《講亮點》20222023學年八年級數學上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題復習勾股定理章末重難點題型【題型目錄】考點一勾股定理的證明方法考點二勾股樹問題考點三用勾股定理構造圖形解決問題考點四勾股定理的折疊問題考點五勾股定理的逆定理考點六最短路徑問題考點七勾股定理的其他應用【考點一勾股定理的證明方法】【例題1】我們在學習勾股定理的第二課時時，以下圖形可以用來驗證勾股定理的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】用兩種不同的方法表示出梯形的面積，可以判斷圖1和圖3可以驗證勾股定理；根據圖形的總面積等于一個大正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，也等于兩個小正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，然后整理可以判斷圖2可以驗證勾股定理．【詳解】解：圖1和圖3：∵，，∴，∴，∴，故圖1和圖3都可以驗證勾股定理；圖2：圖形的總面積可以表示為：，也可以表示為：，∴，∴．故圖2可以驗證勾股定理；圖4不可以驗證勾股定理．綜上，圖1、圖2和圖3可以驗證勾股定理，共3個．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，觀察圖形，利用兩種方法表示出圖形的面積是解題的關鍵．【變式11】我國是最早了解勾股定理的國家之一．據《周髀算經》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發現的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據基礎圖形的面積公式表示出各個選項的面積，同時根據割補的思想可以寫出另外一種面積表示方法，即可得出一個等式，進而可判新能否證明勾股定理．【詳解】解：A、大正方形的面積等于，也等于4個直角三角形的面積加小正方形的面積，∴，即，能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、大正方形的面積等于，也等于，∴，不能證明勾股定理，故本選項符合題意；C、大正方形的面積等于，也等于4個直角三角形的面積加小正方形的面積，∴，即，能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、梯形的面積等于，也等于2個直角三角形和一個等腰直角三角形的面積和，∴，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；故選：B【點睛】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內弦圖、外弦圖是解題關鍵．【變式12】如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補法能夠得到的一個等式是__．【答案】a2+b2＝c2【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而列出等式，發現邊與邊之間的關系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點睛】此題考查的知識點是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．【變式13】我國古代用勾、股和弦分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊．如圖，由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，數學家鄒元治利用該圖證明了勾股定理，當大正方形面積為9，小正方形面積為5，則直角三角形中股和勾的差值為________．

【答案】1【分析】設勾為x，股為y，根據面積求出xy＝2，根據勾股定理求出x2+y2＝5，根據完全平方公式求出y﹣x即可．【詳解】設勾為x，股為y（x＜y），∵大正方形面積為9，小正方形面積為5，∴4×xy+5＝9，∴xy＝2，∵x2+y2＝5，∴y﹣x＝＝＝＝1，∴y﹣x＝1，故答案為1．【點睛】本題考查了勾股定理和完全平方公式，能根據已知和勾股定理得出算式xy＝2和x2+y2＝5是解此題的關鍵．【變式14】勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①請敘述勾股定理．②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有___________個．②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請寫出，，的數量關系：___________．(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形的邊長為定值，四個小正方形，，，的邊長分別為，，，d，則___________．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)①3，②(3)【分析】（1）①根據所學的知識，寫出勾股定理的內容即可；②根據題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；（2）①根據題意，設直角三角形的三邊分別為a、b、c，利用面積相等的方法，分別求出面積的關系，即可得到答案；②利用三角形的面積加上兩個小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；（3）由（1）（2）中的結論，結合勾股定理的應用可知，．