專題14解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數學為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數學的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數學知識內容包裝、初中試題命制技術設置）處理，命制出具有高中數學背景味道的試題。這類試題往往對學生思維能力和創新能力要求較高，能有效檢驗學生是否具備進入高中學習的潛能，所以平時教學挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當地構建模型可以拓寬解題思路，優化解題過程，豐富解題內涵。【知識儲備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數學中的三角函數和解三角形的相關定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數學知識證明。若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數的基本關系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB；在中，根據上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，例2．（2023春·山西·九年級專題練習）閱讀與思考．請仔細閱讀并完成相應的任務．利用我們所學習的三角函數的相關知識可以解決許多關于三角形邊長、角度、面積等問題．如圖，在銳角中，，，的對邊分別是，，過點作于點，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任務：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所對邊分別是，，，，，，求．例3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級統考期末）問題：閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高，在學習了三角函數后，還可以這樣求三角形的面積：對，a，b，c分別為，，的對邊，則其面積(1)在中，，，，求b邊對應的高的長度．(2)如圖，在中，已知，，D為上一點，證明：.(3)正數a，b，c，d，e，f滿足，證明：．例4．（2023春·四川瀘州·八年級校考期中）平面幾何圖形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；(2)學完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．

例5．（2023·北京市·九年級校考期末）關于三角函數有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數值轉化為特殊角的三角函數來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計算下列三角函數①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例6．（2022春·浙江·九年級專題練習）1.某數學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設AC=1，則BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．請解決下列問題（上述思路僅供參考）．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度．例7．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學校校考三模）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數值為，那么的值為．例8．（2023秋·山東·九年級專題練習）在學習完銳角三角函數后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學是這樣考慮的：如圖2，取的中點O，連接，過點C作于點D，則，然后利用銳角三角函數在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內容，回答下列問題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請你參考閱讀材料中的推導思路，求出的表達式（用含，的式子表示）．例9．（2022·重慶·校考一模）材料一：證明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點D(異于點A)，過點D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學習了三角函數之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導過程；如果不可以，說明理由．例10．（2023春·湖北·九年級專題練習）在初中，我們學習過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規定一個角的三角函數的意義：設有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標是x，縱坐標是y，點P和原點的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數規定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關，而與直角三角形的大小無關，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關，而與點P在角α的終邊位置無關．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數的意義的兩種規定實際上是一樣的，根據第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項訓練1．（2023春·浙江九年級課時練習）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（

）A． B． C． D．12．（2023·廣東深圳·校聯考一模）由三角函數定義，對于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個數是（

）(1)a2+b2=c2

(2)aa’+bb’=cc’

(3)sin2A+sin2B=1

(4)+=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；，．例如：當，時，，則的值為_______．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為．5．（2023·江蘇蘇州·統考一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即：．如圖，若，則的值為．6．（2023·廣東·模擬預測）關于三角函數有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如．根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：(1)求，cos75°的值；(2)如圖，直升機在一建筑物CD上方的點Α處測得建筑物頂端點D的俯角α為60°，底端點C的俯角為75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為30m求建筑物CD的高．7．（2023·江西景德鎮·九年級校考期中）如圖，在銳角中，，，（1）請用，，表示（余弦定理）；______________；（2）證明你的結論．（3）如圖，已知的外心為，內心為，重心為，若IG∥BC，證明．8．（2022·福建福州·校考模擬預測）小明在學習直角三角形的三角函數時發現：如圖1，在中，所對的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結論．(1)如圖2，在銳角三角形中，所對的邊分別是a、b、c，請你運用直角三角形的三角函數的有關知識驗證；(2)請你運用（1）中的結論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時的速度按北偏東的方向航行，兩小時后到達C處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時貨輪與燈塔A的距離．

9．（2023春·安徽六安·八年級統考期中）古希臘數學家海倫在他的著作《度量論》中，給出了計算三角形面積的公式：，（其中，，，分別為三角形的三邊長，為三角形的面積）．我國宋代數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中，也曾提出由三角形三邊求三角形面積的方法，它們實質上是相同的．請根據上面的公式解決問題：已知三角形的三邊長分別為，，，若，，是方程的兩個實數根，請利用上面的公式求該三角形的面積．10．（2023·福建泉州·九年級統考期中）請先閱讀這段內容.再解答問題三角函數中常用公式.求的值，即.試用公式，求出的值.11．（2023·山東淄博·九年級統考期中）計算(1)；(2)；(3)已知三角函數有如下的公式：，利用該公式求的值．12．（2023·山西·九年級專題練習）閱讀材料：關于三角函數還有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值．例：tan75°=tan（45°+30°）===根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式解答下面問題：（1）計算：sin15°；（2）某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的紅軍戰士．李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度．已知李三站在離紀念碑底7米的C處，在D點測得紀念碑碑頂的仰角為75°，DC為米，請你幫助李三求出紀念碑的高度．13．（2023春·山西·九年級專題練習）通過學習《解直角三角形》這一章，王凱同學勤學好問，在課外學習活動中，探究發現，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數量關系，下面是他的學習筆記．請仔細閱讀下列材料并完成相應的任務．在中，，，的對邊分別為a、b、c，的面積為，過點A作，垂足為D，則在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得結論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵∴將等式兩邊同除以，得，∴…②由以上推理得結論：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等．理解應用：如圖，甲船以海里/時的速度向正北方向航行，當甲船位于A處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°