第05講數列一、單選題1．（2021·貴州高三月考（理））《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，立春當日日影長為9.5尺，立夏當日日影長為2.5尺，則春分當日日影長為（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺2．（2021·全國）如圖，九連環是中國從古至今廣為流傳的一種益智玩具．在某種玩法中，按一定規則移動圓環，用表示解下個圓環所需的最少移動次數，數列滿足，且，則解下5個環所需的最少移動次數為（）A．5 B．10 C．21 D．423．（2021·全國高二課時練習）我國古代數學著作《九章算術》中記載問題：今有垣厚五尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問幾何日相逢，各穿幾何？意思是：今有土墻厚5尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？此時，各打洞多少？兩鼠相逢需要的天數最小為（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021·全國高二課時練習）“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現了“多米諾骨牌效應”的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數學表達式是，其中為第塊骨牌的體積（或質量），為第1塊骨牌的體積（或質量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質量）的比值.現在有，兩副質地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，，，則的值是（）A．5 B．4 C．3 D．25．（2021·江蘇南京·高三開學考試）取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段;再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；；將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第次操作中去掉的線段長度之和不小于，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．96．（2022·全國高三專題練習）《莊子·天下》篇中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個命題本質的式子是（）A．1＋B．C．D．7．（2021·皮山縣高級中學高二期中（理））“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數1，3，6，10，…構成的數列的第項，則的值為（）A．208 B．209 C．210 D．2118．（2021·陜西漢中·高三月考（理））意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：，，，，，，…，該數列的特點是前兩個數均為，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和．人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，數列的前項和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2021·全國高二課時練習）（多選）中國古代數學專著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗．禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還升、升、升粟，1斗為10升，則（）A．，，依次成公比為2的等比數列 B．，，依次成公比為的等比數列C． D．10．（2021·全國）（多選）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏的世界數學史上第一道數列題其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則（）A．此數列的第20項是200B．此數列的第19項是182C．此數列的通項公式為D．84不是此數列中的項11．（2021·江蘇省前黃高級中學）素數（大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做素數，否則稱為合數）在密碼學、生物學、金融學等方面應用十分廣泛.1934年，一個來自東印度（現孟加拉國）的學者森德拉姆發現了以下以他的名字命名的“森德拉姆素數篩選數陣”，這個成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……該數陣的特點是每行、每列的數均成等差數列，如果正整數n出現在數陣中，則一定是合數，反之如果正整數n不在數陣中，則一定是素數，下面結論中正確的是（）A．第4行第10列的數為94 B．第7行的數公差為15C．592不會出現在此數陣中 D．第10列中前10行的數之和為125512．（2020·江蘇姜堰中學高二月考）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續下去，得圖（3）...記為第個圖形的邊長，記為第個圖形的周長，為的前項和，則下列說法正確的是（）A． B．C．若為中的不同兩項，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為三、填空題13．（2021·江蘇南通·高三）《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作．在《孫子算經》中有“物不知數”問題：一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數．設這個整數為a，當時，則符合條件的所有a的和為________．14．（2020·江蘇姜堰中學高二月考）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內使三行、三列、兩條對角線的三個數之和都等于15，如圖所示．