（1）解：①如果直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊為，那么．或在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）②（以下過程，選擇其一解答即可，不必三個皆證．）若選擇圖1，證明過程如下：證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即，化簡，得．若選擇圖2，證明過程如下：在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即，化簡，得．若選擇圖3，證明過程如下：證明：在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，即，化簡，得．（2）①根據題意，則如下圖所示：在圖4中，直角三角形的邊長分別為a、b、c，則由勾股定理，得，∴；在圖5中，三個扇形的直徑分別為a、b、c，則，，，∴，∵，∴，∴；在圖6中，等邊三角形的邊長分別為a、b、c，則，，，（等邊三角形面積公式：，a為邊長）∵，，∴，∴；∴滿足的有3個，故答案為：3；②結論；，；故答案為：．（3）如圖9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，對應的邊長分別為a、b、c、d、e、f、m，則有由（1）（2）中的結論可知，面積的關系為：，∴，，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質，解題的關鍵是掌握勾股定理的應用，注意歸納推理等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、歸納總結能力，是中檔題．【考點二勾股樹問題】【例題2】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【答案】C【分析】根據正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形A，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【詳解】解：如下圖：根據勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1＝42+62，S2＝32+42，于是S3＝S1+S2，即可得S3＝16+36+9+16＝77．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，根據勾股定理的幾何意義表示出S3是解答本題的關鍵．【變式21】在學習“勾股數”的知識時，小明發現了一組有規律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中．則當時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據表中的數據得出規律，根據規律求出、的值，再求出答案即可．【詳解】解：從表中可知：依次為，，，，，，，，，，，即，依次為，，，，，，即當時，，依次為，，，，，，即當時，，所以當時，．故選：D．【點睛】本題考查了勾股數，能根據表中數據得出，是解此題的關鍵．【變式22】如圖是一株美麗的勾股數，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長是_________．【答案】【分析】設正方形A，B，C，D的邊長依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長為e，鄰近D的正方形邊長為f，最大正方形的邊長為g，根據正方形的面積公式和勾股定理依次計算即可．【詳解】如圖，設正方形A，B，C，D的邊長依次為a，b，c，d，鄰近A的正方形邊長為e，鄰近D的正方形邊長為f，最大正方形的邊長為g，且a=3，b=5，c=2，d=3，所有的三角形都是直角三角形．所以，所以==47，所以邊長為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式23】我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據上述的規律寫出下一組勾股數：________；（2）若第一個數用字母n（n為奇數，且n≥3）表示，那么后兩個數用含n的代數式分別表示為________．【答案】

11，60，61

和【分析】（1）分析所給四組的勾股數∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一組勾股數：11、60、61；（2）根據所提供的例子發現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．【詳解】解：（1）∵，∴下一組勾股數為：11、60、61；故答案為：11，60，61．（2）后兩個數表示為和，∵，，∴，又∵，且為奇數，∴由n，，三個數組成的數是勾股數．故答案為：和．【點睛】此題考查了勾股數之間的關系，解題的關鍵是根據題目中所給的勾股數及關系式進行猜想、證明即可．【變式24】我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是（9﹣1），（9＋1）；勾是五時，股和弦的算式分別是（25﹣1），（25＋1）．根據你發現的規律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；(2)根據（1）的規律，請用含n（n為奇數，且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；(3)繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數，且m＞4）的代數式來表示股和弦．