣1＝2＝EC，∴點B（，3），∴m﹣＝2，解得m＝3，∴點A（3，1），∵點A（3，1）在反比例函數的圖象上，∴k＝3，（2）由（1）可知點A（m，1），點B（，3），即OC＝m，OE＝，則BD＝EC＝m﹣＝，由于四邊形OBDC的面積為6，∴（+m）×3＝6，解得m＝，∴點B（，3）．【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，理解反比例函數系數k的幾何意義，掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是正確解答的前提．14．（2021春?西湖區校級期末）如圖，在平面直角坐標系中矩形OABC的長和寬分別為4和2，反比例函數y＝的圖象過矩形對角線的交點D．（1）求k的值；（2）求△OAD的面積．【分析】（1）由長和寬分別為4和2求出點D的坐標，得到k的值；（2）由三角形的面積公式求△OAD的面積．【解答】解：（1）∵矩形OABC的長為4，寬為2，∴D（2，1），∵點D在反比例函數圖象上，∴k＝2×1＝2，（2）∵點D（2，1），OA＝2，∴S△OAD＝×2×2＝2．【點評】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義、矩形的對角線互相平分、三角形的面積．突破點是由矩形的長和寬求出點D的坐標．15．（2022春?衢江區期末）如圖，在反比例函數的圖象上有點P1，P2，P3，它們的橫坐標依次為1，3，6，分別過這些點作x軸與y軸的垂線段．圖中陰影部分的面積記為S1，S2．若S2＝3，則S1的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由點P1，P2，P3，它們的橫坐標依次為1，3，6，得P1（1，k），P2（3，），P3（6，），由S2＝3，可求出k的值，進而求出S1的值．【解答】解：∵P1（1，k），P2（3，），P3（6，），∴S2＝3×＝3，∴k＝6，∴S1＝1×（k﹣）＝4．故選：B．【點評】此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據坐標求出個陰影的面積表達式是解題的關鍵．六．反比例函數圖象上點的坐標特征（共9小題）16．（2022春?臨海市期中）某同學根據學習函數的經驗，探究了函數的圖象和性質，下面是他的探究過程，請補充完整．（1）寫出函數的自變量的取值范圍x≠2；（2）下表是函數y與自變量x的幾組對應值：則m＝，n＝3；x…﹣3﹣2﹣10134567…y…0.6m11.53n1.510.750.6…（3）在平面直角坐標系xOy中，補全此函數的圖象；（4）根據函數圖象，寫出函數的性質（至少兩條）．【分析】（1）根據分式分母不為零列式求解即可；（2）把x＝﹣2和y＝m分別代入即可求得；（3）畫出函數圖象即可；（4）根據圖象得出結論．【解答】解：（1）根據分式分母不能為零可知，函數的自變量x的取值范圍是：x≠2；故答案為：x≠2；（2）把x＝﹣2，y＝m代入得，；把x＝3，y＝m代入得，，故答案為：，3；（3）如圖所示：（4）由圖象得可得①圖象關于x＝2對稱；②圖象全部在x軸上方（答案不唯一）．【點評】本題考查反比例函數圖象和性質，涉及的知識有：自變量的取值范圍、畫圖象、熟練掌握數形結合的思想是解本題的關鍵．17．（2022春?海曙區校級期中）若點A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函數y＝上，且x1＞x2，則m的取值范圍是m＜1．【分析】根據反比例函數的性質判斷即可．【解答】解：∵點A（x1，﹣2），B（x2，3）都在反比例函數y＝上，且x1＞x2，∴點A（x1，﹣2）第四象限，點B（x2，3）在第二象限，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案為：m＜1．【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質，屬于中考常考題型．18．（2022春?東陽市期末）如圖，雙曲線y＝（x＞0）經過等腰△ABC的兩頂點A、C，已知AB＝AC＝4，AB∥x軸交y軸于點B，過點C作CD⊥y軸于點D，且OB＝CD，則k的值32﹣16．【分析】設OB＝CD＝m，由題意可知，C（m，4），A（4，m），利用勾股定理得到AC＝＝4，得到（4﹣m）2＝16，解方程求得m的值，進一步求得k的值．【解答】解：設OB＝CD＝m，由題意可知，C（m，4），A（4，m），∴AC＝＝4，∴（4﹣m）2＝16，解得m1＝4﹣4．m2＝4+4（舍去），∴C（4﹣4，4），∵雙曲線y＝（x＞0）經過等腰△ABC的兩頂點A、C，∴k＝（4﹣4）×4＝32﹣16，故答案為：32﹣16．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，表示出A、C的坐標是解題的關鍵．19．（2021春?東陽市期末）如圖，在矩形ABCD中，已知點A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為靚點，反比例函數y＝（x＞0）的圖象為曲線L．（1）若曲線L過AB的中點．①求k的值．②求該曲線L下方（包括邊界）的靚點坐標．（2）若分布在曲線L上方與下方的靚點個數相同，求k的取值范圍．【分析】（1）①根據矩形的性質得出AB中點的坐標，根據待定系數法即可求得；②根據矩形的靚點，結合k的值即可得到結論；（2）根據矩形的靚點數結合k＝8或k＝9時，圖象上和圖象下的靚點數即可得出結論．【解答】解：（1）①∵點A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），∴AB的中點為（4，1），∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象過AB的中點，∴k＝4×1＝4；②曲線L下方（包括邊界）的靚點坐標為（4，1），（3，1），（2，1），（2，2）；（2）∵點A（2，1），且AB＝4，AD＝3，∴B（6，1），C（6，4），D（2，4），∴矩形ABCD的靚點有5×4＝20個，當k＝8時，落在反比例函數圖象上有（4，2）和（2，4）兩個靚點，圖象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（5，1）、（6，1）共8個靚點，當k＝9時，落在反比例函數圖象上有（3，3）一個靚點，圖象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（5，1）、（6，1）共10個靚點，∴8＜k＜9．