第二章整式的乘法（壓軸題專練）一、選擇題1．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知是自然數，且滿足，則的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】將原式變形為，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，進而得到，根據三個數均為自然數，解得，此時分類討論a和c的值即可求解．【詳解】原式=∵式中有乘數3的倍數∴∵不能被3整除∴原式中只能有1個3∴原式化為∴∴∵是自然數∴解得當時，，得；當時，，得；當時，，得；當時，，得；故選D．2．（2018上·山東威海·八年級校考期中）將多項式加上一個整式，使它成為完全平方式，則下列不滿足條件的整式是(

)A． B．±4x C． D．【答案】D【分析】分x2是平方項與乘積二倍項，以及單項式的平方三種情況，根據完全平方公式討論求解.【詳解】解：①當x2是平方項時，4士4x+x2=（2士x）2，則可添加的項是4x或一4x；②當x2是乘積二倍項時，4+x2+=（2+）2，則可添加的項是；③若為單項式，則可加上-4.故選D.3．（2023下·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學校校考階段練習）關于的多項式：，其中為正整數，各項系數各不相同且均不為0．當時，，交換任意兩項的系數，得到的新多項式我們稱為原多項式的“兄弟多項式”．給出下列說法：①多項式共有6個不同的“兄弟多項式”；②若多項式，則的所有系數之和為；③若多項式，則；④若多項式，則．則以上說法正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①理解兄弟多項式的含義，對多項式的三項系數進行互換共有6種情況，②③④取和，代入各式中即可得出代數式的值．【詳解】解：①多項式有三項系數，互相交換共有6種不同結果，所以共有6個不同的“兄弟多項式”，故①正確，符合題意；②若多項式，且，則取時，，即的所有系數之和為，當為偶數時，系數之和為1，當為奇數時，系數之和為，故②正確，符合題意；③若多項式，，取時，，取時，，兩式相加得，解得，故③正確，符合題意；④若多項式，，取時，，取時，，兩式相減得，解得，故④正確，符合題意；故選：D4．（2023上·湖北·九年級校考周測）若能被整除，則的值是（

）A． B． C．6 D．4【答案】A【分析】本題考查了整式的乘法，及用待定系數法求字母的值．由于的最高次項是，而的最高次項是，因此可設，將按照多項式乘法法則乘開，再利用待定系數法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可．熟練掌握多項式乘法法則和待定系數法是解題的關鍵．【詳解】設，，，解得，，，，，故選：A．5．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學校考階段練習）若有兩個整式，．下列結論中，正確的有（

）①當為關于的三次三項式時，則；②當多項式乘積不含時，則；③；④當能被整除時，；⑤若或時，無論和取何值，值總相等，則．A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤【答案】C【分析】求出，可得當時，為關于的三次三項式，此時，故說法①錯誤；求出，再由多項式乘積不含，可得，解得：，故說法②錯誤；當時，可得，當時，可得，故③說法正確；設，可得，從而得到，故④說法正確；根據當或時，無論和取何值，值總相等，可得且，故⑤說法正確，即可．【詳解】解：∵，，∴，當時，為關于的三次三項式，此時，故說法①錯誤；∵多項式乘積不含，∴，解得：，故說法②錯誤；當時，，即，當時，，即，∴，故③說法正確；∵能被整除，∴可設，∵∴，即，∴，∴，故④說法正確；當時，，當時，，∵當或時，無論和取何值，值總相等，∴且，解得：，故⑤說法正確；故選：C6．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶一中校考期中）對于五個整式，：；：；：；：；：有以下幾個結論：①若為正整數，則多項式的值一定是正數；②存在有理數，，使得的值為；③若關于的多項式（為常數）不含的一次項，則該多項式的值一定大于．上述結論中，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據整式的乘法混合運算，及完全平方公式為非負的特點，結合特殊值代入法求解．【詳解】解：①，當時，．故①是錯誤的；②當，即，∴，當時，或者．所以②是正確的．③∵，∵不含x的一次項，∴，∴，∴，∴③是錯誤的；綜上，只有②是正確的．故選：B．7．（2023下·山東濟南·七年級統考期末）設，，．若，則的值是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據完全平方公式得出，，進而根據已知條件得出，進而即可求解．【詳解】，，，，，，，，，故選：C．8．（2023下·安徽宿州·七年級安徽省泗縣中學校聯考階段練習）在數學中，為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉就引進了求和符號“”．如：記；．已知：，則的值是（