一般地，將連續的正整數1，2，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上數的和為，例如，，，……，那么10階幻方的對角線上數的和__．15．（2021·河南新鄉·高二期末（理））南宋著名數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數學史上的一個偉大的成就在“楊輝三角”中，已知每一行的數字之和構成的數列為等比數列，設該數列前項和為，若數列滿足，則___________.16．（2022·全國）1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規則現象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC?ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形(圖1為第一個圖形)中的所有線段長的和為，若存在最大的正整數a，使得對任意的正整數n，都有，則a的值為___________.五、解答題17．（2021·山東日照·高三開學考試）我國南宋時期的數學家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數為，其他各數均為它肩上兩數之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數取出按原來的順序排列得一數列：，，，，，…，寫出與的遞推關系，并求出數列的通項公式；（2）已知數列滿足，設數列滿足：，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題．黎曼猜想研究的是無窮級數，我們經常從無窮級數的部分和入手．已知正項數列的前n項和為﹐且滿足（1）求；（2）求（其中表示不超過x的最大整數）19.（2021·全國高二單元測試）牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法，具體步驟如下：設是函數的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的次近似值，過點作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值，設的零點為，取，（1）求的次近似值；（2）設，數列的前項積為．若任意的，恒成立，求整數的最小值．20．（2020·全國高三）“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，歐洲數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律，比楊輝要晚近四百年.如圖，在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數字為，第3行的第3個數字為，…，第行的第3個數字為，（1）求；（2）求.21．21.（2021·全國高三專題練習）九連環是中國的一種古老智力游戲，它環環相扣，趣味無窮.長期以來，這個益智游戲是數學家及現代電子計算機專家們用于教學研究的課題和例子.中國的末代皇帝溥儀(1906–1967)也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(如圖).現假設有個圓環，用表示按某種規則解下個圓環所需的最小移動次數.已知數列滿足下列條件：，，，記的前項和為，（1）求；（2）求.22.（2021·全國高三專題練習）我們把叫“費馬數”（費馬是十七世紀法國數學家）.設，表示數列的前項之和，（1）求（2）求使不等式成立的最小正整數的值第05講數列一、單選題1．（2021·貴州高三月考（理））《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個節氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數列，立春當日日影長為9.5尺，立夏當日日影長為2.5尺，則春分當日日影長為（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺【答案】D【分析】設十二節氣自冬至日起的日影長構成的等差數列為，利用等差數列的性質即可求解.【詳解】設十二節氣自冬至日起的日影長構成的等差數列為，則立春當日日影長為，立夏當日日影長為，所以春分當日日影長為.故選：D2．（2021·全國）如圖，九連環是中國從古至今廣為流傳的一種益智玩具．在某種玩法中，按一定規則移動圓環，用表示解下個圓環所需的最少移動次數，數列滿足，且，則解下5個環所需的最少移動次數為（）A．5 B．10 C．21 D．42【答案】C【分析】根據已知的數列遞推公式，得到與的等量關系，即可計算出解下個圓環需最少移動的次數.【詳解】由，，得．故選：C．3．（2021·全國高二課時練習）我國古代數學著作《九章算術》中記載問題：今有垣厚五尺，兩鼠對穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問幾何日相逢，各穿幾何？意思是：今有土墻厚5尺，兩鼠從墻兩側同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，問兩鼠幾天打通相逢？此時，各打洞多少？兩鼠相逢需要的天數最小為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設大鼠、小鼠每天所打的厚度分別構成數列，，則均為等比數列，設它們的前項和分別為，，利用求和公式結合題設條件可得，故可求兩鼠相逢需要的天數的最小值.【詳解】設大鼠、小鼠每天所打的厚度分別構成數列，，它們的前項和分別為，，則是以1為首項，2為公比的等比數列，是以1為首項，為公比的等比數列，故，．令，即，故，令，則為遞增數列，，故的解為，故的最小值為3.故選：B．4．（2021·全國高二課時練習）“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現了“多米諾骨牌效應”的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數學表達式是，其中為第塊骨牌的體積（或質量），為第1塊骨牌的體積（或質量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質量）的比值.