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，矩形的性質，明確矩形的靚點是解題的關鍵．20．（2021春?拱墅區期末）已知反比例函數y1＝的圖象經過（3，2），（m，n）兩點．（1）求y1的函數表達式；（2）當m＜1時，求n的取值范圍；（3）設一次函數y2＝ax﹣3a+2（a＞0），當x＞0時，比較y1與y2的大小．【分析】（1）根據待定系數法即可求得y1的函數表達式；（2）求得m＝1時的函數值，根據反比例函數的性質即可求得n的取值范圍；（3）求出兩函數圖象的交點坐標，然后根據數形結合的思想即可解答本題．【解答】解：（1）∵反比例函數y1＝的圖象經過（3，2），∴k＝3×2＝6，∴y1的函數表達式為y1＝；（2）把x＝1代入y＝得，y＝6，∵k＝6＞0，∴圖象在第一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵m＜1，∴n＞6或n＜0；（3）由y2＝ax﹣3a+2＝a（x﹣3）+2可知，直線經過點（3，2），∵反比例函數y1＝的圖象經過（3，2），∴當x＞0，兩函數圖象的交點為（3，2），∵a＞0，∴y2隨x的增大而增大，∴當0＜x＜3時，y1＞y2，當x＝3時，y1＝y2，當x＞3時，y1＜y2．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，待定系數法法求反比例函數的解析式，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．21．（2021春?杭州期末）設函數y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）．（1）若函數y1的圖象經過點（2，1），求y1，y2的函數表達式．（2）若函數y1與y2的圖象關于y軸對稱，求y1，y2的函數表達式．（3）當1≤x≤4，函數y1的最大值為m，函數y2的最小值為m﹣4，求m與k的值．【分析】（1）根據待定系數法求得即可；（2）根據關于y軸對稱的點的坐標特征得到＝，即可求得k的值，從而求得y1，y2的函數表達式．（3）分三種情況討論，根據題意得到關于m、k的方程組，解方程組即可求得．【解答】解：（1）∵函數y1的圖象經過點（2，1），∴1＝，∴k＝2，∴k+2＝4，∴y1＝，y2＝；（2）∵函數y1與y2的圖象關于y軸對稱，∴＝，∴k＝﹣1，∴y1＝﹣，y2＝．（3）當k＞0時，函數y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第一、三象限，根據題意，當x＝1時，函數y1＝有最大值m，當x＝4時，函數y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；當k＜﹣2時，函數y1＝，y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第二、四象限，根據題意，當x＝4時，函數y1＝有最大值m，當x＝1時，函數y2＝有最小值m﹣4，∴，解得；當﹣2＜k＜0時，函數y1＝圖象在二、四象限，函數y2＝（k≠0，k≠﹣2）的圖象在第一、三象限，根據題意，當x＝4時，函數y1＝有最大值m，當x＝4時，函數y2＝有最小值m﹣4，∴，不合題意，故m與k的值為6、6或﹣2、﹣8．【點評】本題考查了反比例函數的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，關于y軸對稱的點的坐標特征，分類討論是解題的關鍵．22．（2021春?西湖區期末）已知反比例函數y1＝（k≠0）圖象經過一、三象限．（1）判斷點P（﹣k，k）在第幾象限；（2）若點A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函數y1＝圖象上的兩點，試比較a，b，c的大小關系；（3）設反比例函數y2＝﹣，已知n＞0，且滿足當n≤x≤n+1時，函數y1的最大值是2n；當n+2≤x≤n+3時，函數y2的最小值是﹣n，求x為何值時，y1﹣y2＝2．【分析】（1）由反比例函數圖象經過一三象限確定k的取值范圍，從而判斷點P所在象限；（2）根據反比例函數的增減性及點的坐標特征進行分析判斷；（3）利用反比例函數的增減性確定函數最值時x的值，從而列方程求解．【解答】解：（1）∵反比例函數y1＝（k≠0）圖象經過一、三象限，∴k＞0，﹣k＜0，∴點P（﹣k，k）在第二象限；（2）∵反比例函數y1＝（k≠0）圖象經過一、三象限，∴在每一象限內y1隨x的增大而減小，又∵點A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）在反比例函數y1＝（k≠0）上，且點A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）位于第一象限，∴可得，解得：a＞c＞b，∴a，b，c的大小關系為：a＞c＞b；（3）∵k＞0，∴反比例函數y2＝﹣位于第二、四象限，∴在每一象限內y2隨x的增大而增大，又∵n＞0，當n≤x≤n+1時，函數y1的最大值是2n；當n+2≤x≤n+3時，函數y2的最小值是﹣n，∴當x＝n時，y1＝2n；當x＝n+2時，y2＝﹣n，∴2n2＝n（n+2），解得：n＝0（不合題意，舍去）或n＝2，∴當x＝n＝2時，y1＝4代入y1＝中，k＝8，∴y1＝，y2＝﹣，若y1﹣y2＝2，∴﹣（﹣）＝2，解得：x＝8，經檢驗x＝8是原方程的解，∴當x＝8時，y1﹣y2＝2．【點評】本題考查反比例函數圖象的性質，掌握反比例函數的性質利用數形結合思想解題是關鍵．23．（2023春?鎮海區校級期中）如圖，分別過反比例函數圖象上的點P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，…An，連結A1P2，A2P3，…An﹣1Pn，再以A1P1，A1P2為一組鄰邊畫一個平行四邊形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3為一組鄰邊畫一個平行四邊形A2P2B2P3……，以此類推，則點B20的坐標是（）A． B． C． D．【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征求得點P1、P2的縱坐標，由平行四邊形對邊平行且相等的性質求得點B1的橫坐標為2，縱坐標是y2+y1、B2的橫坐標為3，縱坐標是y3+y2、B3的橫坐標為4，縱坐標是y4+y3，據此可以推知點Bn的橫坐標為n+1，縱坐標是：yn+1+yn＝+＝．