第05講一次函數的應用（5種題型）【知識梳理】一．一次函數與一元一次不等式（1）一次函數與一元一次不等式的關系從函數的角度看，就是尋求使一次函數y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．（2）用畫函數圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）對應一次函數y＝kx+b，它與x軸交點為（﹣，0）．當k＞0時，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；當k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．二．一次函數與二元一次方程（組）（1）一次函數與一元一次方程的關系：由于任何一元一次方程都可以轉化為ax+b＝0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值，從圖象上看，這相當于已知直線y＝kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值．（2）二元一次方程（組）與一次函數的關系（3）一次函數和二元一次方程（組）的關系在實際問題中的應用：要準確的將條件轉化為二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義．三．兩條直線相交或平行問題直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數），當k相同，且b不相等，圖象平行；當k不同，且b相等，圖象相交；當k，b都相同時，兩條線段重合．（1）兩條直線的交點問題兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解．（2）兩條直線的平行問題若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．例如：若直線y1＝k1x+b1與直線y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．四．一次函數的應用1、分段函數問題分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際．2、函數的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數．3、概括整合（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用．（2）理清題意是采用分段函數解決問題的關鍵．五．一次函數綜合題（1）一次函數與幾何圖形的面積問題首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數的優化問題通常一次函數的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數的增減性在前面范圍內的前提下求出最值．（3）用函數圖象解決實際問題從已知函數圖象中獲取信息，求出函數值、函數表達式，并解答相應的問題．【考點剖析】一．一次函數與一元一次不等式（共6小題）1．（2021秋?肥西縣期末）如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過A，B兩點．（1）求此一次函數的解析式；（2）結合函數圖象，直接寫出關于x的不等式kx+b＜4的解集．2．（2022秋?無為市校級月考）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出函數的圖象，并利用圖象解決下列問題：（1）求方程的解；（2）求不等式＜0的解集；（3）若﹣2≤x≤4，求y的取值范圍．3．（2021秋?桐城市校級期末）如圖，一次函數l1：y＝2x﹣2的圖象與x軸交于點D，一次函數l2：y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，且經過點B（3，1），兩函數圖象交于點C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根據圖象，直接寫出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．4．（2022秋?亳州期末）如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與x軸交于點B（2，0），與y軸交于點A（0，5），與正比例函數y＝mx的圖象交于點C，且點C的橫坐標為（1）求一次函數y＝kx+b和正比例函數y＝mx的解析式；（2）結合圖象直接寫出不等式0＜kx+b＜mx的解集．5．（2021秋?