）A．40 B． C． D．【答案】D【分析】可求，當時，即可化簡求解．【詳解】解：由題意得，當時，；因為所以，所以．故選：D．9．（2023下·重慶南川·八年級統考期末）有個依次排列的整式：第1項是，用第1項乘，所得之積記為，將第1項加上得到第2項，再將第2項乘得到，將第2項加上得到第3項……以此類推，某數學興趣小組對此展開研究，得到下列4個結論：①第4項為；②；③若第2023項的值為0，則；④當時，第項的值為．以上結論正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據題干所提供的運算方法，分別計算出第2項，的值；第3項，的值，第4項，的值，第5項，的值，由規律可判斷每個結論的正誤即可．【詳解】解：根據題意，第1項為，，第2項為，，第3項為，，第4項為，故①正確；，故②錯誤；若第2023項的值為0，即，即，，故③正確；當時，設①②①－②，得，，故④錯誤．故選B．10．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，將兩張長為，寬為的長方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置，圖1和圖2中兩張長方形紙片重疊部分分別記為①和②，正方形中未被這兩張長方形紙片覆蓋部分用陰影表示，圖1和圖2中陰影部分的面積分別記為和．若知道下列條件，仍不能求值的是（）

A．長方形紙片的周長和面積 B．長方形紙片長和寬的差C．①和②的面積差 D．長方形紙片和①的面積差【答案】D【分析】設正方形的邊長為，分別求出、①和②的面積、長方形紙片的面積與周長，再逐項判斷即可得．【詳解】解：如圖，設正方形的邊長為，

則，，，∵長方形紙片的周長為，面積為，∴若知道長方形紙片的周長和面積或長方形紙片長和寬的差，能求出，即選項A、B不符合題意；圖中①的面積為，②的面積為，∴①和②的面積差為，∴若知道①和②的面積差，能求出，即選項C不符合題意；∵長方形紙片和①的面積差為，∴若知道長方形紙片和①的面積差，不能求出，即選項D符合題意；故選：D．11．（2023下·四川成都·七年級統考期末）楊輝三角是中國古代數學杰出研究成果之一，它把（其中n為自然數）的展開式中的各項的系數直觀地體現了出來，其中的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第行的每一項，如下所示：的展開式…根據上述材料，則的展開式中含項的系數為?（

）A．10 B． C．40 D．【答案】B【分析】由計算規律可得，的展開式中字母部分因式依次為，，，，，，結合“楊輝三角”得出的各項系數，然后考慮符號計算即可．【詳解】解：結合“楊輝三角”可得的各項系數（不考慮符號）為：1，5，10，10，5，1；是由可得，符號為負號，系數為第三個系數10，∴項的系數為；故選：B．12．（2023下·安徽淮北·七年級校聯考期末）關于的多項式：，其中為正整數，若各項系數各不相同且均不為0，我們稱這樣的多項式為“親緣多項式”．①是“親緣多項式”．②若多項式和均為“親緣多項式”，則也是“親緣多項式”．③多項式是“親緣多項式”且．④關于的多項式，若，，為正整數，則為“親緣多項式”．以上說法中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①將展開，進行判斷即可；②合并同類項后，進行判斷即可；③計算出，進行判斷即可；④利用特殊值法進行判斷即可．【詳解】解：①，各項系數各不相同且均不為0，是“親緣多項式”，故①正確；②，并不能確定各項系數各不相同且均不為0，不是“親緣多項式”，故②錯誤；③，是“親緣多項式”，，，；故③正確；④當，，時：，三次項和一次項的系數相同，不是“親緣多項式”，故④錯誤；綜上：正確的有2個；故選：B．13．（2023下·安徽宿州·七年級統考期末）觀察下列算式：①；②；③；…結合你觀察到的規律判斷的計算結果的末位數字為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根據已知式子的特點得出規律，求出式子的結果，再求出的個位數字，最后即可得出答案.【詳解】解：由題意，得．因為，，，，，，所以2的乘方運算，其末位數字分別為2，4，8，6，每4個為一組，依次循環．因為，所以的末位數字為6，所以的末位數字為5，即的計算結果的末位數字為5．14．（2022上·江蘇·八年級統考期末）已知實數a，b滿足，則代數式的最大值為（