【解答】解：∵點P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函數圖象上，∴y1＝4，y2＝2；∴P1A1＝y1＝4；又∵四邊形A1P1B1P2是平行四邊形，∴P1A1＝B1P2＝4，P1A1∥B1P2，∴點B1的縱坐標是：y2+y1＝+＝6，即點B1的坐標是（2，6）；同理求得，點B2的縱坐標是：y3+y2＝+＝；即點B2的坐標是（3，）；點B3的縱坐標是：y4+y3＝+＝；…點Bn的橫坐標為：xn＝n+1，縱坐標是：yn+1+yn＝+＝；∴點B20的坐標是（21，）故選：D．【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的圖象．解答此題的關鍵是根據平行四邊形的對邊平行且相等的性質求得點Bn的縱坐標yn+1+yn．24．（2022春?浦江縣校級期中）若點（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（2，y3）在反比例函數的圖象上，則（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】先判斷出反比例函數的圖象所在的象限，再根據圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標的特點進行判斷即可．【解答】解：∵k＜0，∴反比例函數的圖象在二、四象限，在每個象限內y隨x的增大而增大，∴點（﹣2，y1）、（﹣1，y2）在第二象限，y2＞y1＞0；（2，y3）在第四象限，y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故選：B．【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．七．待定系數法求反比例函數解析式（共4小題）25．（2022春?永康市校級月考）點P（2，4）在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，則反比例函數的解析式為y＝．【分析】把點P（2，4）代入y＝求得k，即可得到反比例函數的解析式．【解答】解：∵點P（2，4）在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，∴4＝，∴k＝8，∴反比例函數的解析式為y＝，故答案為：y＝．【點評】本題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特點，熟練掌握待定系數法是解決問題的關鍵．26．（2022春?麗水期末）已知y是關于x的反比例函數，當x＝3時，y＝﹣2．（1）求此函數的表達式；（2）當x＝﹣4時，函數值是2m，求m的值．【分析】（1）利用待定系數法求反比例函數的解析式；（2）將x的值代入（1）中所求的反比例函數的解析式，并求得m的值即可．【解答】解：（1）設y＝（k≠0），則k＝xy；∵當x＝3時，y＝﹣2，∴k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴該反比例函數的解析式是：y＝﹣；（2）由（1）知，y＝﹣，∵x＝﹣4時，函數值是2m，∴2m＝﹣，∴m＝．【點評】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式、函數值．解答時，利用反比例函數圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數．27．（2023春?鎮海區校級期中）如果反比例函數圖象經過點（4，﹣2），則這個反比例函數的解析式為（）A． B． C． D．【分析】設反比例函數解析式為y＝（k≠0），把點（4，﹣2）代入即可求得k的值．【解答】解：設反比例函數解析式為y＝（k≠0），∵函數經過點（4，﹣2），∴k＝4×（﹣2）＝﹣8．∴反比例函數解析式為y＝﹣．故選：C．【點評】本題考查的是用待定系數法求反比例函數的解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．28．（2022春?上城區期末）已知點A（2，a），B（b，﹣2）都在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上．（1）當a＝3時．①求反比例函數表達式，并求出B點的坐標；②當y＞6時，求x的取值范圍；（2）若一次函數y＝kx+b與x軸交于點（a，0），求k的值．【分析】（1）把已知條件代入點的坐標，再把已知點的坐標數據代入函數解析式，確定函數解析式，再求點中未知的坐標．根據函數圖象以及已知條件列不等式求x的取值范圍．（2）把已知數據代入點和直線解析式，確定k的值即可．【解答】解：（1）①a＝3時，點A（2，a）就是（2，3），代入解析式得3＝，解得k＝6，反比例函數解析式為y＝，把點B（b，﹣2）代入解析式得﹣2＝，解得b＝﹣3，點B（﹣3，﹣2）；②當y＞6時，由反比例函數圖象可知是在第一象限部分，∴＞6，∴0＜x＜1；（2）點A、B在反比例函數上，代入整理得，﹣a＝b，∵一次函數y＝kx+b與x軸交于點（a，0），代入：0＝ak+b，即：0＝ak﹣a，∵A（2，a）在反比例函數上，∴a≠0，所以0＝k﹣1，k＝1．【點評】考查反比例函數的性質、圖象以及函數解析式，關鍵要熟練掌握運用待定系數法求函數解析式，把點中已知坐標數據代入解析式求未知坐標．八．反比例函數與一次函數的交點問題（共2小題）29．（2022春?鎮海區期末）如圖，一次函數y1＝kx+b（k≠0）與反比例函數y2＝（m≠0）的圖象交于點A（1，2）和B（﹣2，a），與y軸交于點M．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）在y軸上取一點N，當△AMN的面積為3時，求點N的坐標；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（請直接寫出答案）【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）由S△AMN＝MN?|xA|＝3且xA＝1，即可求解；（3）根據圖形可知，當y2＝（m≠0）的圖象在一次函數y1＝kx+b（k≠0）上方的部分對應的x的取值范圍即可．