【答案】(1)（49﹣1），（49＋1）(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，證明過程詳見解析(3)m，【分析】（1）根據推論即可發現：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；（2）把（1）中發現的關系運用字母表示即可，然后發現勾、股、弦之間的關系，并驗證；（3）發現：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關系即是勾的一半的平方再減1．（1）解：由題意得勾是七時，股和弦的算式分別是：（49﹣1），（49＋1）；（2）當n≥3，且n為奇數時，勾、股、弦分別為：n，，它們之間的關系為：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）．如證明（ⅰ）：弦﹣股＝；如證明（ⅱ）：；（3）當m＞4，且m為偶數時，勾、股、弦分別為：m，．【點睛】本題考查了勾股定理及規律的探索，解決本題的關鍵是能夠根據具體數字發現規律，用字母表示推廣到一般．【考點三用勾股定理構造圖形解決問題】【例題3】如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．若把這根蘆葦拉向水池一邊，頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦的長度為（

）尺．A．6 B．5 C．13 D．12【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據勾股定理解答．【詳解】解：設水深為尺，則蘆葦長為尺，蘆葦與水池邊的原距離為水池邊的一半，即為尺，如圖，根據勾股定理得：，解得：，蘆葦的長度為：（尺，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的應用．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．【變式31】如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應門自動打開了，此時這名學生離感應門的距離BC為1.2米，頭頂離感應器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6【答案】D【分析】過點D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，進而得到米，即可得出答案．【詳解】解：過點D作于E，如圖所示：則，米，在中，AD=1.5米，由勾股定理得（米），∴（米），∴米．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【變式32】如圖有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行________m．【答案】10【分析】由題意可構建直角三角形求出AC的長，過C點作CE⊥AB于點E，則四邊形EBDC是矩形．BE=CD，AE長度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根據勾股定理求出AC長．【詳解】如圖，設大樹高為AB=10m，小樹高為CD=4m，過C點作CE⊥AB于點E，則四邊形EBDC是矩形．EB=CD=4m，EC=8m．AE=AB－EB=10－4=6m．連接AC，在Rt△AEC中，根據勾股定理得：m，故答案為10【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是根據實際問題，建立適當數學模型，運用數學知識求解．【變式33】如圖，八年級一班的同學準備測量校園人工湖的深度，他們把一根竹竿AB豎直插到水底，此時竹竿AB離岸邊點C處的距離米．竹竿高處水面的部分AD長0.2米，如果把竹竿的頂端A拉向岸邊點C處，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則人工湖的深度BD為______．【答案】1.5米【分析】設人工湖的深度BD設為x米，則竹竿BC的長米，可以放到一個直角三角形中計算．此直角三角形的一條直角邊CD是0.8米，另一條直角邊是人工湖BD為x米，斜邊BC是竹竿的長米．根據勾股定理得，即可解答．【詳解】解：設人工湖的深度BD設為x米，則竹竿BC的長米，由題意得，，解之得：故答案為：1.5米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用．【變式34】如圖，牧童在河邊A處放牛，家在河邊B處，時近傍晚，牧童驅趕牛群先到河邊飲水，然后在天黑前趕回家，已知點A到河邊C的距離為500m，點B到河邊D的距離為700m，且CD＝500m．(1)請在圖中畫出牧童回家的最短路線；(2)求出牧童回家最短路線的長度．【答案】(1)見解析(2)牧童回家最短路線的長度為1300m【分析】(1)作A關于直線CD的對稱點A'，連接A'B交CD于P點，即為所求作的點；(2)最短路程即是A'B的距離，過A'作A'F⊥BD的延長線于F，根據勾股定理求得即可．（1）作A關于直線CD的對稱點A'，連接A'B交CD于P點，即為所求作的點．（2）由作圖可得最短路程為A'B的距離，過A'作A'F⊥BD的延長線于F，則DF=A'C=AC=500m，A'F=CD=500m，BF=700+500=1200m，根據勾股定理可得，A'B=(m)．【點睛】此題考查了線路最短的問題，確定動點為何位置是關鍵綜合運用勾股定理的知識．