專題06.平行線中的拐點模型專項過關檢測姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共26題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2023·山西太原·校考模擬預測）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中，都與地面平行，，．已知與平行，則的度數為（

）圖1

圖2A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線的性質可得，根據三角形的內角和定理可得，再根據平行線的性質即得答案．【詳解】解：∵，都與地面平行，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質和三角形的內角和定理，屬于基礎題型，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．2．（2023下·山西晉中·七年級統考期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，，，則（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，先證明，然后根據平行線的性質求出，，最后利用角的和差關系求解即可．【詳解】解：過點作，

∵，∴，，，又，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理的推論，添加合適的輔助線是解題的關鍵．3．（2023下·安徽安慶·七年級統考期末）將一塊等腰直角三角板按如圖方式擺放（），其中直線，點C落在直線上，若，則的度數是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過B作，首先根據平行公理得到，然后利用平行線的性質求解即可．【詳解】解：過B作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質和判定．4．（2023下·河南焦作·七年級統考期中）如圖，已知直線，，，平分，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質、平行公理及角平分線的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分∴∵∴∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是識別內錯角、同旁內角存在的相等關系．5．（2023下·河南平頂山·七年級統考期中）如圖是一塊玻璃的，兩面，且，現有一束光線從玻璃中射向空氣時光線變成，為射線上一點．已知，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線的性質及對頂角相等可知，再根據角的和差關系解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選．

【點睛】本題考查了平行線的性質，對頂角相等，角的和差關系，掌握平行線的性質是解題的關鍵．6．（2023下·河南鄭州·七年級統考期中）如圖，，，交的平分線于點，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平行線的性質得到，由角平分線的定義得到，根據三角形的內角和定理結合平角的定義即可得到結論．【詳解】解：，，，平分，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，熟記平行線的性質是解題的關鍵．7．（2023下·廣西南寧·七年級期中）如圖，，，的平分線交于點．若，，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質可得，再由角平分線的性質可求出的大?。驹斀狻拷猓哼^點作，，，，，，、平分和，，，．故選：C．【點睛】此題主要考查了平行線的性質和應用，解答此題的關鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．8．（2023下·福建莆田·七年級校聯考期中）如圖，，則滿足的數量關系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，如圖，則，根據平行線的性質可得，進一步整理即得答案.【詳解】解：作，如圖，∵，∴，∴，∴，∴，即在原圖中有結論：；故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.9．（2023下·湖南株洲·七年級統考期末）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結論正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，即可得出結論；②如圖2，先根據三角形外角的性質得出∠1＝∠C+∠P，再根據兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據平行線的性質得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結論正確的個數為3，故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．10．（2023下·重慶北碚·七年級?？计谀┤鐖D，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區域，下列結論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質以及已知即可證明；②利用角平分線的性質以及平行線的性質得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結合①的結論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結合①的結論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結合①的結論即可證明．【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2023上·福建漳州·八年級統考期中）已知直線，將等邊三角形按如圖所示的方式放置，若，則．

【答案】/25度【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，平行線的判定與性質，過點B作，可得出，再由平行線的性質可得結論．【詳解】解：過點B作，∴

∵是等邊三角形，∴∴∵，∴∴故答案為：12．（2023下·江蘇南通·七年級統考期末）如圖，中，，點D，E分別在邊上，的平分線與的平分線交于點F，則度．

【答案】155【分析】延長交于點H，根據，可得，再由三角形內角和定理可得，然后根據，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點H，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，即，∵平分，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∴．故答案為：155【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握這些性質和定理是解題的關鍵．13．（2023下·山東日照·七年級統考期末）如圖，直線，的平分線交直線b于點C，若，，則的度數是．

【答案】【分析】過點P作直線a的平行線，利用平行線的性質及角平分線的性質可得，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和即可求解．【詳解】解：過點P作直線a的平行線，如圖所示：