【解答】解：（1）∵y2＝過點A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函數：y2＝，當x＝﹣2時，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b過A（1，2）和B（﹣2，﹣1），則，解得，∴y1＝x+1；（2）當x＝0時，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），∵S△AMN＝?MN?|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；（3）由圖象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集為x＜﹣2或0＜x＜1．【點評】本題考查的是反比例函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、面積的計算、數形結合思想等，有一定的綜合性，難度不大．30．（2023春?鎮海區校級期中）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數圖象交于A，B兩點，A點坐標為（﹣2，m）．（1）分別求出k，m的值；（2）連結OA、OB，求S△AOB的面積；（3）根據圖象，直接寫出不等式的解集．【分析】（1）由一次函數解析式求得m的值，從而求得A的坐標，代入即可求得k的值；（2）解析式聯立成方程組，解方程組即可求得點B的坐標，利用一次函數解析式求出點C坐標，再根據S△AOB＝S△BOC+S△AOC可得結果；（3）根據圖象即可求得．【解答】解：（1）將（﹣2，m）代入一次函數得，m＝﹣×（﹣2）+1＝4，∴A點為（﹣2，4），將A點代入反比例函數得，k＝﹣2×4＝﹣8，∴m＝4，k＝﹣8；（2）由（1）得，反比例函數表達式為y＝﹣，解得或，∴B點的坐標為（，﹣3），設點C為一次函數的圖象與y軸的交點，則C（0，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝；（3）由圖象可得：不等式的解集為x＜﹣2或0＜x＜．【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，根據點A的坐標求出反比例函數解析式是解題的突破口，也是解題的關鍵．九．根據實際問題列反比例函數關系式（共1小題）31．（2021?杭州二模）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數，其圖象如圖所示．（1）求這個函數的解析式；（2）當氣體體積為1m3時，氣壓是多少？（3）當氣球內的氣壓大于140kPa時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積應不小于多少？（精確到0.01m3）【分析】（1）設出反比例函數解析式，把A坐標代入可得函數解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函數解析式，可得p；（3）把P＝140代入得到V即可．【解答】解：（1）設，由題意知，所以k＝96，故；（2）當v＝1m3時，；（3）當p＝140kPa時，．所以為了安全起見，氣體的體積應不少于0.69m3．【點評】考查反比例函數的應用；應熟練掌握符合反比例函數解析式的數值的意義．一十．反比例函數的應用（共3小題）32．（2020春?慈溪市期末）某蔬菜生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．如圖是某天恒溫系統從開啟到關閉及關閉后，大棚內溫度y（℃）隨時間x（小時）變化的函數圖象，其中BC段是雙曲線的一部分，則當x＝16時，大棚內的溫度約為（）A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃【分析】利用待定系數法求反比例函數解析式后將x＝16代入函數解析式求出y的值即可．【解答】解：∵點B（12，18）在雙曲線y＝上，∴18＝，解得：k＝216．當x＝16時，y＝＝13.5，所以當x＝16時，大棚內的溫度約為13.5℃．故選：C．【點評】此題主要考查了反比例函數的應用，求出反比例函數解析式是解題關鍵．33．（2023?鹿城區一模）為預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．如圖所示，藥物燃燒階段，教室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時間x（分）成正比例；燃燒后，y與x成反比例．若y＞1.6，則x的取值范圍是2＜x＜50．【分析】先求得反比例函數和正比例函數的解析式，然后把y＞分別代入正比例和反比例函數解析式，求出相應的x取值范圍即可．【解答】解：當0≤x≤6時，設每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時間x（分）的函數解析式為y＝kx，把（10，8）代入解析式得：10k＝8，解得k＝，∴每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時間x（分）的函數解析式為y＝x，當y＞1.6時，x＞1.6，解得x＞2；當x＞10時，y與x的函數解析式為y＝，把（10，8）代入解析式得：m＝80，∴y與x的函數解析式為y＝，當y＞1.6時，＞1.6，解得x＜50，∴y＞1.6x的取值范圍是2＜x＜50．故答案為：2＜x＜50．【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．34．（2022秋?溫嶺市期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．（1）求這個反比例函數的解析式，并直接寫出蓄電池的電壓值（單位：v）（2）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？【分析】（1）先由電流I是電阻R的反比例函數，可設I＝，將點（9，4）代入I＝，利用待定系數法即可求出這個反比例函數的解析式；（2）將I＝10代入（1）中所求的函數解析式即可確定電阻的取值范圍．【解答】解：（1）設I＝，把（9，4）代入I＝，得k＝36，∴反比例函數的解析式為：I＝，∴即蓄電池電壓值為36V；（2）當I＝10時，R＝3.6，由圖象可知，用電器可變電阻R不得低于3.6Ω．【點評】本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是正確地從中整理出函數模型，并利用函數的知識解決實際問題．一十一．反比例函數綜合題（共3小題）35．（2022春?