安慶期末）已知：如圖一次函數y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標；（2）若一次函數y1＝﹣x﹣2與y2＝x﹣4的圖象與x軸分別相交于點B、C，求△ABC的面積．（3）結合圖象，直接寫出y1≥y2時x的取值范圍．6．（2022秋?花山區期中）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+1與y軸交于點C，直線y＝x+k（k≠0）與y軸交于點A，與直線y＝﹣2x+1交于點B，設點B的橫坐標為﹣2．（1）求點B的坐標及k的值；（2）求直線y＝﹣2x+1、直線y＝x+k與y軸所圍成的△ABC的面積；（3）根據圖象直接寫出不等式﹣2x+1＞x+k的解集．二．一次函數與二元一次方程（組）（共3小題）7．（2021秋?大觀區校級期中）如圖，直線y1＝x+3與直線y2＝mx+交于點M（﹣1，2），與x軸分別交于點A，B，與y軸分別交于C，D．（1）根據圖象寫出方程組的解是．（2）根據函數圖象寫出不等式x+3≤mx+的解集．（3）求直線AC，直線BD與x軸圍成的△ABM的面積．8．（2020秋?廬陽區校級期中）已知：一次函數y1＝x+2和y2＝﹣x﹣1．（1）在同一坐標系中，作出這兩個函數的圖象，并寫出交點的坐標；（2）結合圖象，直接寫出方程組的解；（3）結合圖象，直接寫出滿足y1≥y2時自變量x的取值范圍．9．（2022秋?蚌埠期中）如圖，l1，l2分別表示兩個一次函數的圖象，它們相交于點P，（1）求出兩條直線的函數關系式；（2）點P的坐標可看作是哪個二元一次方程組的解；（3）求出圖中△APB的面積．三．兩條直線相交或平行問題（共6小題）10．（2021秋?埇橋區期末）如圖，在平面直角坐標系中，過點B（3，0）的直線AB與直線OA相交于點A（2，1），動點M沿路線O→A→C運動．（1）求直線AB的解析式．（2）求△OAC的面積．（3）當△OMC的面積是△OAC的面積的時，求出這時點M的坐標．11．（2022秋?全椒縣期中）已知一次函數與的圖象相交于點P．（1）求點P的坐標；（2）已知一次函數的圖象與x軸交于點A，一次函數的圖象與x軸交于點B，若直線l經過點P和線段AB的中點C，求直線l的函數表達式．12．（2021秋?金安區校級月考）已知，直線y＝2x+3與直線y＝﹣2x﹣1．（1）求兩直線交點C的坐標；（2）求△ABC的面積．13．（2022秋?霍邱縣期中）直線y＝kx+b與直線y＝x+3的交點M的縱坐標為5，其與直線y＝3x﹣9的交點N的橫坐標也為5．（1）求k，b的值；（2）求直線y＝kx+b與坐標軸圍成的三角形面積．14．（2022秋?無為市月考）如圖，已知直線AB：y1＝kx+3分別與y軸，x軸交于A，B兩點，直線CD：y2＝ax+b分別與x軸，y軸交于點C（﹣6，0），點D，兩直線的交點M為（﹣4，﹣1）．（1）求k，a，b的值．（2）連接OM，試說明S三角形BCM+S三角能AOB＝S三角形DOM（S表示幾何圖形的面積）．（3）若x軸上存在點P，使得S三角形APM＝S三角形ADM（S表示幾何圖形的面積），求出此時點P的坐標．15．（2022秋?迎江區校級期末）如圖，一次函數y＝﹣x+4的圖象分別與x軸，y軸的正半軸交于點A、B，一次函數y＝kx﹣4的圖象與直線AB交于點C（m，2），且交于x軸于點D．（1）求m的值及點A、B的坐標；（2）求△ACD的面積；（3）若點P是x軸上的一個動點，當S△PCD＝時，求出點P的坐標．四．一次函數的應用（共16小題）16．（2022秋?亳州期末）甲、乙兩商場出售相同的某種商品，每件售價均為3000元，并且多買都有一定的優惠．甲商場的優惠條件是：第一件按原價收費，其余每件優惠30%；乙商場的優惠條件是：每件優惠25%．設所買商品為x（x＞1））件，甲商場收費為y1元，乙商場收費為y2元．（1）分別求出y1，y2與x之間的關系式；（2）當所買商品為5件時，選擇哪家商場更優惠？請說明理由．17．（2022秋?金安區校級月考）甲、乙兩個工程隊同時開始維修某段路面，一段時間后，乙隊被調往別處，甲隊又用了3小時完成了剩余的維修任務，已知甲隊每小時維修路面的長度保持不變，乙隊每小時維修路面50米，甲、乙兩隊在此路段的維修總長度y（米）與維修時間x（時）之間的函數圖象如圖所示．（1）乙隊調離時，甲、乙兩隊已完成的維修長度為米；（2）甲隊每小時維修路面米；（3）求乙隊調離后y與x之間的函數關系式．并寫出自變量的取值范圍．18．（2022秋?埇橋區期中）某單位今年“十一”期間要組團去旅游，與旅行社聯系時，甲旅行社提出每人次收300元車費和住宿費，不優惠．乙旅行社提出每人次收350元車費和住宿費，但有3人可享受免費待遇．（1）分別寫出甲、乙兩旅行社的收費y1、y2（元）與旅行人數x（x≥3）（人）之間函數關系式；（2）如果組織20人的旅行團時，選哪家旅行社比較合算？（3）當旅行團為多少人時，選甲或乙旅行社所需費用一樣多？19．（2022秋?阜陽期中）為滿足廣大顧客的購物需求，某蔬菜超市計劃購進甲、乙兩種辣椒進行銷售．