）A．－4 B．－5 C．4 D．5【答案】A【分析】先整體代入，將原式轉化為只含有a的代數式，直接求最大值即可．【詳解】，即時，的最大值為故選：A15．（2021·浙江·九年級自主招生）若實數x，y，z滿足，求（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】令，分別求出，，，，最后根據分別代入化簡求解即可．【詳解】解：令，則∵，∴，整理得：，∵，∴，∵，，，∴，∵，即∴，∴，∵，，∵∵，∴，解得：，∴，故選：B．16．（2022下·福建廈門·八年級廈門外國語學校校考階段練習）已知，，，，則a、b、c、d的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先變形化簡，，，，比較11次冪的底數大小即可．【詳解】因為，，，，因為，所以，所以，故即；同理可證所以，故選A．17．（2022上·湖南長沙·七年級校聯考階段練習）已知，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，，兩等式左右兩邊分別相減，可得到，將，利用完全平方公式，變為，再將上面的式子的值代入，問題得解．【詳解】解：∵，，∴，即：，故答案為：C．18．（2022上·福建莆田·八年級校考期末）觀察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明發現其中蘊含著一定的運算規律，并利用這個運算規律求出了式子“”的值，這個值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知可得=①，設=k②，則由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．【詳解】解：由題意，得=(2-1)()=即=①，設=k②，由①+②得：，，即③，由①-②得：，即④，由④-③得：=，∴=k，解得：k=．故選：D．19．（2022下·陜西西安·七年級高新一中校考期中）的個位數字為（

）A．5 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】將變形為，利用平方差公式求解．【詳解】解：，∵，，，，……可知個位數變化規律為：3，9，7，1，4次一個循環，∴的個位數為1，∴的個位數為0，∴的個位數可能是0或5，∴的個位數可能是1或6，觀察選項可知，只有B選項為1，故選B．20．（2022下·福建泉州·九年級泉州五中校考開學考試）已知x，y為實數，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意先將u轉化為，然后再根據進行配方，確定xy的范圍，從而求出u的范圍，得到M，m的大小即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，當且僅當，即，，或，時，等號成立，∴的最小值為，∴最小值為：，即，∵，當且僅當時，即，，或，時等號成立，∴的最大值為，∴的最大值為，即，∴，故選：C．21．（2018下·四川巴中·七年級四川省巴中中學校考期中）已知，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把a、b、c三個數變成指數相同的冪，通過底數可得出a、b、c的大小關系．【詳解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵，∴．故選：A．22．（2020上·河北邢臺·八年級河北南宮中學校考期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11【答案】B【分析】由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通過配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整體求出ab+bc+ac即可．【詳解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，∴a﹣c＝4，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．故答案為B．二、填空題23．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習）對于一個三位數，其十位數字等于個位數字與百位數字的差的兩倍，則我們稱這樣的數為“倍差數”，則最小的“倍差數”為若一個數能夠寫成（，均為正整數，且），則我們稱這樣的數為“不完全平方差數”，記．例如，所以或．若一個小于的三位數（其中，，且，，均為整數）既是一個“不完全平方差數”，也是一個“倍差數”，則滿足條件的的最大值為．【答案】【分析】根據新定義，可得百位數最小為1，再根據新定義確定十位數與個位數，即可得出最小的倍差數；由三位數小于，，得到的值，根據情況討論，可得答案．【詳解】解：依題意，最小的“倍差數”百位數最小為1，當十位為0時，則個位為1，∴最小的“倍差數”是∵三位數小于，，，，又∵是“倍差數”，當時，；當時，；當時，；當時，；，，∴或，∴或；而不是“不完全平方差數”，∴的最大值．故答案為：，．24．（2022下·福建泉州·七年級校考期中）設，，…，是從1，0，這三個數取值的一列數，若，，則，，…，中為0的個數是．【答案】179【分析】由題意可得，則，設有個1，個0，個，則，即可求解．【詳解】∵，，，，設有個1，個0，個，∴，，，，，中為0的個數是179，故答案為：179．25．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）一個兩位正整數，如果滿足各數位上的數字互不相同且均不為0，則將的兩個數位上的數字對調得到一個新數．把放在的后面組成第一個四位數，把放在的后面組成第二個四位數，我們把第一個四位數減去第二個四位數后再除以11所得的商記為，例如：時，，．對于兩位正整數s與t，其中，（，，，且，，，為整數）．若能被整除，則的值為，在此條件下，若，其中為整數，則此時與乘積的最大值為．【答案】【分析】根據題意求得，結合題意可得，，推得所有可能情況，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵能被整除，，∴；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵為整數，∴或，∵，，∴當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，當，時，，∵，，∴的值為：或，∴的最大值為：，故答案為：，．26．（2022上·江西新余·八年級統考階段練習）為非零自然數，若為兩個連續自然數之積，則的值是．【答案】2或6【分析】可分析確定，進而或，分別求解；【詳解】；∵，∴∴或解得或時，，時，，故答案為：2或627．（2023上·四川眉山·七年級統考期末）閱讀材料，回答下列問題：材料一：積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即：．材料二：等式成立試求：（1）．（2）．【答案】220333300【分析】（1）根據將變形為，再利用進行計算即可得到答案；（2）先利用將變形為，再利用進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1），，原式，故答案為：220；（2），，原式，故答案為：333300．28．（2023下·湖南懷化·七年級統考期末）計算：．【答案】【分析】利用平方差公式將變形為，通過相鄰的項約分化簡即可求解．【詳解】解：故答案為：．29．（2022上·江蘇連云港·七年級校考期中）矩形內放入兩張邊長分別為a和的正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分面積為；按圖③放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分的面積為，已知，，設，則．

