初中數(shù)學(xué)，“最值問題”中的對稱問題一個可以真正學(xué)習(xí)的平臺！教學(xué)目的：進一步理解從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，對于軸對稱問題、中心對稱問題有一個比較深入的認(rèn)識，可以通過對稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。教學(xué)重點和難點：猜想驗證的過程，及幾何問題的說理性。一、點關(guān)于一條直線的對稱問題問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點C（小狗在C處飲水），使得AC+BC最短。（如圖所示）知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短，可以得出結(jié)果。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對稱有兩類，一類是軸對稱，一類是中心對稱。軸對稱有兩個基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點M關(guān)于直線PQ的軸對稱點N的方法是：過M作MO垂直于PQ于點O，并延長MO到點N，使NO=MO，則點N就是點M關(guān)于直線PQ的對稱點。問題分析：過A作AO垂直于直線L于點O，延長AO到點A’，使A’O=AO，連接A’B，交直線L于點C，則小明沿著ACB的路徑就可以滿足小狗喝上水，同時又使回家的路程最短。問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質(zhì)。問題的延伸1：已知直線L外有一個定點P，在直線L上找兩點A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m為定值）提示：作PC平行于AB，且PC==AB，則問題變?yōu)椋涸谥本€L上找一個點B，使它到P、C兩點的距離之和最短。問題的延伸2：在兩條相交線之外有一個定點P，分別在兩條直線上找點B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定B、C的位置？提示：分別作點P關(guān)于直線L1和直線L2的對稱點P1和P2，連接P1P2分別與兩直線交于B、C點，則PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里：問題超市：農(nóng)場里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有兩個加工廠，農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車，想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路，同時在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個加工廠之間的路程最短？問題數(shù)學(xué)化：在直線L1和直線L2之間作一條垂線段CD，使得BC+CD+DA最短。知識介紹：關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點的所有線中，線段最短（兩點之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）問題分析：由于CD的長度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線段AD平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。問題的總結(jié)與結(jié)論：一般來說，我們利用圖形的對稱性尋找到最近的位置，然后利用三角形和對稱的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又該如何呢？如圖，把A向下平移到A’的位置，使線段AA’等于河L1－L2的寬度；把B向上平移到B’的位置，使線段BB’等于河L3－L4的寬度。連接線段B’A’，交L2于點C，交L3于點F。過C、F分別作垂線段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對稱問題的進一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對稱的特點找到一些特殊位置使得線段和最小，那么對于線段差最小的問題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢？1、直線L的異側(cè)有兩個點A、B，在直線L上求一個點C，使得：A、B到C的距離的差的絕對值最小。2、你認(rèn)識一些什么樣的軸對稱圖形，它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)？等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：問題超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫一條直線為分界線，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個人，BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個人不知道怎么平分土地最能滿足個人的需要，你看這個土地的形狀（比較規(guī)則的L形）（如右圖所示），應(yīng)該怎樣平分呢？問題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個矩形所組成（割、補）的圖形中尋找一條直線，使得圖形被分成兩部分，且兩部分的面積相等，而且，均含有BC邊的一部分。問題分析：1、如何才能把一個矩形的面積等分。如圖，可以應(yīng)用矩形的兩條對角線所在的直線AC、BD，每組對邊的中點所在直線MP、NQ，且這四條直線都交于同一點O，對矩形的對稱中心。即經(jīng)過對稱中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2、利用這個結(jié)論，土地可以看成是兩個矩形進行割、補得到的，分別在每個圖中作兩個矩形的對稱中心，經(jīng)過這兩個點作一條直線，這條直線就可以把這兩個矩形的面積進行平分，分別如上面三個圖形所示：問題的延伸：三個方案確定之后，兩個農(nóng)民并不滿意，他們認(rèn)為：“這三種方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC邊并沒有被平分。”兩人為了灌溉方使，都想把靠近水源的BC邊也平分了，誰會愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地，也平分水源，有什么辦法呢？問題的分析：（如下圖所示）直線QR就是原來的分界線l，取線段QR的中點為S，取線段BC的中點為P，則直線PS就是滿足兩個農(nóng)民要求的分界線。問題的證明：與中，三組內(nèi)角對應(yīng)相等，且RS=PS，則兩個三角形全等，所以兩個三角形的面積相等，于是經(jīng)過直線TP的分界仍保證了土地的平分，且過點P也使得水源得到了平分。思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、臺球桌上的數(shù)學(xué)問題問題超市：臺球被打到臺球桌邊上，反彈回來，就是我們常用的對稱問題。臺球從球桌的一個角出發(fā)，若沿著角將球打到對邊，然后，球經(jīng)過幾次碰撞，最后到另外的三個角落之一。如果臺球桌的長和寬之比為2:1，需要碰撞幾次？如果臺球桌的長和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會怎樣？知識介紹：此題類似于物理中光線的反射，當(dāng)光線入射到平面鏡上的時候，光線會被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對稱。在臺球桌（長方形），由于入射角是，所以反射角也是，這樣入射線和反射線形成一個直角，相應(yīng)的，在臺球桌上就構(gòu)成了一個等腰直角三角形，利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問題分析：我們分下面幾種情況進行分析：（1）如果長寬比為2:1，如圖，則1次就夠了；（2）如果長寬比為3:2，如圖，則要碰撞