則：，，，又是的角平分線，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質及三角形外角定理，熟練掌握其基本知識，找準輔助線位置是解題的關鍵．14．（2023下·山東淄博·七年級統考期末）如圖，一航班沿北偏東方向從A地飛往C地，到達C地上空時，準備備降B地，已知C地在B地的北偏西方向．

【答案】【分析】先運用平行線的性質求得，再運用三角形內角和定理求得的度數．【詳解】解：由題意得：，，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了運用平行線的性質及三角形內角和定理解決方位角問題的能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識進行正確地推理、計算．15．（2023上·廣東惠州·八年級校考開學考試）如圖，于點N，點P在上，，當度時，．

【答案】【分析】過點M作，則，根據平行線的判定與性質得到即可得出結論．【詳解】解：過點M作，則，

∵，∴，則，∵，∴，∴當時，,∵∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的判定與性質、垂直定義，添加平行線求解是解答的關鍵．16．（2023下·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤鐖D1是一盞可折疊臺燈．圖2，圖3是其平面示意圖，支架為固定支撐桿，支架可繞點旋轉調節．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．當支架旋轉至水平位置時（如圖2），恰好與平行，則支架與水平方向的夾角為，若將圖2中的繼續向上旋轉（如圖3），則此時與水平方向的夾角為，直接寫出．

【答案】120【分析】利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運用平行線性質即可得出答案．【詳解】解：如圖2，，平分，，

，，，，，，，即；如圖3，，，過點作，

則，，，，，，，，∴．故答案為：120．【點睛】本題考查了平行線性質，角平分線定義，垂直定義等，熟練掌握平行線性質是解題關鍵．17．（2023下·福建廈門·七年級統考期末）如圖，，點，分別在直線，上，點在直線，之間，平分，平分，，，則的度數為．

【答案】/度【分析】過點作，根據平行線性質推出，，所以，由平分，平分，，進而得到，再由三角形內角和即可求出的度數．【詳解】解：如圖，過點作，

，，，，，，，，，，平分，平分，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的性質，三角形的內角和，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．18．（2022下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，已知，M為平行線之間一點，連接，N為上方一點，連接，E為延長線上一點，若分別平分，則∠M、∠N滿足的關系式是【答案】【分析】如圖所示，過點M作，過點N作，則，先由平行線的性質得到，再由角平分線的定義得到；再證明，，即可得到，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點M作，過點N作，∵，∴，∴，∴，∵分別平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質與判定條件是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共78分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2023下·河南·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D1，，．

（1）判斷圖中平行的直線，并給予證明；（2）如圖2，，，請判斷與的數量關系，并證明．【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，證明見解析；（2）∠P=3∠Q，證明解析．【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根據平行線的判定推出AB∥CD即可；延長EF交CD于F1，根據平行線性質和已知求出∠AEF=∠EF1L，根據平行線的判定推出即可；（2）作QR∥AB，PL∥AB，根據平行線的性質得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．【詳解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，證明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；延長EF交CD于F1，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；（2）∠P=3∠Q，證明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，∴∠RQN=∠QND，∴∠MQN=∠QMB+∠QND，∵AB∥CD，PL∥AB，∴AB∥CD∥PL，∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，∴∠MPN=∠PMB+∠PND，∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；【點睛】本題考查平行線的性質和判定，平行線公理的推論．能正確作出輔助線是解決本題的關鍵．20．（2023下·廣東東莞·七年級校考期中）（1）如圖（1），猜想與的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關系，不需要說明理由．

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖（3），圖（4）【分析】（1）過點P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）過點P作，由，得到，從而得到結論；（3）由，根據兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得與的關系．【詳解】（1）解：猜想．理由：過點P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如圖，過點P作，