定海區校級月考）如圖，矩形AOBC的頂點坐標分別為A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），動點F在邊BC上（不與B、C重合），過點F的反比例函數y＝的圖象與邊AC交于點E，直線EF分別與y軸和x軸相交于點D和G．給出下列命題：①若k＝4，則△OEF的面積為；②若k＝，則點C關于直線EF的對稱點在x軸上；③滿足題設的k的取值范圍是0＜k＜12；④若DE?EG＝，則k＝1．其中正確的命題個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①若k＝4，則計算S△OEF＝，故命題①正確；②如答圖所示，若k＝，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；③因為點F不經過點C（4，3），所以k≠12，即可得出k的范圍；④求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式DE?EG＝，求出k＝1，故命題④正確．【解答】解：命題①正確．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F（4，1），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF＝S矩形AOBC﹣OA?AE﹣OB?BF﹣CE?CF＝4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2＝12﹣2﹣2﹣＝，故①正確；命題②正確．理由如下：∵k＝，∴E（，3），F（4，），∴CE＝4﹣＝，CF＝3﹣＝．如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則EM＝3，OM＝；在線段BM上取一點N，使得EN＝CE＝，連接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN＝＝，∴BN＝OB﹣OM﹣MN＝4﹣﹣＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF＝＝．∴NF＝CF，又∵EN＝CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關于直線EF對稱，故②正確；命題③正確．理由如下：由題意，點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，∴0＜k＜12，故③正確；命題④正確．理由如下：設k＝12m，則E（4m，3），F（4，3m）．設直線EF的解析式為y＝ax+b，則有，解得，∴y＝﹣x+3m+3．令x＝0，得y＝3m+3，∴D（0，3m+3）；令y＝0，得x＝4m+4，∴G（4m+4，0）．如答圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE?EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命題④正確．綜上所述，正確的命題是：①②③④，共4個，故選：D．【點評】此題是反比例函數綜合題，主要考查了函數的圖象與性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數k的幾何意義、待定系數法、矩形及勾股定理等多個知識點，有一定的難度．本題計算量較大，解題過程中注意認真計算．36．（2023?瑞安市開學）如圖，點A，B分別在第一，二象限的反比例函數圖象y＝（k1＞0），y＝（k2＜0）上，點C在y軸負半軸上，連結AB，OA，AC，且AC交x軸于點E．已知AB＝2AC，CE＝2AE，且∠AOC＝135°．若AC⊥AB，且k，則k2的值為﹣．【分析】由∠AOC＝135°，則∠AOy＝45°，故設點A（m，m），由平行線分線段成比例求出點C（0，﹣2m），利用△BMA∽△ANC得到B的坐標，進而求解．【解答】解：∵∠AOC＝135°，則∠AOy＝45°，故設點A（m，m），過點A作AT⊥y軸于點T，則OT＝m，∵OE∥AT，CE＝2AE，即CE：AE＝2，∴OC：OT＝2，故點C（0，﹣2m），過點A作MN∥y軸交過點B與x軸的平行線于點M，交過點C與x軸的平行線于點N，∵∠CAN+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠CAN＝∠ABM，∵∠BMA＝∠ANC＝90°，∴△BMA∽△ANC，∵AB＝2AC，則△BMA和△ANC的相似比為2：1，即BM＝2AN，AM＝2CN，設點B（s，t），則m﹣s＝2×（m+2m）且t﹣m＝2m，解得：s＝﹣5m且t＝3m，則k2＝st＝﹣15m2，而k1＝m2，∵k1+k2＝﹣，即﹣15m2+m2＝﹣，解得：m2＝，則k2＝st＝﹣15×＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查的是反比例函數綜合運用，涉及到一次函數和反比例函數的性質、平行線分線段正比例、三角形相似等，其中，正確設點A的坐標，用三角形相似確定點B坐標得方法，是此類題目解題的一半方法，題目綜合性強，難度適中．37．（2023春?金華月考）【定義】在平面內，把一個圖形上任意一點與另一個圖形上任意一點之間的距離的最小值，稱為這兩個圖形之間的距離，即A，B分別是圖形M和圖形N上任意一點，當AB的長最小時，稱這個最小值為圖形M與圖形N之間的距離．例如，如圖1，AB⊥l1，線段AB的長度稱為點A與直線l1之間的距離，當l2∥l1時，線段AB的長度也是l1與l2之間的距離．【應用】（1）如圖2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D為AB邊上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E．若AB＝6，AD＝4，則DE與BC之間的距離是；（2）如圖3，已知直線l3：y＝﹣x+4與雙曲線C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）與B兩點，點A與點B之間的距離是2，點O與雙曲線C1之間的距離是；【拓展】（3）按規定，住宅小區的外延到高速路的距離不超過80m時，需要在高速路旁修建與高速路相同走向的隔音屏障（如圖4）．有一條“東南﹣西北”走向的筆直高速路，路旁某住宅小區建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m．