【考點四勾股定理的折疊問題】【例題4】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據折疊的性質可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵△ACD與△AED關于AD成軸對稱，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，，∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設CD＝DE＝x，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得，解得x＝3，即CD＝3，故選：B．【點睛】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，熟記性質并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．【變式41】如圖，在中，，按圖中所示方法將沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點處，那么線段AD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】首先根據勾股定理求出AB的長，然后利用折疊的性質求出AC′的長，在△AC′D中，設DC′=x，則AD=8x，根據勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．根據折疊的性質，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．∴AC′=106=4．在△AC′D中，設DC′=x，則AD=8x，根據勾股定理得．解得x=3．∴AD=8x=5．故選B．【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應邊、角相等．【變式42】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，如果按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點處，那么DC＝__________cm．【答案】5【分析】根據折疊是性質可知CD=，BC=，∠C=∠=90°，設DC=x，在△中，將三條邊都表示出來，用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=cm，∵△BCD沿BD折疊得到△，∴CD=，BC=，∠C=∠=90°，設CD=x，則=x，AD=ACCD=8x，=AB=106=4cm，在Rt△中，根據勾股定理得：，，解得：x=3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了折疊的性質以及勾股定理，熟練掌握折疊的性質，根據折疊得到對應邊和對應角之間的關系，并根據勾股定理列出方程求解是解題的關鍵．【變式43】如圖，在中，，，，是的中點，是上一動點，將沿折疊到，連接，當是直角三角形時，的長為___________．【答案】或5【分析】分兩種情況進行分類討論：①當時，求CE的長；②當時，求CE的長．【詳解】解：①如圖1，當時，，，，，是的中點，．②如圖2，當時，由折疊性質知，，三點共線．，在中，，設，，在中，，．綜上所述，CE的長為：5或．【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學會用分類討論的思想思考問題是解題的關鍵．【變式44】如圖，在長方形中，，，點為上一點，將沿折疊，使點落在長方形內點處，連接，且．(1)求證：．(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據勾股定理的逆定理即可得證；（2）先說明點D、E、F三點共線，再根據勾股定理即可求解．（1）證明：將沿折疊，使點落在長方形內點處，，，是直角三角形，；（2）解：由折疊的性質得：，，又，，點，，在一條直線上，四邊形是矩形，，，，設，則，，，在中，由勾股定理得：，即．解得：．．【點睛】本題考查了折疊問題、勾股定理及其逆定理、矩形的性質，解決本題的關鍵是勾股定理及其逆定理的運用．【考點五勾股定理的逆定理】【例題5】下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內角之比為 B．在中，C．三邊長的平方之比為 D．三邊長分別為a，b，c，且．【答案】A【分析】根據勾股定理逆定理和三角形內角和為180°進行判斷能否構成直角三角形即可．【詳解】A、由三內角之比為可得最大角為，不是直角三角形，故此選項合題意；B、由變形得，根據勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項不符合題意；C、由三邊長的平方之比為設三邊長的平方為可得，根據勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項不合題意；D、由1+2=3，可得，根據勾股定理逆定理可得是直角三角形，故此選項不合題意；故選：A．【點睛】本題考查勾股定理逆定理和三角形內角和定理，熟練應用知識點是解題的關鍵．【變式51】甲、乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是，甲客輪15min到達A，乙客輪用20min到達B點，若A、B兩點的直線距離為1000m，甲客輪沿北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向是（