經了解，甲辣椒的進價比乙辣椒的進價低20%，蔬菜超市用1000元購進甲種辣椒比用1200元購進乙種辣椒的重量多10千克，已知甲、乙兩種辣椒的售價分別為6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙兩種辣椒的進價分別是多少？（2）若蔬菜超市購進這兩種辣椒共150千克，其中甲種辣板的重量不低于乙種辣椒重量的2倍，則蔬菜超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？20．（2022秋?亳州期末）隨著地球上的水資源日益枯竭，各級政府越來越重視倡導節約用水．某市市民生活用水按“階梯水價”方式進行收費，人均月生活用水收費標準如圖所示，圖中x表示人均月生活用水的噸數，y表示生活用水的費用（元）．請根據圖象信息，回答下列問題：（1）該市人均月生活用水的收費標準是：不超過5噸，每噸按元收取；超過5噸的部分，每噸按元收取；（2）若小明家這個月繳水費32元，他家本月用了多少噸水？21．（2022秋?相山區校級期末）某學校購買一批籃球和排球，已知購買2個籃球和1個排球需170元，購買5個籃球和2個排球需400元．（1）分別求籃球和排球的單價．（2）該學校準備購買籃球和排球共100個，每種球至少買一個且籃球個數不少于排球個數的3倍．①設購買籃球m（個），總費用為W（元），寫出W關于m的函數表達式并寫出自變量的取值范圍；②請設計總費用最低的購買方案，并求出最低費用．22．（2022秋?蕭縣期中）甲、乙兩家體育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定價20元，乒乓球拍每副定價100元．現兩家商店都搞促銷活動，甲店每買一副球拍贈兩盒乒乓球，乙店按八折優惠．某俱樂部需購球拍4副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）若在甲店購買付款y甲（元），在乙店購買付款y乙（元），分別寫出：y甲，y乙與x的函數關系式．（2）若該俱樂部需要購買乒乓球30盒，在哪家商店購買合算？23．（2022秋?宣州區期末）甲乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發向乙地，如圖，線段OA表示貨車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系，折線BCD表示轎車離甲地距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數關系．請根據圖象解答下列問題：（1）轎車到達乙地后，貨車距乙地多少千米？（2）求線段CD對應的函數解析式．24．（2022秋?霍邱縣月考）為滿足顧客的購物需求，某水果店計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售．經了解，購進2千克甲水果和3千克乙水果共需23元，購進3千克甲水果和1千克乙水果共需17元，已知甲，乙兩種水果的售價分別為6元/千克和10元/千克．（1）求甲、乙兩種水果的進價分別是多少？（2）若水果店購進這兩種水果共200千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的1.5倍，則水果店應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？25．（2022秋?全椒縣期中）“抖音直播”已成為一種新型的媒體傳播方式，如圖反映了某主播在直播期間在線觀看人數y（萬人）與其直播時間t（h）之間的函數關系．（1）試確定y與t之間函數關系的表達式；（2）若抖音平臺規定：主播的直播時間不得少于h，也不得超過4h，求該主播在直播期間在線觀看人數的最小值．26．（2022秋?渦陽縣校級月考）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調，其中甲種空調比乙種空調進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調數量與用50000元購進乙種空調數量相同．該商場計劃一次性從空調生產廠家購進甲、乙兩種空調共100臺，其中乙種空調的數量不超過甲種空調的2倍．若甲種空調每臺售價2400元，乙種空調每臺售價3000元．請解答下列問題：（1）求甲、乙兩種空調每臺的進價分別是多少元？（2）設購進甲種空調x臺，100臺空調的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；（3）該商店購進甲、乙兩種空調各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？27．（2022秋?