現以高速路上某一合適位置為坐標原點，建立如圖5所示的直角坐標系，此時高速路所在直線l4的函數表達式為y＝﹣x，小區外延所在雙曲線C2的函數表達式為y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是多少？【分析】（1）如圖，過點D作DH⊥BC于點H，利用等腰直角三角形性質即可求得答案；（2）先求得點A的坐標，再利用待定系數法求得反比例函數解析式，聯立方程組求得點A、B的坐標，再運用兩點間距離公式求得AB；作FG∥AB，且FG與雙曲線y＝只有一個交點，設直線FG的解析式為y＝﹣x+b，則﹣x+b＝，整理得x2﹣bx+3＝0，利用根的判別式求得b，進而得出點K的坐標，即可求得OK；（3）如圖，設點S（a，b）是雙曲線y＝（x＞0）上任意一點，且a＜b，以點S為圓心，80為半徑作⊙S交l4于E，過點S作SF⊥直線l4于F，交y軸于W，SH⊥x軸于H，SG⊥y軸于G，可得△WOF和△SWG是等腰直角三角形，故SW＝SG，WF＝OW，推出OE＝（b﹣a）+，設b﹣a＝m（m＞0），則OE＝m+≤＝40，即可求得答案．【解答】解：（1）如圖，過點D作DH⊥BC于點H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∵DH⊥BC，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案為：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴雙曲線C1的解析式為y＝，聯立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如圖，作FG∥AB，且FG與雙曲線y＝只有一個交點，設直線FG的解析式為y＝﹣x+b，則﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合題意，舍去），∴直線FG的解析式為y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案為：2，；（3）如圖，設點S（a，b）是雙曲線y＝（x＞0）上任意一點，且a＜b，以點S為圓心，80為半徑作⊙S交l4于E，過點S作SF⊥直線l4于F，交y軸于W，SH⊥x軸于H，SG⊥y軸于G，則SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直線y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，設b﹣a＝m（m＞0），則OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的長度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長度是80米．【點評】本題考查了平面直角坐標系中，點與點、點與直線的距離問題，新定義“圖形M與圖形N之間的距離”，等腰直角三角形性質，兩點間距離公式，待定系數法求一次函數和反比例函數解析式等，理解新定義，運用數形結合思想和分類討論思想是解題關鍵．

鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022春·浙江金華·八年級統考期末）已知反比例函數的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數經過第一、三象限，可知，據此作答即可．【詳解】解：∵反比例函數的圖象位于第一、三象限，∴，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，掌握反比例函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．反比例函數的（k≠0），①當時，反比例函數的（k≠0）的圖象經過一、三象限；②當時，反比例函數的（k≠0）的圖象經過二、四象限．2．（2022春·浙江杭州·八年級校考期末）對于反比例函數，下列說法不正確的是（）A．它的圖象在第二、四象限 B．點在它的圖象上C．當時，隨的增大而減小 D．當時，隨的增大而增大【答案】C【分析】根據反比例函數的圖象和性質進行判斷即可．【詳解】解：在反比例函數中，，∴反比例函數圖象經過第二、四象限，故A選項不符合題意；當時，，∴點在函數圖象上，故B選項不符合題意；在每一象限內，隨著增大而增大，故C選項符合題意，D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數的圖象和性質是解題的關鍵．3．（2022春·浙江金華·八年級校考階段練習）已知點、、都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據反比例數解析式得出反比例函數圖象在第一、三象限，且在每一個象限內，隨的增大而減小，據此即可求解．【詳解】解：∵，∴反比例函數圖象在第一、三象限，且在每一個象限內，隨的增大而減小，∵點、、都在反比例函數的圖象上，∴、在第三象限，在第一象限，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數圖象的性質，掌握反比例數圖象的性質是解題的關鍵．4．（2021春·浙江·八年級專題練習）如圖，直線l和雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點，P是線段AB上的點(不與A、B重合)，過點A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP，設△AOC的面積為、△BOD的面積為、△POE的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S＝解答即可．【詳解】解：根據雙曲線的解析式可得所以可得設OP與雙曲線的交點為，過作x軸的垂線，垂足為M因此而圖象可得所以故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積為，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．5．（2021春·浙江湖州·八年級統考期末）如圖，雙曲線與直線相交于A、兩點，點坐標為，則A點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函數的圖象是中心對稱圖形，則經過原點的直線的兩個交點一定關于原點對稱．【詳解】解：點A與關于原點對稱，點的坐標為．