PAGE熱點(八)球1．(正四棱柱外接球)已知底面邊長為1，側棱長為eq\r(2)的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為()A.eq\f(32π,3)B．4πC．2πD.eq\f(4π,3)2．(圓柱與球的組合體)如圖是一個實心金屬幾何體的直觀圖，它的中間是高l為eq\f(61,24)的圓柱，上、下兩端均是半徑r為2的半球，若將該實心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實心球，則該球的直徑為()A．3B．4C．5D．63．(正三棱柱內切球)已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面相切，若這個球的體積是eq\f(32π,3)，則這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)4．[2024·山東師大附中模擬](三棱錐外接球)已知三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝eq\f(π,6)，AC＝2AB＝2eq\r(3)，SA＝1.則該三棱錐的外接球的體積為()A.eq\f(13\r(13)π,8)B．13πC.eq\f(\r(13)π,6)D.eq\f(13\r(13)π,6)5．(三棱錐外接球＋折疊問題)已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，以AD為折痕進行折疊，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，則過A，B，C，D四點的球的表面積為()A．3πB．4πC．5πD．6π6．(圓錐外接球)已知底面半徑為1的圓錐的底面圓周和頂點都在表面積為16π的球面上，則該圓錐的體積為()A.eq\f(2＋\r(3),3)πB.eq\f(2－\r(3),3)πC．(2＋eq\r(3))πD.eq\f(2＋\r(3),3)π或eq\f(2－\r(3),3)π7．[2024·山東青島檢測](四面體內切球)已知球O與各棱長均為4的四面體的各棱都相切，則球O的表面積為()A．8πB.eq\f(8\r(2),3)πC．32πD．24π8．[2024·山東泰安質量檢測](空間四邊形外接球＋余弦定理)已知空間四邊形ABCD，∠BAC＝eq\f(2,3)π，AB＝AC＝2eq\r(3)，BD＝10，CD＝8，且平面ABC⊥平面BCD，則該幾何體的外接球的表面積為()A．64πB．112πC．96πD．128π9．[2024·山東淄博模擬](三棱錐外接球＋余弦定理＋基本不等式)已知A，B，C三點都在表面積為100π的球O的表面上，若AB＝4eq\r(3)，∠ACB＝60°，則球內的三棱錐O-ABC的體積的最大值為()A．8eq\r(3)B．10eq\r(3)C．12eq\r(3)D．16eq\r(3)10．(多選題)(四面體外接球)四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，AB是球O的一條直徑，且AC＝2，BC＝4，現有下面四個結論，其中全部正確結論的編號是()A．球O的表面積為20πB．AC上存在一點M，使得AD∥BMC．若AD＝3，則BD＝4D．四面體ABCD體積的最大值為eq\f(4\r(5),3)11．(多選題)[2024·山東臨沂模擬](四棱錐外接球)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側面PCD⊥平面ABCD，BC＝2eq\r(3)，CD＝PC＝PD＝2eq\r(6).若點M為PC的中點，則下列說法正確的為()A．BM⊥平面PCDB．PA∥平面MBDC．四棱錐M-ABCD外接球的表面積為36πD．四棱錐M-ABCD的體積為612．(多選題)(三棱錐外接球＋折疊問題)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq\r(3)，將△ADC沿對角線AC進行翻折，得到三棱錐D-ABC，則在翻折的過程中，有下列結論，其中正確的是()A．三棱錐D-ABC的體積最大值為eq\f(1,3)B．三棱錐D-ABC的外接球體積不變C．三棱錐D-ABC的體積最大值時，二面角D-AC-B的大小是60°D．異面直線AB與CD所成角的最大值為90°13．(圓錐內切球＋圓錐外接球)若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1，則圓錐的體積為________．14．(圓柱外接球)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為________．15．(三棱錐外接球＋折疊問題)下圖是兩個腰長均為10cm的等腰直角三角形拼成的一個四邊形ABCD，現將四邊形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為________cm3.16．(三棱錐內切球＋正方體表面積)一個正三棱錐(底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐)鐵盒的底面邊長為2，側棱長為eq\r(13)，則鐵盒內切球的半徑為________；若在該鐵盒內放一個小正方體，且小正方體在鐵盒內可以隨意轉動，則該小正方體的表面積的最大值為________．熱點(八)球1．答案：D解析：因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝1，所以V球＝eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)，故選D.2．答案：C解析：設實心球的半徑為R，實心金屬幾何體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×8＋π×4×eq\f(61,24)＝eq\f(125,6)π，因為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(125,6)π，所以R＝eq\f(5,2).所以該球的直徑為2R＝5，故選C.3．答案：D解析：V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，∴r＝2，∴三棱柱的高為4，設底面邊長為a，則eq\f(\r(3),6)a＝2，∴a＝4eq\r(3)，∴V三棱柱＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3)，故選D.4．答案：D解析：∵∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2eq\r(3)，∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，其外接圓半徑r＝eq\f(AC,2)＝eq\r(3)則三棱錐外接球即為以△ABC為底面，以SA為高的三棱柱的外接球，∴三棱錐外接球的半徑R滿意R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(SA,2)))2)＝eq\f(\r(13),2)，故三棱錐外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(13\r(13)π,6).