高考命題探源(二)第五章一元函數的導數及其應用探源1導數的概念及其幾何意義[命題點分析]本部分內容從近幾年高考考查情況來看，特別是全國卷，每年都考查函數圖象的切線問題，在強調導數的幾何意義的前提下考查導數運算及方程、不等式等問題，主要體現方程思想和數形結合思想，對邏輯推理與數學運算素養要求較高．√

[考題來源]本題來源于教材習題5.2第5題，題目命題模式與習題完全一致，都是求切線方程的題目，難度相當．[試題評價]本題考查了導數的幾何意義及利用導數求切線方程的方法，體現了數學運算的學科素養，屬于基礎題．【案例2】

(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________________．

(－∞，－4)∪(0，＋∞)[考題來源]本題來源于教材習題5.2第11題，題目命題模式與習題相仿，都是求解參數的題目，教材習題是根據已知條件求曲線在一點處的切線斜率，進而求參數的值，高考題考查了過一點的切線方程，

求參數的取值范圍，難度系數比教材習題要高，考查能力要求較高．[試題評價]本題考查了導數的幾何意義及利用導數求切線方程的方法，尤其加強了對過一點和在一點的切線求解的易錯點的考查，著重考查了數學運算和邏輯推理的核心素養，難度中等．探源2用導數解決函數的單調性、極值、最值問題[命題點分析]從高考的考查情況來看，利用導數研究函數的單調性是導數最為核心的部分，是高考考查的熱點．函數單調性的探討，一般就是研究一元二次不等式，特別是含參一元二次不等式，能充分考查數形結合思想、分類與整合思想、函數與方程思想及轉化與化歸思想，內涵極為豐富，使得探討函數的單調性成為命題人最為青睞的部分．高考常考查的形式：(1)利用導數求函數的單調區間、討論函數的單調性及由函數的單調性求參數的范圍．(2)利用函數的單調性比較大小、證明不等式、判斷函數零點的個數．(3)求函數的極值，利用極值解決最值或求參數的值與參數的范圍．主要考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養，難度較大．【案例3】

(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)＝aex－lnx在區間(1，2)單調遞增，則a的最小值為(

)A．e2

B．e

C．e-1

D．e-2

√

【案例4】

(2022·全國乙卷)已知x＝x1和x＝x2分別是函數f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1<x2，則a的取值范圍是________．

[考題來源]本題來源于教材復習參考題5第9題，題目命題模式與復習參考題相仿，難度系數增加，教材復習參考題是已知極值點，求參數的值，本題只知道有極大值和極小值，且極小值點小于極大值點，求參數的范圍，主要考查利用導數研究函數圖象問題，考查學生的數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養．[試題評價]本題考查已知極值情況求解參數問題，主要考查已知導函數的零點個數求解參數范圍問題，解決這類問題一般需要利用數形結合轉化為函數的零點問題的討論，本題根據二階導數研究一階導數的圖象與性質，進一步驗證求解參數范圍．探源3用導數解決不等式問題[命題點分析]本部分內容是高考常考內容，主要考查不等式的恒成立、能成立問題，并將不等式問題轉化為函數的最值問題來解決，其考查形式一般是證明不等式恒(能)成立和已知恒(能)成立求參數的范圍，一般以解答題形式出現，綜合能力較強，難度較大，考查學生的邏輯推理和數學運算的核心運算．

[解]

(1)f′(x)＝aex－1，當a≤0時，f′(x)＜0，所以函數f(x)在R上單調遞減；當a＞0時，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函數f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增．綜上可得，當a≤0時，函數f(x)在R上單調遞減；當a＞0時，函數f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增．

[考題來源]本考題來源于教材復習參考題5第18題，高考題和教材復習參考題都是考查基本求導公式及求導法則，考查利用導數判斷函數單調性及求最值的方法，難度相當．[試題評價]本題主要考查了利用導數研究函數的單調性及不等式的證明，證明不等式時構造函數，利用第一步的結論進行下一步的證明，考查了學生分析問題和轉化問題的能力，屬于中檔題．探源4用導數解決函數與方程問題[命題點分析]本部分內容是高考的熱點之一，難度較大，通常利用函數的零點、方程的根、兩函數圖象的交點等問題考查，這些問題通常借助函數的單調性和極值的大小的討論來解決，考查學生的邏輯推理、直觀想象和運算求解的核心素養．

當x＞0時，f(x)單調遞增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1＜0，限制x＞1，則f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2＝(x－1－a－|b|)x2，令(x－1－a－|b|)x2≥0?x≥1＋a＋|b|，取x0＝1＋a＋|b|，則f(1＋a＋|b|)＞0，∴f(x)在(0，1＋a＋|b|)上有一個零點．綜上，f(x)在R上有一個零點x0，且x0∈(0，1＋a＋|b|)．注釋：對于選②最后的取點思路(放縮取點)，限制x＞1，∴ex＞x2，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2，令x－a－1－|b|≥0?x≥a＋1＋|b|，取x＝a＋1＋|b|可使f(a＋1＋|b|)＞0．[考題來源]本題來源于教材復習參考題5第19題，題目命題模式與復習參考題相仿，難度系數相同，都是討論帶有參數的函數的單調性，不同的是教材復習參考題是已知函數的零點個數求解參數的取值范圍，本題是利用導數研究函數的零點個數問題，主要考查利用導數研究函數圖象問題，難度系數相當．[試題評價]本題主要考查利用導數討論函數的單調性以及證明函數零點個數問題，考查了學生數學抽象、數學運算和邏輯推理的核心素養．探源5用導數解決實際應用問題[命題點分析]本考點的考查是高考常考內容之一，難度中等以上，解決實際應用問題的關鍵在于把實際問題抽象為函數問題再利用導數解決函數求最值問題，考查學生的數學抽象、直觀想象、數學運算和數學建模的核心素養．

√

[考題來源]本題來源于教材