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象的中心對稱性，解題的關鍵是熟練掌握橫縱坐標分別互為相反數．6．（2022秋·八年級校考階段練習）某中學要在校園內劃出一塊面積是的矩形土地做花圃，設這個矩形相鄰兩邊長分別為和，那么關于的函數表達式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用矩形面積求法，進而得出關于的函數表達式．【詳解】解：某中學要在校園內劃出一塊面積是的矩形土地做花面，設這個矩形相鄰兩邊長分別為和，關于的函數表達式為：，即．故選D．【點睛】此題主要考查了反比例函數的應用，正確掌握矩形面積求法是解題關鍵．7．（2021春·浙江杭州·八年級杭州外國語學校校考期中）如圖，關于x的函數和，它們在同一坐標系內的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據反比例函數圖象所經過的象限判斷出k的符號；然后由k的符號判定一次函數圖象所經過的象限，圖象一致的選項即為正確選項．【詳解】解：A、反比例函數的圖象經過第一、三象限，則．所以一次函數的圖象經過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；B、反比例函數的圖象經過第二、四象限，則．所以一次函數的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于負半軸，故本選項正確；C、反比例函數的圖象經過第一、三象限，則．所以一次函數的圖象經過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤；D、反比例函數的圖象經過第二、四象限，則．所以一次函數的圖象經過第一、三象限，且與y軸交于負半軸，故本選項錯誤；故選：B．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的圖象特點：①反比例函數的圖象是雙曲線；②當時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；③當時，它的兩個分支分別位于第二、四象限．8．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學校聯考期中）對于反比例函數圖象的敘述正確的是（

）A．關于原點成中心對稱 B．關于x軸對稱C．y隨x的增大而減大 D．y隨x的增大而減小【答案】A【分析】根據反比例函數圖象的性質判斷即可．【詳解】解：反比例函數的圖象關于原點中心對稱，故選項A符合題意；∵，∴它的圖象在第一、三象限，∴不關于x軸對稱，故選項B不符合題意；∵，∴函數圖象在每一象限內，y的值隨x值的增大而減小，此選項C、D都不符合題意；故選：A．【點睛】題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．9．（2023春·浙江寧波·八年級寧波市第七中學校聯考期中）如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，其中點的橫坐標為3，當時，的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根據正比例函數及反比例函數圖像與性質，由正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點可知，與關于原點對稱，從而根據點的橫坐標為3，得到點的橫坐標為，再由確定圖像為正比例函數圖像在反比例函數圖像下方的部分，找出其對應的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，與關于原點對稱，點的橫坐標為3，點的橫坐標為，當時，或，故選：B．【點睛】本題考查正比例函數與反比例函數綜合，涉及圖像交點特征、利用函數圖像交點求不等式解集等知識，熟練掌握正比例函數與反比例函數圖像與性質是解決問題的關鍵．10．（2021春·浙江杭州·八年級校考期中）如圖，已知，為反比例函數圖像上的兩點，動點在x軸正半軸上運動，當線段與線段之差達到最大時，點P的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當三點一線時，線段與線段之差達到最大，確定直線的解析式，與x軸的交點就是所求．【詳解】∵，為反比例函數圖像上的兩點，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴，當三點一線時，線段與線段之差達到最大，∴，解得，∴點P的坐標是．故選D．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，一次函數的解析式，最值，熟練掌握待定系數法，清楚線段差最大值的意義是解題的關鍵．二、填空題11．（2021春·浙江杭州·八年級期中）已知反比例函數則該反比例函數的圖象在___________象限．【答案】第二、四【分析】根據，即可求解．【詳解】解：∵反比例函數，∴該反比例函數的圖象在第二、四象限，故答案為：第二、四．【點睛】本題考查了反比例函數和一次函數的性質，在中，當k>0時，函數的圖象在一、三象限，當時，反比例函數的圖象在二、四象限，數形結合是解題的關鍵．12．（2022春·浙江杭州·八年級校考期末）已知反比例函數與一次函數的圖象交于點則的值為______．【答案】【分析】把圖象的交點分別代入反比例函數與一次函數，得到和的兩個關系式，就可以求出答案．【詳解】解：把分別代入反比例函數與一次函數，得，，．故答案為：．【點睛】本題考查了兩個函數的交點問題，交點坐標就是兩個解析式組成方程組的解，關鍵是分式是化簡和整體思想的應用．13．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）反比例函數的圖象上有兩點，，，若，則與的大小關系為______．【答案】【分析】先判斷出函數圖象在二、四象限，再根據，可判斷出、兩點所在的象限，根據各象限內點的坐標特點即可判斷出與的大小關系．【詳解】解：反比例函數中，此函數圖象在二、四象限，，在第二象限；點在第四象限，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點及各象限內點的坐標特點，先根據判斷出該函數圖象所在象限是解答此題的關鍵．14．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，點為直線上一點，過作的垂線交雙曲線于點，若，則的值為______．