金安區校級期末）在“新冠病毒”疫情防控期間，某藥店分兩次購進酒精消毒液與測溫槍進行銷售，兩次購進同一商品的進價相同，具體情況如表所示：購進數量（件）購進所需費用（元）酒精消毒液測溫槍第一次30406300第二次40304900（1）求酒精消毒液和測溫槍每件的進價分別是多少元？（2）該藥店決定酒精消毒液以每件15元出售，測溫槍以每件200元出售．為滿足市場需求．需購進這兩種商品共1000件，設購進測溫槍m件，獲得的利潤為W元，請求出獲利W（元）與購進測溫槍件數m（件）之間的函數關系式．若測溫槍的數量不超過300件，求該公司銷售完上述1000件商品獲得的最大利潤．28．（2022秋?貴池區期末）某超市雞蛋供應緊張，需每天從外地調運雞蛋600千克．超市決定從甲、乙兩大型養殖場調運雞蛋，已知甲養殖場每天最多可調出400千克，乙養殖場每天最多可調出450千克，從甲、乙兩養殖場調運雞蛋到該超市的路程和運費如表：到超市的路程（千米）運費（元/千克?千米）甲養殖場900.05乙養殖場400.03設從甲養殖場調運雞蛋x千克，總運費為W元．（1）從甲養殖場調運雞蛋的運費，用代數式表示為，從乙養殖場需要調運雞蛋的數量，用代數式表示為；（2）試寫出W與x的函數關系式；（3）怎樣安排調運方案才能使每天的總運費最少？29．（2022秋?泗縣期中）一條筆直的公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地駛往C地，乙車從A地駛往B地，兩車同時出發并以各自的速度勻速行駛．乙車中途因汽車故障停下來修理，修好后立即以原速的兩倍繼續前進到達B地；如圖是甲、乙兩車與A地的距離y（千米）與出發時間x（小時）之間的大致圖象．（1）求B、C兩地之間的距離；（2）什么時候乙追上甲；（3）當兩車相距40千米時，甲車行駛了多長時間．30．（2022秋?安徽期中）某商業集團準備購進A，B兩款口袋打印機在甲、乙兩個商場進行銷售，這兩款口袋打印機每臺的利潤如表：打印機利潤商場甲商場乙商場A款（元/臺）9560B款（元/臺）7045為迎接雙十二，該商業集團新進了40臺A款，60臺B款調配給甲，乙兩個商場，其中70臺給甲商場，30臺給乙商場．（1）設該集團調配給甲商場A款x臺，求總利潤y與x的函數關系式．（2）①若這100臺口袋打印機全部銷售出去，如何調配才能讓商業集團的利潤最大．并求出利潤的最大值．②為了促銷，該商業集團決定對甲商場的A款，B款每臺分別讓利a元和b元（5≤b≤8），其他銷售利潤不變，當天結算時發現銷售總利潤與調配方案無關．當總利潤最大時，求此時a的值．31．（2022秋?亳州月考）學習貫徹習近平總書記關于生態文明建設系列重要講話精神，牢固樹立“綠水青山就是金山銀山”理念，把生態文明建設融入經濟建設、政治建設、文化建設、社會建設各個方面和全過程．在建設美麗中國的活動中，某學校計劃組織全校1450名師生到相關部門規劃的林區植樹，經過研究，決定在當地租車公司租用62輛A、B兩種型號的客車作為交通工具．下表是租車公司提供給學校有關A、B兩種型號客車的載客量和租金信息：型號載客量租金A30人/輛280元/輛B20人/輛180元/輛注：載客量指的是每輛客車最多可載該校師生的人數；（1）設租用A型號客車x輛，租車總費用為y元，求y與x之間的函數表達式，并通過計算求出x的取值范圍；（2）若要使租車總費用不超過13460元，則共有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？五．一次函數綜合題（共7小題）32．（2022秋?定遠縣校級月考）如圖，已知直線y＝kx+b經過點B（1，4），與x軸交于點A（5，0），與直線y＝2x﹣4交于點C（3，m）．（1）求直線AB的函數表達式及m的值；（2）根據函數圖象，直接寫出關于x的不等式組2＜kx+b＜4的解集：；（3）現有一點P在直線AB上，過點P作PQ∥y軸交直線y＝2x﹣4于點Q，若點C到線段PQ的距離為1，求點P的坐標和點Q的坐標．33．（2022秋?利辛縣月考）如圖，直線AB為y＝kx+6，D（8，0），點O關于直線AB的對稱點C在直線AD上．（1）求直線AD的解析式．（2）求點C的坐標．（3）若OC交AB于點E，在線段AD上是否存在一點F，使△ABC與△AEF的面積相等？若存在求出F點坐標，若不存在，請說明理由．34．（2021秋?蜀山區校級期中）如圖，直線y＝﹣x+3與坐標軸交于點A、B兩點，直線CP與直線AB相交于點P（﹣，a），交x軸于點C，且△PAC的面積為．（1）則A點的坐標為；a＝；（2）求直線PC的解析式；（3）若點D是線段AB上一動點，過點D作DE∥x軸交直線PC于點E，若DE＝2，求點D的坐標．35．（2022秋?宜秀區校級月考）已知函數y＝，其中m為常數，該函數圖象記為G．（1）當m＝1時．①若點A（a，4）在圖象G上，求a的值．②當﹣1≤x≤2時，直接寫出函數值y的取值范圍．（2）點B在圖象G上，點B的橫坐標為2m．①用含m的代數式表示點B的坐標．②當m＞0時，直線y＝4m與圖象G交于點C、D，當△BCD的面積為9時，求點B的坐標．