）A．南偏西30° B．南偏東60° C．北偏西30°或南偏東30° D．南偏東60°或北偏西60°【答案】D【分析】首先根據速度和時間計算出行駛路程，再根據勾股定理逆定理結合路程可判斷出甲和乙兩艘輪船的行駛路線呈垂直關系，進而可得答案．【詳解】解：如圖：∵甲乙兩艘客輪同時離開港口，航行的速度都是每分鐘40m，甲客輪用15分鐘到達點A，乙客輪用20分鐘到達點B，∴甲客輪走了40×15=600（m），乙客輪走了40×20=800（m），∵A、B兩點的直線距離為1000m，∴6002+8002=10002，∴∠AOB=90°，∵甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，∴乙客輪的航行方向可能是南偏東60°，同理可得：乙客輪的航行方向也可能是北偏西60°．綜上所述：乙客輪的航行方向可能是南偏東60°或北偏西60°．故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．【變式52】如圖，在四邊形ABCD中，，，，．則的度數為_______．【答案】150°##150度【分析】連接BD，根據AB=AD=6，∠A=60°，得出△ABD是等邊三角形，求得BD=8，然后根據勾股定理的逆定理判斷三角形BDC是直角三角形，從而求得∠ADC=150°【詳解】解：連接BD，∵AB=AD=6，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=6，∠ADB=60°，∵BC=10，CD=8，則BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°故答案為：150°【點睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，關鍵是掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．【變式53】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交邊BC于點DE，E，F分別是AD，AC上的點，連接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，則CE＋EF的最小值是________．【答案】4.8##【分析】如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點C作CH⊥AB，垂足為H．因為EF+CE=EF′+EC，推出當C、E、F′共線，且點F′與H重合時，FE+EC的值最小．【詳解】解：如圖所示：在AB上取點，使，過點C作，垂足為H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴∴是直角三角形，且∴∴，∵，∴當C、E、共線，且點與H重合時，的值最小，最小值為4.8，故答案為：4.8．【點睛】本題主要考查的是軸對稱的性質、勾股定理逆定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學利用對稱，解決最短問題．【變式54】如圖所示，已知AD，AE分別是的高和中線，；試求：(1)的長；(2)的面積；(3)和的周長的差．【答案】(1)的長為(2)的面積是(3)和的周長的差是【分析】（1）由勾股定理逆定理可確定為直角三角形，且．再由等積法即可求出AD的長；（2）根據三角形中線的性質可求出，再根據三角形面積公式計算即可；（3）根據三角形中線的性質可得，即可求出．（1）∵，∴，∴為直角三角形，且．∵是邊上的高，∴，∴；（2）∵是的中線，∴，∴；（3）∵為邊上的中線，∴，∴，即和的周長的差是．【點睛】本題主要考查勾股定理逆定理，三角形中線的性質．確定出為直角三角形，且是解題關鍵．【考點六最短路徑問題】【例題6】如圖，長方體的高為，底面是正方形，邊長為，現有一蒼蠅從A點出發，沿長方體的表面到達C點處，則蒼蠅所經過的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意畫出長方體的側面展開圖，分兩種情況討論，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：第一種情況如圖所示，將長方體正面和右面展開，連接AC，顯然兩點之間線段最短，AC為點A到點C的最短距離，由勾股定理知：（cm）；第二種情況如圖所示，將長方體上面和右面展開，連接AC，顯然兩點之間線段最短，AC為點A到點C的最短距離，由勾股定理知：（cm）．，蒼蠅所經過的最短距離為5cm，故選：A．【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，勾股定理的應用，利用了兩點之間線段最短的性質，將長方體展開成平面圖，分類討論是解題的關鍵．【變式61】一只螞蟻從長為2cm，寬為1cm，高是4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【分析】先將圖形展開，再根據兩點之間線段最短，再由勾股定理求解即可．【詳解】解：將長方體展開，如圖1所示，連接A、B，根據兩點之間線段最短，AB=；如圖2所示，，如圖3所示，，∵，∴螞蟻所行的最短路線為5cm故選：C．【點睛】本題考查最短路徑問題，將長方體展開，根據兩點之間線段最短，運用勾股定理是解題的根據．注意有三種不同的展開方式．【變式62】如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是_____．【答案】25【分析】根據長方體的側面展開圖計算后比較即可．【詳解】按照正面和右側進行展開，如圖所示：根據題意，得BE=AD=20，AE=BC+CD=15，所以AB==25；按照上面和右側進行展開，如圖所示：根據題意，得AD=10，BD=BC+CD=25，所以AB=故最小值為25；故答案為：25．【點睛】本題考查了長方體的側面展開圖，熟練掌握展開圖的意義是解題的關鍵．【變式63】如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米．