學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精數學人教B選修1-1第二章圓錐曲線與方程知識建構綜合應用專題一圓錐曲線的定義及其應用橢圓、雙曲線和拋物線是三種重要的二次曲線，教材給出了它們的定義，展示了三類曲線各自的特征及幾何性質，它們的定義不僅是推導它們各自的方程和性質的基礎，而且也是解題的重要工具．靈活運用定義,可避免很多復雜的計算，提高解題效率．應用1F1，F2是橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0）的焦點，P是橢圓上任一點，從任一焦點引∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為Q，則點Q的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線提示:此題用基本坐標法求解，運算相當繁瑣，而且一時難以理出思路．本題宜采用幾何圖形的性質來解答．應用2已知橢圓的方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0），F1，F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上不同于長軸端點的任意一點，且滿足∠F1PF2＝α,求△F1PF2的面積S.提示:利用橢圓的定義有｜PF1|＋|PF2|＝2a，在△F1PF2中利用余弦定理又可以得到|PF1｜,|PF2|之間的關系,再利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積．專題二圓錐曲線的標準方程與性質圓錐曲線的方程與性質是高考重點考查的內容，因此對于其方程與性質一定要熟悉．由標準方程確定其性質和由性質確定其方程都要熟練掌握．給出方程研究性質(給出性質求其方程)時，首先確定焦點在哪一個坐標軸上，即確定是哪種形式的方程，然后才能準確研究其性質(準確求其方程）．當不能確定方程的形式時,要分情況討論．應用1已知拋物線ax2＋2y＝0，則其焦點坐標為______,準線方程為________________．提示:先把所給拋物線方程化為標準形式,然后寫出焦點坐標和準線方程即可．應用2雙曲線C與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f（y2，4）＝1有相同的焦點,直線y＝eq\r（3）x為C的一條漸近線，求雙曲線C的方程．提示：橢圓eq\f（x2,8）＋eq\f（y2,4)＝1的焦點在x軸上,故可設雙曲線的方程為eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0），根據已知條件求出a,b即可．專題三直線與圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的綜合問題是高考對圓錐曲線考查的重點和難點，也是歷年考查的熱點．直線與圓錐曲線的綜合問題包括兩大類:①直線與圓錐曲線位置關系的判定；②直線與圓錐曲線相交而產生的弦長問題、中點弦問題、范圍問題、張角問題、最值問題等(重點考查直線與橢圓的位置關系）．應用1橢圓eq\f(x2,36）＋eq\f（y2,9）＝1的一條弦被點P(4,2）所平分,求此弦所在直線方程．提示：求弦所在直線方程，常應用“點差法”．設出直線與橢圓交點的坐標并代入橢圓方程，兩式相減可得弦所在直線的斜率，從而求出直線方程．應用2（2010·北京高考)已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是（－eq\r（2），0），（eq\r（2），0）,離心率是eq\f（\r(6)，3).直線y＝t與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為點P.（1）求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標．提示：（1)由焦點坐標和離心率可求出a，b.(2）設N(x，t）是直線y＝t與橢圓C的右交點，則當圓P與x軸相切時，t＝x。真題放送1（2011·陜西高考,理2）設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(）A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x2（2011·湖南高考，文6)設雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,9)＝1（a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0,則a的值為（)A．4B．3C．2D．13(2011·山東高考，文9)設M(x0，y0）為拋物線C：x2＝8y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、｜FM｜為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是（）A．（0,2）B．［0,2］C．（2,＋∞）D．［2,＋∞)4(2011·遼寧高考，文7）已知F是拋物線y2＝x的焦點,A，B是該拋物線上的兩點，|AF｜＋｜BF|＝3,則線段AB的中點到y軸的距離為()A．eq\f（3，4)B．1C．eq\f（5，4)D．eq\f(7，4)5（2011·福建高考，文11）設圓錐曲線Γ的兩個焦點分別為F1，F2，若曲線Γ上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2｜∶｜PF2|＝4∶3∶2,則曲線Γ的離心率等于(）A．eq\f(1,2）或eq\f（3,2）B．eq\f（2,3)或2C．eq\f(1,2）或2D．