【答案】7【分析】利用面積的和差表示出，根據圖①與圖②分別表示出矩形的面積，進而得到，從而求解．【詳解】解：由，可得：，由圖①得：，由圖②得：，∴，∴，∵，∴．故答案為：7．30．（2022上·四川成都·八年級校考期中）若正整數滿足，這樣的三個整數（如：或）我們稱它們為一組“完美勾股數”．當時，共有組這樣的“完美勾股數”．【答案】【分析】由于，，大于等于小于的非偶數完全平方數有，一共個，可得共有組這樣的“完美勾股數”．【詳解】解：∵∴，∵，n為正整數，∴為大于等于小于的非偶數完全平方數，這樣的數有：，一共個，∴共有組這樣的“完美勾股數”．故答案為：8．31．（2023·上海·七年級假期作業）請同學運用計算，解決問題：已知x、y、z滿足，求的最大值是．【答案】12【分析】根據已知條件化簡，根據完全平方公式的非負性求得原式的最大值，進而即可求解．【詳解】∵，∴；∵，∴∴原式=，，∴原式．故原式的最大值是12；故答案為：12．32．（2023下·江蘇蘇州·七年級統考期中）填空：；；；…(1)；(2)猜想：；（其中為正整數，且）(3)利用（2）中的猜想的結論計算：①②．【答案】(1)(2)(3)①，②【分析】（1）根據題中條件總結歸納即可求解；（2）根據題中條件總結歸納即可求解；（3）①根據題中條件可得，即可求出答案；②由題意可得：，從而求得答案．【詳解】（1）解：根據上式總結歸納得：，故答案為：；（2）解：根據上式猜想得：，故答案為：；（3）解：①∴，∴原式；②由題意可得：，∴∴．33．（2022上·北京海淀·七年級清華附中校考期末）設x，y滿足，，則．【答案】【分析】將，兩式相加，再利用立方和公式，求解即可．【詳解】解：將，兩式相加，可得，即，即，∵恒成立，∴，即，，故答案為：．34．（2022·浙江寧波·校考模擬預測）已知，且，則的值為．【答案】【分析】利用完全平方公式，得，利用這個公式變形即可得出答案．【詳解】解：由，去分母，得，則∵∴原式故答案為：35．（2022·山東濟南·濟南育英中學校考模擬預測）已知實數a，b，c滿足，，則．【答案】/2.5【分析】靈活運用立方和公式進行轉換，再從中找到相應規律求出的值即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．三、解答題36．（2024上·遼寧大連·八年級統考期末）通過第14章的學習，我們已經知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數學等式：如圖1可以得到；如圖2可以得到：；現有長與寬分別為a、b的小長方形若干個，用四個相同的小長方形拼成圖3的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)【探索發現】根據圖中條件，猜想并驗證與之間的關系（用含a、b的代數式表示出來）；圖3表示：_____________；(2)【解決問題】①若，，則_______；②當時，求的值．(3)【拓展提升】如圖4，點C是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形和，延長和交于點H，那么四邊形為長方形，設，圖中陰影部分面積為42，求兩個正方形的面積和．【答案】(1)(2)①12；②2016；(3)52【分析】此題主要考查了幾何背景下的完全平方公式，準確識圖，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的關鍵；（1）根據圖3是一個邊長為的大正方形，是由4個長為，寬為的長方形和一個邊長為的小正方形構成，由此根據圖形的面積可得出與之間的關系；（2）①先由完全平方公式得，再將，整體代入計算即可得出的值；②先設，，則，，，然后根據（1）的結論得，據此可得的值；（3）設，，則，，，再由完全平方公式得，據此可得的值．【詳解】（1）解：如圖3所示：大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，另一方面：大正方形是由4個長為，寬為的長方形和一個邊長為的小正方形構成，，故答案為：．（2）解：①，，，，，，故答案為：12；②設，，，，，，由（1）可知：，，；（3）解：設，，，，圖中陰影部分面積為24，，四邊形和均為正方形，，，，．37．（2023上·福建龍巖·八年級校考階段練習）通過課堂的學習知道，我們把多項式及叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代數式的最小值，．