現在有，兩副質地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，，，則的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由題意可得①，②，③，解方程組，結合題設即可求解【詳解】由題可知，和組成的數列都是以為公比的等比數列.由題意可列出如下的方程：①，②，③，由①可得④，由②可得⑤，由③可得⑥，由④⑤⑥得，，所以，即.因為，和都是整數，所以符合條件的解只有，這一組.綜上所述，，故選：D.5．（2021·江蘇南京·高三開學考試）取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段;再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；；將這樣的操作一直繼續下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第次操作中去掉的線段長度之和不小于，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可分析得到第次操作去掉的線段長度之和為，即，解指數不等式，利用估計即可【詳解】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度之和為，第三次操作去掉的線段長度之和為，，第次操作去掉的線段長度之和為，由題意可知，，則，則，所以，即，又，帶入上式，可得故選：C6．（2022·全國高三專題練習）《莊子·天下》篇中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個命題本質的式子是（）A．1＋B．C．D．【答案】B【分析】根據題意得到每天截取的線段長度構成了以為首項，為公比的等比數列，然后用等比數列的前項和公式求和，根據其和小于即可說明命題.【詳解】該命題說明每天截取的線段長度構成了以為首項，為公比的等比數列，因為，所以能反映命題本質的式子是.故選：B.7．（2021·皮山縣高級中學高二期中（理））“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數1，3，6，10，…構成的數列的第項，則的值為（）A．208 B．209 C．210 D．211【答案】C【分析】設第個數為，觀察圖中數據可得，，，，利用疊加法可求.【詳解】設：第個數為，則，，，，，疊加可得：，，故選：C8．（2021·陜西漢中·高三月考（理））意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：，，，，，，…，該數列的特點是前兩個數均為，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和．人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，數列的前項和為，則下列結論錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】斐波那契數列滿足遞推關系，列舉出前項可知A正確；利用累加的方式可確定BC的正誤；根據遞推關系可確定D正確.【詳解】斐波那契數列滿足遞推關系：，對于A，斐波那契數列的前項為，，，，，，，，，A正確；對于B，，，，…，，各式相加得：，B正確；對于C，，，，…，，各式相加得：，C錯誤；對于D，，D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列的應用，解題關鍵是能夠根據規律總結出“斐波那契數列”的遞推關系式，采用累加法或根據遞推關系直接推導即可得到結果.二、多選題9．（2021·全國高二課時練習）（多選）中國古代數學專著《九章算術》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗．禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還升、升、升粟，1斗為10升，則（）A．，，依次成公比為2的等比數列 B．，，依次成公比為的等比數列C． D．【答案】BD【分析】根據等比數列的定義，等比數列的前項和公式計算后判斷．【詳解】由條件，知，，依次成公比為的等比數列，又，所以，所以．故選：BD．10．（2021·全國）（多選）大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏的世界數學史上第一道數列題其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則（）A．此數列的第20項是200B．此數列的第19項是182C．此數列的通項公式為D．84不是此數列中的項【答案】AC【分析】由已知數列可得為偶數時，，為奇數時，，然后逐個分析判斷即可【詳解】觀察此數列，為偶數時，，為奇數時，，所以此數列的通項公式為，所以C正確；，A正確；，B錯誤；，所以，故D錯誤．故選：AC．11．（2021·江蘇省前黃高級中學）素數（大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做素數，否則稱為合數）在密碼學、生物學、金融學等方面應用十分廣泛.1934年，一個來自東印度（現孟加拉國）的學者森德拉姆發現了以下以他的名字命名的“森德拉姆素數篩選數陣”，這個成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……該數陣的特點是每行、每列的數均成等差數列，如果正整數n出現在數陣中，則一定是合數，反之如果正整數n不在數陣中，則一定是素數，下面結論中正確的是（）A．第4行第10列的數為94 B．第7行的數公差為15C．592不會出現在此數陣中 D．第10列中前10行的數之和為1255【答案】ABD【分析】根據題意分析出第行等差數列的公差為，第列等差數列的公差為，再結合題中材料與所學數列知識對各選項進行分析即可.【詳解】根據題意，第行等差數列的公差為，第列等差數列的公差為.設為第行第列的數字.對于A，因為第4行數構成的是以13為首項，9為公差的等差數列，所以，故A正確.對于B，第7行的數公差為，故B正確.對于C，假設592不會出現在此數陣中，則是素數，而是合數，所以假設錯誤，即592會出現在此數陣中，故C錯誤.