∵，∴，∴，∴；（3）如圖（3）：．理由：∵，∴，∵，∴，即；如圖（4）：．理由：∵，∴，∵，∴，即．【點睛】此題考查了平行線的性質，平行公理的推論，三角形的外角的性質定理，熟記平行線的性質是解題的關鍵．21．（2023下·廣東云浮·七年級統考期末）（1）如圖①，已知，探究與有怎樣的位置關系；（2）如圖②，已知，試猜想之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖③，已知，試猜想之間的數量關系，請直接寫出這種關系，不用說明理由．

【答案】（1）；（2）．理由見解析（3）【分析】（1）過點E作，根據平行線的性質和判定解答即可；（2）過點C作，根據平行線的判定和性質解答即可；（3）結合（1）（2），根據平行線的性質和判定得出角的關系即可．【詳解】解：（1）過點E作（F在E點右側）．因為，所以．因為，所以．因為，所以，所以，所以．

（2）．理由：過點C作（D在C點右側），所以．因為，所以．所以．因為，所以．（3）如圖，過拐點分別作的平行線，由（1）（2）可得：．【點睛】本題考查了平行線的性質，正確作出輔助線是關鍵，注意掌握平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等．22．（2023下·江西宜春·七年級統考期末）已知直線，點分別在直線上．

(1)如圖①，當點在直線之間時，連接．探究與之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖②，在①的條件下，平分，平分．求與之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖③，當點在直線的下方時，連接，其中交于點，平分，平分，的反向延長線交于點，交于點．若時，求的度數．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點作，則，，進而得出，即可得出結論；（2）同（1）得出，根據角平分線的定義得出，，即可得出結論；（3）過點作，根據平行線的性質得出，同（1）即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖所示，過點作，，

，

，

，，，，，即；（2）解：，理由如下：平分，平分，，，由（1）可知，同理可得，，即；（3）解：如圖，過點作，，分，平分，，，，，，由（1）可得：．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的性質，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．23．（2023下·廣西貴港·七年級統考期末）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們“借助兩條平行線、和一副直角三角板”開展數學探究活動．即：已知直線和一副直角三角板．

【操作判斷】如圖1，小華把一個三角板角的頂點F、G分別放在直線、上，請直接寫出與的數量關系______．【遷移探究】如圖2，小睿把一個三角板角的頂點F放在直線上，若，求的度數．【拓展應用】在圖1的基礎上，小明把三角板角的頂點，放在E處，即（如圖3），與的平分線，分別交、于點P，Q，將含角的三角板繞點E轉動，使始終在的內部，請問：的值是否發生變化？若不變，求出它的值；若變化，請說明理由．【答案】[操作判斷]；[遷移探究]；[拓展應用]不變，，理由見解析【分析】[操作判斷]過點E作，則，從而，，進而可得與的數量關系；[遷移探究]過點E作，則，從而，，進而可得，結合，可求的度數；[拓展應用]過點E作，可證，設，則，，然后根據角平分線的定義即可求解．【詳解】［操作判斷］：如圖1，過點E作，，，∵∴故答案為：

［遷移探究］：如圖2，過點E作，，，，，

［拓展應用］：不變，理由如下：過點E作，，設，則，、分別平分、，

【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．24．（2023下·廣西桂林·七年級統考期末）已知：直線，點A和點B是直線a上的點，點C和點D是直線b上的點，連接，，設直線和交于點E．

(1)在如圖1所示的情形下，若，求的度數；(2)在如圖2所示的情形下，若平分，平分，且與交于點F，當，時，求的度數；(3)如圖3，當點B在點A的右側時，若平分，平分，且，交于點F，設，，用含有α，β的代數式表示的補角．【答案】(1)(2)(3)的補角為【分析】（1）過點E作，證明，可得，，，可得；（2）過點F作，證明，可得，，，求解，，從而可得答案；（3）如圖，過點F作，證明，可得，，可得，證明，，從而可得答案．【詳解】（1）解：過點E作，

∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴；（3）如圖，過點F作，∵，∴，∴，，∴，∵平分，平分，，，∴，，∴，∴的補角．【點睛】本題考查的是平行線的性質，平行公理的應用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質求角的度數是解本題的關鍵．25．（2023下·重慶潼南·七年級校聯考期中）如圖，直線，直線、及直線把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六個部分，點是其中的一個動點，連接、，觀察、、三個角規定：直線、、上的各點不屬于①、②、③、④、⑤、⑥六個部分中的任何一個部分．(1)當動點落在第①部分時圖，可得：，請說明理由．(2)當動點落在第②部分時圖，、、之間的關系是怎樣的？請直接寫出、、之間滿足的關系式，并說明理由．(3)當動點在第③部分時，、、之間的關系是怎樣的？請直接寫出相應的結論．【答案】(1)詳見解析(2)，詳見解析(3)【分析】（1）首先過點作的平行線，交于點，進而利用平行線的性質得出即可；（2）首先過點作的平行線，交于點，進而利用平行線的性質得出即可；（3）過點向右作，根據平行公理可得，然后根據兩直線平行，同旁內角互補用表示出，用表示出，然后結合圖形整理即可得解．【詳解】（1）解：如圖，過點作，交于點，，，，，，；（2），理由如下：如圖，過點作的平行線，交于點，，，，，；；（3）點在第③部分時，過點向右作，則，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟記性質并靈活運用是解題的關鍵，兩直線平行，同位角相等，同旁內角互補，內錯角相等．26．（2023下·山東臨沂·七年級統考期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內角互補；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）根據平行線的判定與性質填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內角互補）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線時，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．附加題（不計入總分）1．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯考期中）如圖，，點E在上，點G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點M、N，連接，點F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數．(2)如圖2，平分，平分，反向延長交于K，設，請通過計算，用含x的代數式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請直接寫出與的數量關系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分線求出結果；（2）設，求出，再利用角平分線及平行的性質求得，最后根據即可求解；（3）過點作，由角平分線求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如圖，設交于點M，平分，設，則，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如圖，過點作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【點睛】本題考查平行線的性質，平行線的拐角問題，角平分線的性質，掌握輔助線的作法是解決本題的關鍵．2．（2023下·遼寧大連·七年級統考期末）如圖1，點M在射線之間，，連接，過點M作交射線于點E，且．

(1)求證：；(2)過點C作，交直線于點N，先按要求畫圖，再解決下列問題．①當在上方，滿足時，在圖2中畫圖，求的度數；②作的角平分線交射線于點K，交的角平分線于點F，請直接寫出與之間的數量關系______．【答案】(1)證明見解析(2)①；②或【分析】（1）如圖所示，過點M作，根據平行線的性質得到，再由垂直的定義得到，則可證明，由此可得；（2）①由三角形外角的性質可得，再由建立方程求解即可；②分當在上方時，當在下方時，根據角度之間的關系用表示出，再據三角形外角的性質即可推出結論．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點M作，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；

（2）解：①∵，∴，∵，∴，∴②如圖所示，當在上方時，∵，，∴，∵平分，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；

如圖所示，當在下方時，同理可得，∴，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴∴；綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，三角形內角和定理，平行線的性質與判定，角平分線的定義等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．3．（2023下·山東臨沂·七年級統考期末）如圖是課上老師呈現的一個問題：已知：如圖，于點交于點，當時，求的度數．

下面提供三種思路：思路一：過點作（如圖甲）；思路二：過點作，交于點；思路三：過點作，交于點．

解答下列問題：(1)根據思路一（圖甲），可求得的度數為________；(2)根據思路二、三分別在圖乙和圖丙中作出符合要求的輔助線；(3)請你從思路二、思路三中任選其中一種，寫出求度數的解答過程．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）過點作，可得，從而得到、，即可求解；（2）根據題意作圖即可；（3）過點G作，根據題意可求出，根據平角的定義可得，然后即可求出答案；過點作，交于點，根據平行線的性質和垂直的定義即可求解【詳