在圓柱的底面A點處有一只小螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的C點處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是_______．（取3）【答案】15厘米##【分析】要想求得最短路程，首先要把和展開到一個平面內．根據兩點之間線段最短、勾股定理求出螞蟻爬行的最短路程即可．【詳解】解：如圖，展開圓柱的半個側面是矩形，則即為最短路程（兩點之間線段最短）．由題意可知，這個矩形中，等于圓柱的底面周長的一半，即為厘米，等于圓柱的高，即為12厘米，則（厘米），即沿圓柱側面爬行的最短路程是15厘米，故答案為：15厘米．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，求兩個不在同一平面內的兩個點之間的最短距離時，一定要展開到一個平面內是解題關鍵．【變式64】如圖，長方體的透明玻璃魚缸，假設其長，高，水深為，在水面上緊貼內壁處有一魚餌，在水面線上，且；一小蟲想從魚缸外的點沿壁爬進魚缸內處吃魚餌，求小動物爬行的最短距離．（魚缸厚度忽略不計）【答案】100cm【分析】本題我們首先需要將立體圖形轉化為幾何圖形，然后利用勾股定理進行求解.【詳解】解：如圖所示作點關于的對稱點，連接交與點，小蟲沿著的路線爬行時路程最短．在直角△中，，，．最短路線長為．【點睛】本題主要考查的就是勾股定理在實際問題中的應用.在立體圖形中求兩點之間的最短距離的時候我們一般首先將幾何圖形進行展開，轉化成直角三角形來進行求解.本題中一個在外面，另一個在里面，我們需要通過翻折將里面的轉化成一個平面，然后進行求解.這種問題，在矩形的時候一定要特別注意展開圖的不同方法，從而得出不同的直角三角形，然后得出最短距離.【考點七勾股定理的其他應用】【例題7】如圖是一個長為12cm，寬為5cm，高為8cm的長方體，一只蜘蛛從一條側棱的中點A沿著長方體表面爬行到頂點B去捕捉螞蟻，此時蜘蛛爬行的最短距離是（

）A．13cm B．15cm C．21cm D．25cm【答案】B【分析】先將長方體沿CF、FG、GD剪開，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個平面內，連接AB；或將長方體沿CD、CF、FG剪開，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個平面內，連接AB；或將長方體沿CD、DB、BE剪開，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個平面內，連接AB，然后分別在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】將長方體沿CF、FG、GD剪開，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一個平面內，如圖1：，．∴在Rt△ABE中，將長方體沿CD、CF、FG剪開，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一個平面內，如圖2：，∴在Rt△ABC中，將長方體沿CD、DB、BE剪開，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一個平面內，如圖3：，∴在Rt△ABD中，∵∴蜘蛛爬行的最短距離是15cm．故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在最短路徑問題中的應用，利用了轉化思想，解題的關鍵是將立體圖形展為平面圖形并利用勾股定理的知識求解．【變式71】放學后，貝貝和京京從學校分手，分別沿西南方向和東南方向回家，已知兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，那么貝貝家與京京家的距離是（

）A．600m B．800m C．1000m D．無法計算【答案】C【分析】兩人的方向分別是東南方向和西南方向，因而兩人的家所在點與學校的連線正好互相垂直，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：∵兩人行走的速度都是40m/min．貝貝用15min到家，京京用20min到家，∴OB＝40×20＝800（m），OA＝40×15＝600（m），在直角△OAB中，AB＝＝1000（m），故選：C．【點睛】此題主要考查勾股定理的應用，正確畫出圖形是解題關鍵．【變式72】如圖，將長為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動2m，則梯子底端B向左滑動________m．【答案】2【分析】根據題意畫出圖形，根據題意兩次運用勾股定理即可解答．【詳解】如圖所示：題意可得，AC＝6m，AB＝10m，則BC＝＝＝8（m），A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，故B′C＝＝＝6（m），則梯子底端B向左滑動：BC﹣B′C＝8﹣6＝2（m）．故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中根據梯子長不會變的等量關系求解是解題的關鍵．【變式73】如圖，有兩條公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向離兩條公路的交叉處O點80米的A處有一所希望小學，當拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50米內會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學帶來噪音影響的時間是_____秒．