對于D，第10列中前10行的數構成以為首項，公差為的等差數列，其和為，故D正確.故選:ABD12．（2020·江蘇姜堰中學高二月考）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續下去，得圖（3）...記為第個圖形的邊長，記為第個圖形的周長，為的前項和，則下列說法正確的是（）A． B．C．若為中的不同兩項，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，從前后兩個圖之間的關系可求出，對于B，由題意可知，數列是1為首項，為公比的等比數列，從而可求出，對于C，由結合，可得，而，從而可求出的值，則可求出的值，進而可求得最小值，對于D，由在上遞增和在上遞增，可求得結果.【詳解】解：對于A，由題意可知，下一個圖形的邊長是上一個圖邊長的，邊數是上一個圖形的4倍，則周長之間的關系為，所以數列是公比為，首項為3的等比數列，所以，所以A正確，對于B，由題意可知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，所以數列是1為首項，為公比的等比數列，所以，所以B錯誤，對于C，由，，得，所以，所以，因為，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以最小值是1，所以C正確，對于D，因為在上遞增，所以，即，令，則在上遞增，所以，即，即，因為恒成立，所以的最小值為，所以D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：此題考查等比數列的通項公式和求和公式的應用，考查數列單調性的應用，解題的關鍵是正確理解題意，求出數列和的通項公式，考查計算能力，屬于較難題三、填空題13．（2021·江蘇南通·高三）《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作．在《孫子算經》中有“物不知數”問題：一個整數除以三余二，除以五余三，求這個整數．設這個整數為a，當時，則符合條件的所有a的和為________．【答案】8184【分析】由題設a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，則3m=5n+1，對m分類分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差數列的前n項和求得答案.【詳解】由題意知，a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，則時，不存在；當時，不存在，當時，，滿足題意；當時，不存在當時，不存在，故，則共33個數，且這些數構成以8為首項，15為公差的等差數列，這33個數的和為.故答案為：818414．（2020·江蘇姜堰中學高二月考）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內使三行、三列、兩條對角線的三個數之和都等于15，如圖所示．一般地，將連續的正整數1，2，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上數的和為，例如，，，……，那么10階幻方的對角線上數的和__．【答案】505．【分析】推導出，由此利用等差數列求和公式能求出結果．【詳解】解：根據題意可知，幻方對角線上的數成等差數列，，，，，所以.故答案為：505．15．（2021·河南新鄉·高二期末（理））南宋著名數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數學史上的一個偉大的成就在“楊輝三角”中，已知每一行的數字之和構成的數列為等比數列，設該數列前項和為，若數列滿足，則___________.【答案】【分析】根據題意得出等比數列的首項為，公比，從而求出，即可求出數列的通項公式，即可得解.【詳解】解：因為每一行的數字之和構成的數列為等比數列，且第一行數字和為，第二行數字和為，第三行數字和為，所以該等比數列首項為，公比，所以，所以，所以.故答案為：.16．（2022·全國）1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規則現象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC?ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形(圖1為第一個圖形)中的所有線段長的和為，若存在最大的正整數a，使得對任意的正整數n，都有，則a的值為___________.【答案】1010【分析】由題設知每次的增量是前一次增量的倍，增量通項為，進而可得，結合題設恒成立即可求最大的正整數a.【詳解】由題設知：且，圖2相對圖1：線段長度之和的增量為，圖3相對圖2：線段長度之和的增量為，圖4相對圖3：線段長度之和的增量為，…圖n相對圖：線段長度之和的增量為，∴，要使對任意的正整數n成立，∴，即，又a為正整數，∴.故答案為：1010.【點睛】關鍵點點睛：根據題意寫出線段和在每次操作后增量的通項，進而得到第n次線段和，結合數列不等式恒成立求參數的最大值.四、解答題17.（2021·山東日照·高三開學考試）我國南宋時期的數學家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數為，其他各數均為它肩上兩數之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數取出按原來的順序排列得一數列：，，，，，…，寫出與的遞推關系，并求出數列的通項公式；（2）已知數列滿足，設數列滿足：，數列的前項和為，若恒成立，試求實數的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先找出遞推關系，利用遞推關系即可計算出數列的通項公式.（2）根據數列的通項公式帶入求出列的通項公式，從而求出數列的通項公式，再利用裂項相消即可求出即可計算實數的取值范圍.【詳解】解：（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時，所以有故（2）數列滿足，①當時，，②得：，故：，數列滿足：，則：，由于恒成立，故：，整理得：，因為在上單調遞減，故當時，，所以．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