eq\f(2,3）或eq\f（3,2）6（2011·遼寧高考，理13)已知點(2，3)在雙曲線C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0)上,C的焦距為4，則它的離心率為________．答案：綜合應用專題一應用1:A延長垂線F1Q交F2P的延長線于點A,如圖所示．則△APF1是等腰三角形，∴｜PF1|＝｜AP|，從而|AF2|＝｜AP｜＋｜PF2｜＝｜PF1｜＋|PF2|＝2a.∵O是F1F2的中點，Q是AF1的中點,∴｜OQ|＝eq\f(1,2)｜AF2｜＝a?！郠點的軌跡是以原點O為圓心，半徑為a的圓．應用2:解:由橢圓的定義有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2|＝4a2.①在△F1PF2中,∠F1PF2＝α，由余弦定理有|PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1|·|PF2|cosα＝4c2。②①－②得2｜PF1|·|PF2｜(1＋cosα）＝4(a2－c2）＝4b2，∴｜PF1｜·|PF2｜＝eq\f(2b2，1＋cosα）。∴△F1PF2的面積為S＝eq\f（1，2)|PF1|·|PF2|·sinα＝eq\f（b2sinα，1＋cosα）。專題二應用1:eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，－\f(1,2a）））y＝eq\f(1,2a）將拋物線ax2＋2y＝0化為標準形式為x2＝－eq\f（2y，a），故其交點坐標是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,－\f(1，2a)））,準線方程為y＝eq\f（1，2a）。應用2：解：設雙曲線方程為eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1,由橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f（y2，4)＝1求得兩焦點為（－2，0)，(2,0)，∴對于雙曲線C：c＝2。又y＝eq\r（3）x為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f（b,a)＝eq\r(3)，解得a2＝1,b2＝3，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2，3)＝1.專題三應用1:解：設弦的兩端點分別為A（x1，y1)，B（x2，y2),則eq\f(x1＋x2，2）＝4，eq\f（y1＋y2,2）＝2，kAB＝eq\f（y2－y1,x2－x1)(x2≠x1）．且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x\o\al（2，1),36）＋\f（y\o\al(2,1)，9)＝1，①，\f(x\o\al(2，2),36）＋\f(y\o\al（2,2），9)＝1.②)）由②－①得：eq\f（x\o\al（2,2)－x\o\al(2,1）,36）＋eq\f（y\o\al（2，2)－y\o\al(2,1），9)＝0,所以eq\f(1,4）(x2＋x1）(x2－x1）＋(y2＋y1)(y2－y1）＝0,所以eq\f（8，4)＋4·eq\f(y2－y1，x2－x1)＝0，所以kAB＝－eq\f(1，2）,所以弦AB所在直線方程為y－2＝－eq\f(1，2）(x－4）,即x＋2y－8＝0，當x1＝x2時，弦AB⊥x軸,AB的中點在x軸上，不可能是點P，所以x＋2y－8＝0就是弦所在的直線方程．應用2:解:(1）因為eq\f(c，a)＝eq\f(\r（6），3），且c＝eq\r（2），所以a＝eq\r(3），b＝eq\r（a2－c2）＝1.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3）＋y2＝1。(2）由題意知P（0，t)(－1＜t＜1）．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝t,,\f（x2,3)＋y2＝1，)）得x＝±eq\r（31－t2)。所以圓P的半徑為eq\r（31－t2).當圓P與x軸相切時,|t｜＝eq\r(31－t2).解得t＝±eq\f(\r（3）,2）.所以圓心P的坐標是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，±\f（\r(3）,2))）.真題放送1．B∵拋物線的準線方程為x＝－2，∴拋物線的開口向右，設拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0），則其準線方程為x＝－eq\f(p，2），∴－eq\f(p,2）＝－2，解得p＝4.∴拋物線的標準方程為y2＝8x。2．C漸近線方程為y＝±eq\f(3，2）x,又b2＝9,即eq\f(3，a)＝eq\f（3,2),所以a＝2。3．C根據拋物線的定義可知|FM｜＝y0＋2，又由圓與準線相交可得y0＋2＞4,即y0＞2，故選C.4．C過A，B兩點，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點A′,B′，設線段AB的中點為P，點P到準線的距離為|PP′|，如下圖所示．由拋物線定義：｜AF｜＋|BF｜＝｜AA′｜＋｜BB′｜＝2|PP′|＝3，∴｜PP′|＝eq\f(3，2).∴線段AB的中點到y軸的距離為d＝｜PP′|－eq\f(1,4）＝eq\f(3，2）－eq\f(1，4)＝eq\f(5，4）。故選C。5．A∵｜PF1|∶|F1F2|∶｜PF2|＝4∶3∶2，設｜PF1｜＝4k，|F1F2|＝3k，｜PF2|＝2k,其中|F1F2｜＝2c＝3k，∴c＝eq\f(3,2）k。若圓錐曲線Γ為橢圓,則|PF1｜＋｜PF2|＝