極值點偏移“一陽指”一陽指為大理段氏一脈中最高武學"六脈神劍"的入門功夫，其本源是將含于指尖的內力隔空激發出去，使其以極高速在空中運動的一門技術。解決極值點偏移問題，有一個非常常用的方法便是“極值點偏移的判定定理”，本節重點介紹該定理及其應用。極值點偏移的判定定理對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏；（2）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，則函數的單調遞增（減）區間為，單調遞減（增）區間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數的極值點；（2）構造一元差函數；（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：.（1）討論函數的單調性并求出的極值點；假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.（2）構造；注：此處根據題意需要還可以構造成的形式.（3）通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系；假設此處在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設，通過的單調性，，與的大小關系得出結論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為，故，由于在上單調遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調性、極值點，證明與（或與）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數.(1)求函數的單調區間和極值；(2)若，且，證明：.★函數與直線交于、兩點.證明：.★已知函數，若，且，證明：.★已知函數有兩個零點.設是的兩個零點，證明：.內練精氣神，外練手眼身★已知函數f(x)=lnx+12a(1)若a=_?，b=1，求函數f(x)的單調區間；(2)設F(x)=f(x)__(x)．(i)若函數F(x)有極值，求實數a的取值范圍；(ii)若F(x1)=F(x2★已知函數(a為常數)，曲線y=f(x)在與y軸的交點A處的切線與x軸平行．(1)求a的值及函數的單調區間；(2)若存在不相等的實數x1,x2使成立，試比較x★已知函數，其中為自然對數的底數，是的導函數.（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若，證明：當，且時，.★已知函數，其中（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；（2）若函數有極大值為，且方程的兩根為，且，證明：極值點偏移“一陽指”一陽指為大理段氏一脈中最高武學"六脈神劍"的入門功夫，其本源是將含于指尖的內力隔空激發出去，使其以極高速在空中運動的一門技術。解決極值點偏移問題，有一個非常常用的方法便是“極值點偏移的判定定理”，本節重點介紹該定理及其應用。極值點偏移的判定定理對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏；（2）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，則函數的單調遞增（減）區間為，單調遞減（增）區間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數的極值點；（2）構造一元差函數；（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：.（1）討論函數的單調性并求出的極值點；假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.（2）構造；注：此處根據題意需要還可以構造成的形式.（3）通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系；假設此處在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設，通過的單調性，，與的大小關系得出結論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為，故，由于在上單調遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調性、極值點，證明與（或與）的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問逐步解題.對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數.(1)求函數的單調區間和極值；(2)若，且，證明：.∵，∴，在上單調遞增，∴，∴.★函數與直線交于、兩點.證明：.★已知函數，若，且，證明：.【解析】由函數單調性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數在為減函數，所以，所以即，所以，所以.★已知函數有兩個零點.設是的兩個零點，證明：.內練精氣神，外練手眼身★【2019湖南郴州二中月考】已知函數f(x)=lnx+12a(1)若a=_?，b=1，求函數f(x)的單調區間；(2)設F(x)=f(x)__(x)．(i)若函數F(x)有極值，求實數a的取值范圍；(ii)若F(x1)=F(x2【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】(1)當a=?2，b=1時，f(x)=lnx?xf'令f'(x)>0，得0<x<1；令f'所以函數f(x)的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(1，+∞)．(2)(i)F(x)=f(x)?g(x)=lnx+F'①當a_?時，F'(x)>0，函數不存在極值．②當a<0時，令F'(x)=0，得ax所以F'(x)=a(x+x0在上為減函數，所以當x=x0時，F(x)取得極大值F(所以若函數F(x)有極值，實數a的取值范圍是(?_?0)．(ii)由(i)知當a_?時，不存在，使得F(x1)=F(x2)，當a<0時，存在，使得欲證x1+x因為函數F(x)在上為減函數，故只需證F(x2即證F(x1)<F(2令_(x)=F(x)?F(2x則．設?(x)=_'(x)因為0<x<x0，?'(x)<0，所以，所以在(0,x0)上為增函數，所以即F(x1)?F(2★【2019江西贛州十四縣（市)期中聯考】已知函數(a為常數)，曲線y=f(x)在與y軸的交點A處的切線與x軸平行．(1)求a的值及函數的單調區間；(2)若存在不相等的實數x1,x2使成立，試比較x【答案】（1）a=2,在區間(－∞，ln2)上單調遞減，在(ln2，＋∞)上單調遞增．（2）x1＋x2＜2ln2【解析】(1)由fx得．且f(x)與y軸交于A(0.0)所以，所以a=2，所以f_?//(x)=e由＞0，得x＞ln2．所以函數在區間(－∞，ln2)上單調遞減，在(ln2，＋∞)上單調遞增．(2)證明：設x＞ln2，所以2ln2－x＜ln2，f_?//(2ln2－x)＝e(2ln2－x)－2(2ln2－x＝4ex＋2令g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－x)＝ex－4ex－4所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，當且僅當x＝ln2時，等號成立，所以g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－又g(ln2)＝0，所以當x＞ln2時，g(x)＝f_?//(x)－f_?//(2ln2－x)＞即f_?//(x)＞f_?//(2ln2－x)，不妨設x1＜ln2＜x2，所以f_?//(x2)＞f_?//又因為f_?//(x1)＝f_?//(x2)，所以f_?//(x1)＞f_?//由于x2＞ln2，所以2ln2－x2＜ln2，因為x1＜ln2，由(1)知函數y＝f_?//(x所以x1＜2ln2－x2，即x1＋x2＜2ln2．★已知函數，其中為自然對數的底數，是的導函數.（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）若，證明：當，且時，.【答案】(1)當時，無極值;當時,有極小值;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（Ⅱ）求出函數f（x）的導數，設函數F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函數的導數，根據函數的單調性證明即可．試題解析：（Ⅰ）的定義域為，當時，在時成立在上單調遞增，無極值.當時，解得由得；由得所以在上單調遞減，在上單調遞增，故有極小值.（Ⅱ）當時，