③過點B作x軸的垂線，與直線y＝x+交于點H，當BH≥2時，直接寫出m的取值范圍．36．（2021秋?阜陽月考）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+b的圖象與x軸，y軸分別交于B，C兩點，與正比例函數y＝x的圖象交于點A，點A的橫坐標為4．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）若動點M在線段OA和射線AC上運動，當三角形OMC的面積是三角形OAC的面積的時，求點M的坐標；（3）若點P（m，1）在三角形AOB的內部（不包括邊界），則m的取值范圍是．37．（2021秋?瑤海區期中）如圖，直線y＝kx﹣1與x軸正半軸、y軸負半軸分別交于B、C兩點，且OC＝2OB．（1）求B點坐標和k的值；（2）若點A是直線y＝kx﹣1上的一個動點（不與點B重合），且點A的橫坐標為t，試寫出在點A運動過程中，△AOB的面積S與t的函數表達式；（3）若△AOB的面積為1時，試確定點A的坐標．38．（2019秋?泗縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，過點C（0，6）的直線AC與直線OA相交于點A（4，2），動點M在線段OA和射線AC上運動，試解決下列問題：（1）求直線AC的表達式；（2）求△OAC的面積；（3）是否存在點M，使△OMC的面積是△OAC的面積的？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·安徽宿州·八年級期末）如圖，關于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽滁州·八年級校聯考期中）某天早晨，小米從家出發勻速步行到學校．小米出發一段時間后，爸爸發現小米忘帶了數學作業，立即下樓騎自行車，沿小米行進的路線勻速去追小米．爸爸追上小米后將數學作業交給小米后，立即沿原路線勻速返回家里，但由于路上行人漸多，爸爸返回時騎車的速度只有原來速度的一半．小米繼續以原速步行前往學校．爸爸與小米之間的距離（米）與小米從家出發后步行的時間（分）之間的關系如圖所示（小米和爸爸上、下樓以及爸爸交數學作業給小米耽擱的時間忽略不計）．對于以下說法，正確的結論是（

）A．學校離家的距離是米B．爸爸回家的速度為米/分鐘C．爸爸從追上小米到返回家中共用時分鐘D．當爸爸剛回到家時，小米離學校的距離為米3．（2022秋·安徽滁州·八年級校考階段練習）如圖，已知直線與的交點的橫坐標為，根據圖像，下列結論中錯誤的是（

）A． B．C．是方程的解 D．是不等式的解集4．（2022秋·安徽亳州·八年級校聯考期中）已知方程的解是，則直線和的交點坐標為（

）．A． B． C． D．5．（2022秋·安徽·八年級期末）若直線和相交于點，則方程組的解為（）A． B． C． D．6．（2022秋·安徽滁州·八年級校考階段練習）如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別相交于點，，若點在的內部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·安徽阜陽·八年級校聯考期中）甲、乙兩個工程隊分別同時維修兩段道路，所維修的道路長度與維修的天數之間的函數關系圖象如圖所示，下列結論正確的是(

)A．開工第2天時，甲隊比乙隊多維修B．開工第6天時，甲隊比乙隊多維修C．甲隊維修道路長度為時，乙隊所維修的道路長度為D．開工第天或第天時，甲、乙兩隊所維修道路長度的差為二、填空題8．（2019秋·安徽宿州·八年級校考階段練習）如圖，已知函數和的圖象交于點，則根據圖象可得，關于，的二元一次方程組的解是______．9．（2022秋·安徽馬鞍山·八年級校考期中）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與甲出發的時間（t）分之間的關系如圖所示，下列結論：①甲步行的速度為60米/分；

②乙走完全程用了30分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達終點時，甲離終點還有360米．其中正確的結論有____________．（填序號）10．（2022秋·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，，P是y軸上一點．（1）若點P在直線上，則點P的坐標為___________．（2）已知S表示圖形的面積，若，則點P的坐標為___________．11．（2020秋·安徽宣城·八年級校考期中）已知直線與的交點為，則方程組的解是___________．12．（2023秋·安徽六安·八年級統考期末）如圖，由圖像得的解是__________13．（2022秋·安徽·八年級期末）如圖，已知函數與函數的圖象交于點，則方程組的解是______．14．