故選D.5．答案：C解析：邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，以AD為折痕進行折疊，使折后的∠BDC＝eq\f(π,2)，構成以D為頂點的三棱錐，且三條側棱相互垂直，可構造以其為長寬高的長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1,1，eq\r(3)，所以2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，∴該球的表面積為S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＝5π，故選C.6．答案：D解析：設球的半徑為R，則4πR2＝16π，解得R＝2.設圓錐的高為h，因為圓錐的底面圓周和頂點都在球面上，所以22＝12＋(h－2)2，解得h＝2＋eq\r(3)或h＝2－eq\r(3)，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×12×(2＋eq\r(3))＝eq\f(2＋\r(3),3)π或V＝eq\f(1,3)π×12×(2－eq\r(3))＝eq\f(2－\r(3),3)π，故選D.7．答案：A解析：將該四面體補成正方體，則四面體的棱為正方體的面上的對角線．因為四面體的各棱長均為4，所以正方體的棱長為2eq\r(2)，又球O與四面體的各棱都相切，所以球O的直徑為正方體的棱長，則球O的半徑為eq\r(2)，則其表面積S＝4π×2＝8π.故選A.8．答案：B解析：在△ABC中，由余弦定理得BC＝6，又BC2＋CD2＝BD2，∴△BCD為直角三角形，且BD為斜邊，∴△BCD外接圓的圓心在BD的中點處，∵平面ABC⊥平面BCD，∴幾何體的外接球的球心到平面ABC的距離為eq\f(1,2)CD＝4，設△ABC的外接圓半徑為r，則2r＝eq\f(6,sin\f(2,3)π)＝4eq\r(3)，∴r＝2eq\r(3)，設幾何體的外接球半徑為R，則R2＝42＋(2eq\r(3))2＝28，∴該幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝112π，故選B.9．答案：C解析：設球O的半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則4πR2＝100π，∴R＝5.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠ACB)＝2r，∴r＝4，∴球心O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝3，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB，則48＋BC·AC＝BC2＋AC2≥2BC·AC，解得BC·AC≤48，當且僅當BC＝AC＝4eq\r(3)時取等號，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC·sin∠ACB＝eq\f(\r(3),4)BC·AC≤12eq\r(3)，當且僅當BC＝AC＝4eq\r(3)時取等號，∴三棱錐O-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×12eq\r(3)×3＝12eq\r(3)，故選C.10．答案：AD解析：因為AB是球O的一條直徑，所以AC⊥BC，AD⊥BD，所以AB＝2eq\r(5).球的半徑為eq\r(5)，球O的表面積為4π×(eq\r(5))2＝20π，A對；因為AD與平面ABC相交，所以AC上找不到一點M，使得AD∥BM，B錯；若AD＝3，則BD＝eq\r(11)，C錯；因為D到平面ABC的距離的最大值為球的半徑，所以四面體ABCD體積的最大值為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×eq\r(5)＝eq\f(4\r(5),3).D對，故選AD.11．答案：BC解析：如圖，在四棱錐P-ABCD中：側面PCD⊥平面ABCD，交線為CD，底面ABCD為矩形，BC⊥CD，則BC⊥平面PCD，過點B只能作一條直線與已知平面垂直，所以A錯誤；連接AC交BD于O，連接MO，在△PAC中，OM∥PA，MO?平面MBD，PA?平面MBD，所以PA∥平面MBD，所以B正確；四棱錐M-ABCD的體積是四棱錐P-ABCD的體積的一半，取CD中點N，連接PN，PN⊥CD，則PN⊥平面ABCD，PN＝3eq\r(2)，四棱錐M-ABCD的體積VM-ABCD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2eq\r(6)×3eq\r(2)＝12，所以D錯誤；在△PCD中求得：NM＝eq\f(1,2)PC＝eq\r(6)，在Rt△MNO中MO＝eq\r(ON2＋MN2)＝3，即OM＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O為四棱錐M-ABCD外接球的球心，半徑為3，所以其體積為36π，故C正確，故選BC.12．答案：BD解析：VD-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h，當平面ADC⊥平面ABC時，三棱錐D-ABC的高最大，此時體積最大值為VD-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,4)，A錯誤；設AC的中點為O，則由Rt△ABC，Rt△ADC知，OA＝OB＝OC＝OD，所以O為三棱錐D-ABC外接球的球心，其半徑為eq\f(1,2)AC＝1，所以外接球體積為eq\f(4,3)π，即三棱錐D-ABC的外接球體積不變，B正確；由①的解析過程知，三棱錐D-ABC的體積最大值時，平面ADC⊥平面ABC，所以二面角D-AC-B的大小是90°，C錯誤；當△ADC沿對角線AC進行翻折到使點D與點B的距離為eq\r(2)，即BD＝eq\r(2)時，在三角形BCD中，BC2＝BD2＋CD2，所以CD⊥BD，又CD⊥AD，翻折后此垂直關系沒有變，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，即異面直線AB與CD所成角的最大值為90°，D正確．故選BD.13．答案：3π解析：過圓錐的旋轉軸作軸截面，得截面△ABC及其內切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意知⊙O1的半徑為r＝1，∴△ABC的邊長為2eq\r(3)，圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為3，∴V＝eq\f(1,3)×π×3×3＝3π.14．答案：eq\f(3π,4)解析：畫出圓柱的軸截面ABCD，如圖，O為球心，則球半徑R＝OA＝1，球心究竟面圓的距離為OM＝eq\f(1,2)，所以底面圓半徑r＝eq\r(OA2-OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圓柱體積V＝π×eq\b