可知當時，有最小值，最小值是，根據閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)代數式的最大值為：；(2)若與，判斷的大小關系，并說明理由；(3)已知：，，求代數式的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】本題考查了因式分解的應用、非負數的性質、完全平方公式的應用，解題時要注意配方法的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．（1）先配方，然后根據完全平方式的非負性求最大值即可；（2）先表示出，然后由完全平方式的非負性可得，由此即可得解；（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非負性可得，，求出，代入進行計算即可．【詳解】（1）解：，當時，由最大值，為，代數式的最大值為，故答案為：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．38．（2023上·湖南長沙·八年級校考期中）對于任意實數，，我們規定：，，例如：，．(1)填空：①_________；②若，則_________；③若，則_________0．（填“”，“”或“=”）(2)若，且，求與的值；(3)若正整數，滿足，，求的值．【答案】(1)①；②3；③0(2)3，1(3)3或6【分析】（1）①由題意知，，計算求解即可；②由題意知，，計算求解即可；③由題意知，，則，然后作答即可；（2）由題意知，，整理得，，根據，，計算求解即可；（3）由題意知，，則，，，整理得，，即，分當時，當時，當時，當時，當時，當時；計算求解，然后作答即可．【詳解】（1）①解：由題意知，，故答案為：；②解：由題意知，，解得，，故答案為：3；③解：由題意知，，∴，故答案為：0；（2）解：∵，∴，整理得，，∵，∴，∴；∴的值為3，的值為1；（3）解：∵，，∴，∴，即，∵正整數，，∴，即，∴，即，∵，∴，整理得，，∴，∴當時，，（舍去）；當時，，（舍去）；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；綜上所述，的值為3或6．39．（2023上·湖南長沙·八年級校聯考期中）我們定義：如果兩個多項式與的和為常數，則稱與互為“對消多項式”，這個常數稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項式互為“對消多項式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項式與多項式（，為常數）互為“對消多項式”，求它們的“對消值”；(3)關于的多項式與互為“對消多項式”，“對消值”為．若，，求代數式的最小值．【答案】(1)；(2)它們的“對消值”為；(3)代數式的最小值是．【分析】此題考查了求代數式值的能力，()運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；()先運用題目中的定義求得，的值，再代入求解；()先求得，再將原式進行配方變形進行求解；解題的關鍵是能準確運用題目的新定義進行求解．【詳解】（1）∵，,，∴組多項式不是互為“對消多項式”，組多項式是互為“對消多項式”，故答案為：；（2），，∵與互為“對消多項式”，，，，，∴它們的“對消值”為；（3），，，∵與互為“對消多項式”且“對消值”為，∴，∴，，，，，，，，∴代數式的最小值是．40．（2023上·四川內江·八年級四川省內江市第六中學校考期中）閱讀下列解答過程：已知：，且滿足．求：的值．解：，，即．．請通過閱讀以上內容，解答下列問題：已知，且滿足，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)6(2)【分析】本題主要考查完全平方公式的運用．（1）先將整理得，再仿照閱讀內容求出的值，最后再根據完全平方公式求出的值即可；（2）先求出的倒數得，再將（1）中所求得的的值整體代入即可．熟練掌握完全平方公式，會根據完全平方公式進行變形是解題的關鍵．【詳解】（1），整理得：，，；（2）的倒數為，，．41．（2023上·湖南長沙·八年級湖南師大附中博才實驗中學校考期中）閱讀以下材料：已知兩個兩位數，將它們各自的十位數字和個位數字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數均不同的新數，若這兩個兩位數的乘積與交換位置后兩個新兩位數的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數為“幸福數對”，例如，所以和與和都是“幸福數對”.解決如下問題：(1)請判斷與是否是“幸福數對”？