第04講平面向量一、單選題1．（2021·中山市第二中學高一月考）我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A． B． C． D．2．（2021·徐匯·上海中學）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀館引人貝目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數學美學世界．數學家曾借助三角函數得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點，，兩動點，，且，繞點逆時針旋轉到所形成的角記為．設函數，，其中，，令，作隨著的變化，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）A． B． C． D．3．（2022·全國高三專題練習）2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割．所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為．其實有關“黃金分割”，我國也有記載，雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，則（）A． B．C． D．4．（2021·江蘇南通·高三）瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個正三角形(如圖①)開始，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段，這樣就得到一個六角形(如圖②)，所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段.反復進行這一分形，就會得到一個“雪花”樣子的曲線，這樣的曲線叫作科赫曲線或“雪花”曲線.已知點O是六角形的對稱中心，A，B是六角形的兩個頂點，動點P在六角形上(內部以及邊界).若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·全國（理））下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則（）．A．B．C．D．6．（2021·廣東）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中，給出下列結論：圖1圖2①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結論為（）A．① B．② C．③ D．④7．（2021·江蘇省前黃高級中學）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．每年新春佳節，我國許多地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（2021·福清西山學校高一月考）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據記載，西周時期的數學家商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發現勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（）A． B． C． D．1二、多選題9．（2021·重慶北碚·西南大學附中高一期末）奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內的點，、、是的三個內角，且滿足，，則（）A．B．C．D．10．（2021·邯山區新思路學本文化輔導學校高一期中）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成，其中小正方形的邊長為1，E為的中點，則（）A． B． C． D．11．（2021·湖北高一期中）著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，垂心為，重心為，且，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．12．（2021·沛縣教師發展中心）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的，，令，下面說法正確的是（）A．若與共線，則＝0B．＝C．對任意的λ∈R，有()⊙＝()D．()2+()2＝||2||2三、填空題13．（2021·江蘇常州·）笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統稱，如圖，在平面斜角坐標系中，兩坐標軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序實數對為在該斜角坐標系下的坐標.若向量，在該斜角坐標系下的坐標分別為，，當_______時，.14．（2021·全國高三（文））定義向量列從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標都是常數的向量)即，且，其中為常向量，則稱這個向量列為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前項和．已知等差向量列滿足，，則向量列的前項和__________．15．（2021·江蘇省梅村高級中學高一月考）趙爽是我國古代數學家大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設，若，則可以推出_________.16．（2020·全國高三）根據《周髀算經》記載，公元前十一世紀，數學家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中國又稱商高定理.而勾股數是指滿足勾股定理的正整數組，任意一組勾股數都可以表示為如下的形式：其中，，均為正整數，且.如圖所示，中，，，三邊對應的勾股數中，，點在線段上，且，則______.第04講平面向量一、單選題1．（2021·中山市第二中學高一月考）我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理求解即可．【詳解】，即，解得，即．故選：B．2．（2021·徐匯·上海中學）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀館引人貝目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致的數學美學世界．數學家曾借助三角函數得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點，，兩動點，，且，繞點逆時針旋轉到所形成的角記為．設函數，，其中，，令，作隨著的變化，就得到了的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】考慮特殊值，用排除法，取，確定的的位置，排除錯誤選項得結論．【詳解】先考慮與共線的蝴蝶身方向，令，，要滿足，故排除A，C；再考慮與垂直的方向，令，要滿足，故排除D，故選：B．3．（2022·全國高三專題練習）2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割．所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為．其實有關“黃金分割”，我國也有記載，雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由黃金分割比可得，結合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數乘向量運算法則即可作答.【詳解】在矩形ABCD中，由已知條件得O是線段EG中點，，因，由黃金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，從而有，所以.故選：D4．（2021·江蘇南通·高三）瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個正三角形(如圖①)開始，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段，這樣就得到一個六角形(如圖②)，所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段.反復進行這一分形，就會得到一個“雪花”樣子的曲線，這樣的曲線叫作科赫曲線或“雪花”曲線.