【答案】18【分析】過點A作AC⊥ON，求出AC的長，第一臺到B點時開始對學校有噪音影響，第一臺到C點時，第二臺到B點也開始有影響，第一臺到D點，第二臺到C點，直到第二臺到D點噪音才消失．【詳解】如圖，過點A作AC⊥ON于N，∵∠MON＝30°，OA＝80米，∴AC＝40米，當第一臺拖拉機到B點時對學校產生噪音影響，此時AB＝50米，由勾股定理得：（米），第一臺拖拉機到D點時噪音消失，所以CD＝30米，由于兩臺拖拉機相距30米，則第一臺到D點時第二臺在C點，還須前行30米后才對學校沒有噪音影響．所以影響時間應是：90÷5＝18（秒）．答：這兩臺拖拉機沿ON方向行駛給小學帶來噪音影響的時間是18秒．故答案為：18．【點睛】本題考查勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式74】“交通管理條例第三十五條”規定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小時，小汽車超速了【分析】（1）過點作，可得米，設汽車經過6秒后到達點，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時間，即可判斷．（1）解：過點作，設汽車經過6秒后到達點，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時），，小汽車超速了．【點睛】本題主要考查勾股定理的應用，解答的關鍵是理解清楚題意，作出相應的圖形．【亮點訓練】1．下面幾組數：①，，；②，，；③，，（均為正整數，）；④，，．其中能組成直角三角形三邊長的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．③④【答案】B【分析】判斷一組數能否成為直角三角形的三邊長，就是看是不是滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．【詳解】解：①∵，∴不能成為直角三角形的三邊長；②∵，∴能成為直角三角形的三邊長；③∵===∴能成為直角三角形的三邊長．④∵=≠∴不能成為直角三角形的三邊長；∴②③正確．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應用，在應用時應該是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．2．三個正方形的面積如圖，正方形A的邊長為（

）A．8 B．36 C．64 D．6【答案】D【分析】設正方形A的邊長為，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：設正方形A的邊長為，根據圖形可知．解得（負值舍去）故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．3．直角三角形有一條直角邊的長是11，另外兩邊的長都是自然數，那么它的周長是（

）A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不對【答案】A【分析】設另外兩邊是a、b，根據勾股定理變形，即可解答．【詳解】解：設另外兩邊是a、b（a＞b）則根據勾股定理，得：121∵另外兩邊的長都是自然數∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1即另外兩邊的和是121，故三角形的周長是132．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，根據另外兩邊的長都是自然數，熟練進行因式分解和因數分解是解題的關鍵．4．如圖，在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠處有一棵大樹．在一次強風中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米．出門在外的張大爺擔心自己的房子被倒下的大樹砸到．大樹倒下時能砸到張大爺的房子嗎？請你通過計算、分析后給出正確的回答（

）A．一定不會 B．可能會 C．一定會 D．以上答案都不對【答案】A【分析】利用勾股定理求出BC，即可判斷．【詳解】解：如圖，AB=10米，AC=6米，在Rt△ABC中，=8米，∵8<9，∴大樹倒下時不能砸到張大爺的房子，故選：A．【點睛】此題考查了勾股定理的實際應用，善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．5．如圖，在中，，的平分線交于點D，點E，F分別是上的動點，則AE+EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．6【答案】B【分析】過點A作于H，在BC上截取，則的最小值是的長．【詳解】解：過A作于H，在BC上截取，∵的平分線交于點D，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴的最小值是的長．∵，∴，∴，∴，∴．∴AE+EF的最小值為4.8．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及角平分線的定義，正確作出輔助線是解題關鍵．6．如圖是“趙爽弦圖”，由個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據即可求解．【詳解】解：因為大正方形的面積是，小正方形的面積是，所以一個小三角形的面積是，三角形的斜邊為，所以，，所以，所以．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據圖形的關系求得和ab的值是關鍵．7．