并說明理由：(2)為探究“幸福數對”的本質，可設“幸福數對”中一個數的十位數字為，個位數字為，且；另一個數的十位數字為，個位數字為，且，試說明，，，之間滿足怎樣的數量關系，并寫出證明過程；(3)若有一個兩位數，十位數字為，個位數字為；另一個兩位數，十位數字為，個位數字為．若這兩個數為“幸福數對”，求出這兩個兩位數．【答案】(1)與是“幸福數對”，理由見解析(2)；證明見解析(3)和【分析】本題考查了多項式乘以多項式和新定義“幸福數對”，根據多項式乘以多項式進行計算即可求解．（1）根據定義即可得到答案；（2）根據定義得：，化簡得；（3）根據定義列等式，化簡解方程可得的值，從而得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴與是“幸福數對”（2）解：理由如下，依題意，，，，，，∴．即（3）解：由（2）可得即∴解得：，則，；，∴這兩個兩位數分別為：和．42．（2023上·廣東珠海·八年級珠海市文園中學校考期中）結合圖形我們可以通過兩種不同的方法計算面積，從而可以得到一個數學等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以得到的數學等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關系進行求值，例如，若x滿足，可設，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F分別是、上的點，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）方法一是直接將兩個正方形的面積相加，方法二是用大的正方形面積減去兩個長方形的面積，即可得到等式；（2）根據（1）中得到的關系式直接代入即可得到結果；（3）根據（2）中的方法可得到結果；（4）根據得到的大長方形的面積展開，可以得到一個關系式，由關系式中可知道用的紙張分別是多少，計算其和即可；（5）先根據陰影部分構造出來等式，然后根據兩次完全平方公式得到結果．【詳解】（1）解：方法一：陰影部分是兩個正方形的面積和，即；方法二：陰影部分也可以看作邊長為的面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，兩種方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：設，，∵x滿足，∴，∵，∴，∴的值為；（4）解：，A紙片的面積為，B紙片面積為，C紙片面積為，根據可知要拼出一個面積為的大長方形，需要3張A紙片，1張B紙片，4張C紙片，則；（5）解：由圖知，，∴，∵長方形的面積是24，∴，設，，則，，由，得，∴，∴，即，∴陰影部分的面積為．43．（2023下·江西贛州·七年級校考階段練習）（1）已知，求的值．（2）已知將乘開的結果不含和項．求m、n的值；（3）小明在做一道計算題目的時候是這樣分析的：這個算式里面每個括號內都是兩數和的形式，跟最近學的兩大公式作對比，發現跟平方差公式很類似，但是需要添加兩數的差，于是添了，并做了如下的計算：請按照小明的方法，計算．【答案】（1）72，詳見解析（2），詳見解析（3），詳見解析【分析】（1）由，即可求得答案；（2）先根據多項式乘多項式的計算法則化簡代數式，然后根據不含的項和的項得到，據此求出m、n的值即可得到答案．（3）根據題意以及平方差公式即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵關于x的代數式的化簡結果中不含的項和的項，∴，∴，（3）．44．（2021下·安徽六安·七年級校考階段練習）方法探究：同學們在學習數學過程中，遇到難題可以考慮從簡單到特殊的情況入手，例如：求的值．分別計算下列各式的值：(1)填空：；；；由此可得；(2)計算：；(3)根據以上結論，計算：【答案】(1)，，，；(2)；(3)．【分析】（）根據多項式乘以多項式運算法則計算即可；（）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；（）根據得出的規律將原式變形，計算得到結果，即可做出判斷．【詳解】（1），，，由此可得：，故答案為：，，，；（2），故答案為：；（3），,，．45．（2023下·遼寧沈陽·七年級統考期中）【閱讀材料】“數形結合”是一種非常重要的數學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數形結合”的思想方法，可以從代數角度解決圖形問題，也可以用圖形關系解決代數問題．

【方法應用】根據以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片