已知點O是六角形的對稱中心，A，B是六角形的兩個頂點，動點P在六角形上(內部以及邊界).若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，求的最大值，只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可，再根據對稱可得最小值.【詳解】如圖，設，，求的最大值，只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可，討論如下：當點P在A處時，，，故；當點P在B處時，，，故；當點P在C處時，，故；當點P在D處時，，故；當點P在E處時，，故；當點P在F處時，，故.于是的最大值為5.根據其對稱性可知的最小值為，故的取值范圍是.故選：C.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是根據題意得出只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可.5．（2021·全國（理））下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則（）．A．B．C．D．【答案】B【分析】如圖所示，取、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，將和化為基向量，利用平面向量的數量積的運算律可得結果.【詳解】如圖所示，建立以、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，∴，，∴.故選：B．6．（2021·廣東）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形，其中，給出下列結論：圖1圖2①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結論為（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】根據圖形的特征進行判斷即可.【詳解】由圖:正八邊形，因為與的夾角為，故①錯誤；因為，故②錯誤；因為,故③正確；因為在上的投影向量與向量反向，故④錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查向量的加減法及向量的投影向量等，屬于簡單題.7．（2021·江蘇省前黃高級中學）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．每年新春佳節，我國許多地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，當點位于正六邊形的頂點時，取最大值，當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，所以，.所以，.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數量積的幾何意義．具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．8．（2021·福清西山學校高一月考）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據記載，西周時期的數學家商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發現勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，進而利用向量的坐標表示，設，由可得，再由，利用坐標表示建立方程組求解即可.【詳解】由題意建立如圖所示直角坐標系因為，，則，，，，，設，因為，所以，解得.由，得，所以解得所以，故選：B.【點睛】本題主要考查了向量的坐標運算及向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.二、多選題9．（2021·重慶北碚·西南大學附中高一期末）奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內的點，、、是的三個內角，且滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】ABCD【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數量積的運算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數量積的定義表示已知數量積的等式，結合選項B的結論可證明C，求出的面積，利用選項B的結論轉化，再利用選項C的結論可得面積比，然后結合奔馳定理可判斷D．【詳解】因為，所以，即，所以，又由奔馳定理得，因為不共線，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項C：，得，由奔馳定理：得，D正確．故選：ABCD．【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，考查學生的創新能力，理解新知識、應用新知識的能力．解題關鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量關系，二是利用數量積的運算得出是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識得出角的關系，再利用三角函數知識進行推導得出相應結論．10．（2021·邯山區新思路學本文化輔導學校高一期中）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成，其中小正方形的邊長為1，E為的中點，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】A.根據小正方形的邊長為1，E為的中點，得到，大正方形的邊長為求解判斷；B.利用向量的求模公式求解判斷；C.延長交于點G，得到為的中點，G為的中點求解判斷；D.利用向量的數量積運算求解判斷.【詳解】因為小正方形的邊長為1，E為的中點，所以，大正方形的邊長為，所以，A正確；，B正確；如圖：，延長交于點G，則為的中點，可得G為的中點，，所以，，C正確；，D錯誤．故選：ABC11．（2021·湖北高一期中）著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為，垂心為，重心為，且，，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】設是中點，由為垂心，得，判斷A，利用，，計算數量積判斷B，同時可判斷C，由重心性質得，然后由向量的線性運算判斷D．【詳解】為垂心，，所以，A正確；設是中點，則共線，，，B錯誤；由B的推導過程得，C正確；由得，所以，所以，即，D正確故選：ACD．12．（2021·沛縣教師發展中心）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的，，令，下面說法正確的是（）A．若與共線，則＝0B．＝C．對任意的λ∈R，有()⊙＝()D．()2+()2＝||2||2【答案】ACD【分析】利用給定定義對各選項逐一計算并判斷作答.【詳解】因對任意的，，，則：對于A，因與共線，則，即=0，A正確；對于B，因，則B不正確；對于C，對任意的λ∈R，，則()⊙，C正確；對于D，()2+()2，D正確.故選：ACD三、填空題13．（2021·江蘇常州·）笛卡爾坐標系是直角坐標系與斜角坐標系的統稱，如圖，在平面斜角坐標系中，兩坐標軸的正半軸的夾角為，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則稱有序實數對為在該斜角坐標系下的坐標.若向量，在該斜角坐標系下的坐標分別為，，當_______時，.【答案】【分析】根據斜角坐標定義寫出向量（用兩個已知單位向量表示），然后由向量數量積計算可得．【詳解】由已知，，，，解得：．故答案為：．14．（2021·全國高三（文））定義向量列從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標都是常數的向量)即，且，其中為常向量，則稱這個向量列為等差向量列．這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列的前項和．已知等差向量列滿足，，則向量列的前項和__________．【答案】【分析】根據題意分析，等差數列性質對等差向量列也適用，再由等差數列通項公式和前n項和公式，計算等差向量列的通項和前n項和而得解.【詳解】因向量線性運算的坐標運算，是向量的橫坐標、縱坐標分別進行對應的線性運算，則等差數列的性質在等差向量列里而也適用，由等差數列的等差中項