【答案】【分析】延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，根據題意可得和均為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質可得，，，進而可得到，結合，可得，所以點的橫縱坐標之積為，即得的值．【詳解】解：延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點，點為直線上的一點，，，和均為等腰直角三角形，，，，．，，整理得，，即，，，設點坐標為，，∴，．故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握反比例函數與一次函數的圖象和性質以及等腰直角三角形的性質是解答本題的關鍵．15．（2022春·浙江寧波·八年級校考期中）反比例函數，點A，是反比例函數在第一象限內圖象上的兩點，點A的坐標為，點的橫坐標為，點為坐標原點，則的面積為______．【答案】【分析】作直線，根據A的坐標為，可求出反比例函數解析式，從而可求出點坐標，進而可利用待定系數法求出直線AB的解析式為，求出直線與軸的交點的坐標后，即可由．【詳解】解：如圖，作直線，設直線與軸交于點，點在反比例函數圖象上，，解得：，反比例函數解析式為．點的橫坐標為，，．設直線AB的解析式為，則，解得：，直線解析式為，對于，令，則，解得：．∴，．故答案為：．【點睛】本題考查用待定系數法求函數解析式、反比例函數與一次函數的交點問題以及三角形的面積．解本題的關鍵是求得交點坐標．16．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，直線與反比例函數的圖象相交于A、C兩點，與x軸交于點D，過點D作軸交反比例函的圖象于點E，連結，點B為y軸上一點，滿足，且恰好平行于x軸．若，則k的值為________．【答案】6【分析】由等腰三角形的性質可得，即點C的橫坐標是點A橫坐標的2倍，可設點A的坐標，進而得出點C的坐標，由點A、點C的縱坐標得出，進而利用全等三角形得出點E的橫坐標為，利用反比例函數圖象上點的坐標特征得出點E的縱坐標，再利用三角形的面積可得k的值．【詳解】解：如圖，過點A作軸，交于點F，垂足為M，過點C作軸，垂足為N，∵，∴，由于點A、點C在反比例函數的圖象上，可設點，即，，∴，∴點，即，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點E的橫坐標為，又∵點E在反比例函數的圖象上，∴點E的縱坐標為，即，∵，即，∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征，以及一次函數與反比例函數的交點坐標，利用坐標表示線段的長是解決問題的關鍵．17．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，雙曲線經過等腰的兩頂點、，已知，//x軸交軸于點，過點作軸于點，且，則的值______．【答案】【分析】設，由題意可知,，利用勾股定理得到，求出m的值，進一步可得k的值．【詳解】解：設，則，∴，即，∴，，，解得：舍去，，，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，表示出A、C的坐標是解題的關鍵．18．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，直線交坐標軸于、兩點，函數的圖象為曲線．（1）若曲線與直線有唯一的公共點，則______；（2）若曲線使得線段上的整點（橫縱坐標均為整數的點，且不包括點、）分布在它的兩側，每側的整點個數相同，則的取值范圍為______．【答案】【分析】（1）由曲線與直線有唯一的公共點，可得只有一組解，從而得有兩個相等的實數根，利用一元二次方程根的判別式即可求解；（2）先求得線段上的整點，由曲線使得線段上的整點橫縱坐標均為整數的點，且不包括點、分布在它的兩側，每側的整點個數相同，則曲線經過和之間即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：只有一組解，有兩個相等的實數根，，解得：，故答案為：；（2）由，得，，線段上的整數點共有個，分別為，，，，，，，．當曲線經過點時，在曲線上方個，在曲線下方個；當曲線經過點時，在曲線上方個，在曲線下方個；若曲線使得線段上的整點橫縱坐標均為整數的點，且不包括點、分布在它的兩側，每側的整點個數相同，則曲線經過和之間，當曲線經過點時，；當曲線經過點時，．的取值范圍為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數的圖像及性質，熟練掌握數形結合的思想是解題的關鍵．三、解答題19．（2023春·浙江·八年級專題練習）在平面直角坐標系中，直線經過點，反比例函數的圖像經過點和點．(1)求反比例函數的解析式；(2)在軸上找一點，為等腰三角形，求點的坐標．【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）先把點代入求出，再把點的坐標代入求出即可；（2）先求出點的坐標，設，再根據兩點間的距離公式分三種情況建立方程求出即可．【詳解】（1）解：∵直線經過點，∴，∴，∴，∵反比例函數的圖像經過點，∴，∴，∴反比例函數解析式為．（2）∵反比例函數的圖像經過點，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設點，∴，，，當點滿足以下三種情況時，為等腰三角形：①當時，得：，解得：，∴；②當時，得：，解得：，，當時，，即點此時在直線上，不符合題意，舍去，∴；③當時，得：，解得：，，∴點的坐標為或．綜上所述，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查待定系數法求反比例函數解析式，一次函數解析式，反比例函數及一次函數圖像上點的坐標特征，坐標與圖形的性質，兩點間的距離公式，等腰三角形的定義等知識．求出反比例函數解析式是解題的關鍵．20．（2022春·浙江金華·八年級統考期末）如圖，反比例函數與一次函數的圖象相交于，兩點．(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)設直線交軸于點，點是軸正半軸上的一個動點，過點作軸交反比例函數的圖象于點，連，．若，求的取值范圍．【答案】(1)反比例函數的解析式為，一次函數解析式為(2)【分析】（1）將B點坐標代入反比例函解析式中求出k的值，之后求出a的值，再將A、B兩點坐標代入即可求得一次函數解析式；（2）首先根據已知求出C點坐標，再將四邊形分