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示“垂美”四邊形，對角線交于點，若，則______．【答案】136【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據勾股定理得，，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據勾股定理得，，進一步得，最后求得．【詳解】解：，，在Rt△BOC和Rt△AOD中，根據勾股定理得，，在Rt△AOB和Rt△COD中，根據勾股定理得，，，，；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵．8．如圖，七個正方形如此排列，相鄰兩個正方形都有公共頂點，數字字母代表各自正方形面積．則_______．【答案】4【分析】運用全等三角形的判定與性質、勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據此即可解答．【詳解】解：如圖，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵，∴，即，同理．則．故答案為：4．【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質、勾股定理．發現兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積是解決問題的關鍵．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直線AC上一點，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點C落在直線DE上的點H處，CP的長是_____．【答案】或【分析】分兩種情況：當P點在E點左邊時；當P點在E點右邊時．分別畫出圖形，利用折疊性質和勾股定理解答即可．【詳解】解：當P點在E點左邊時，如圖1，由折疊性質得PC＝PH，DC＝DH，∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，∴BC＝10，∵CD＝BC，∴，∵DE⊥AC，DE＝2∴，∴DH＝CD＝，∴EH＝ED+DH＝2+＝，設PC＝x，則PH＝x，PE＝x，∵，∴，解得，x＝，即CP＝；當P點在E點右邊時，如圖2，由折疊知，DH＝DC＝，∴EH＝DH﹣DE＝，設PC＝a，則PE＝CEPC＝a，PH＝a，∵，∴，解得，a＝，即PC＝；綜上，PC＝或．故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊的性質、勾股定理等知識，注意分類討論的思想是解答本題的關鍵．10．動手操作：如圖，在中，，，，點為邊上一動點，交于點，將沿直線折疊，點A的對應點為F，當是直角三角形時，的長為______．【答案】3或5##5或3【分析】分，兩種情況討論，由勾股定理和折疊的性質可求解．【詳解】解：當時，將沿直線折疊，點A的對應點為F，，，，，，，，，在中，．，，當時，點與點重合時，，，，，故答案為：或．【點睛】本題考查了折疊問題與勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．11．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長．(2)求斜邊邊上的高．【答案】(1)(2)斜邊AB邊上的高是4.8【分析】（1）根據在中，是邊上的高，，，可以計算出的長，然后根據勾股定理即可得到的長；（2）根據等面積法，可以求得斜邊邊上的高．（1）解：（1）∵在中，是邊上的高，，，∴，即，解得，∵在中，，，∴；（2）解：作于點F，∵，，∴，解得，即斜邊AB邊上的高是4.8．【點睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．12．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，點P從B點出發沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向左運動．設點P的運動時間為t．連接AP．(1)當t＝4.5秒時，求；(2)當△ABP為等腰三角形時，求t的值．【答案】(1)34(2)6.5秒或12秒或秒【分析】（1）由t＝4.5秒計算出BP，再用勾股定理計算即可；（2）分BP＝AB，AP＝AB，PA＝PB三種情況討論即可．（1）解：（1）由題意得：BP＝2t，∴當t＝4.5秒時，BP＝2×4.5＝9，∵BC＝12，∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，∵∠ACP＝90°，∴由勾股定理得：；（2）（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴，∴，①當BP＝AB＝13=2t時，t＝13÷2＝6.5秒；②當AP＝AB時，△ABP是等腰三角形，∵∠ACB＝90°，∴C是BP的中點，（三線合一）∴BP＝2BC＝24，則t＝24÷2＝12秒；③當PA＝PB＝2t時，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，，即解得：t＝秒；綜上，當△ABP為等腰三角形時，t＝6.5秒或12秒或秒．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的存在性問題，等腰三角形的性質，根據題意分類討論和用勾股定理列方程是解題的關鍵．13．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．(1)當t＝2秒時，求的長；(2)求出發時間為幾秒時，△PQB是等