上海市普通高中2025屆高二數學第一學期期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若，，則實數的取值范圍是A. B.C. D.2．若直線l與橢圓交于點A、B,線段的中點為,則直線l的方程為()A. B.C. D.3．已知，則的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.204．某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價為15元，箱壁每1m2造價為12元，則箱子的最低總造價為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元5．如圖，在四面體中，，，，點為的中點，，則（）A. B.C. D.6．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區域的面積為（）A. B.C. D.7．已知函數，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.8．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知，，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.10．函數在上的最大值是A. B.C. D.11．在等比數列中，若，，則（）A. B.C. D.12．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，三點共線，則m的值為___________.14．已知數列{}的前n項和為，則該數列的通項公式__________.15．如果點在運動過程中，總滿足關系式，記滿足此條件的點M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______16．已知數列滿足，，則_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為（1）若，，求數列的前n項和；（2）若，，成等差數列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數m，n，p，使得，，成等差數列；（3）若存在正整數，使得數列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數列是等差數列，求所有數對所構成的集合，18．（12分）設曲線在點（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當，求a的取值范圍.19．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數量．現研究紅鈴蟲的產卵數和溫度的關系，收集到7組溫度和產卵數的觀測數據于表Ⅰ中．根據繪制的散點圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個來進行擬合表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產卵數y/個711212465114325（1）請借助表Ⅱ中的數據，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時的殘差；（3）若求得回歸模型①的相關指數，回歸模型②的相關指數，請結合（2）說明哪個模型的擬合效果更好參考數據：.附：回歸方程中，相關指數.20．（12分）已知（1）討論函數的單調性；（2）若函數在上有1個零點，求實數a的取值范圍21．（12分）已知橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于A、B兩點，求.22．（10分）已知橢圓左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】函數，若，，可得，解得或，則實數的取值范圍是，故選A.2、A【解析】用點差法即可獲解【詳解】設.則兩式相減得即因為,線段AB的中點為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A3、A【解析】利用基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，故選：A4、D【解析】設這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設箱子總造價為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價【詳解】設這個箱子的箱底的長為xm，則寬為m，設箱子總造價為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當且僅當x，即x＝4時，f（x）取最小值816元故選：D5、B【解析】利用插點的方法，將歸結到題目中基向量中去，注意中線向量的運用.【詳解】.故選：B.6、D【解析】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.【詳解】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區域的面積為.故選：D7、B【解析】根據導數的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B8、D【解析】根據橢圓定義及正三角形的性質可得到\，再在中運用余弦定理得到、的關系，進而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因為正三角形，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.9、A【解析】根據對數函數的單調性，以及根式的運算，確定的大小關系，則問題得解.【詳解】因為，即；又，故.故選：A.10、D【解析】求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可，結合函數的單調性求出的最大值即可【詳解】函數的導數令可得，可得上單調遞增，在單調遞減，函數在上的最大值是故選D【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，是一道中檔題11、D【解析】由等比數列的性質得，化簡，代入數值求解.【詳解】因為數列是等比數列，所以，由題意，所以.故選：D12、A【解析】本題考查極坐標與直角坐標互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據三點共線與斜率的關系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：14、2n+1【解析】由計算，再計算可得結論【詳解】由題意時，，又適合上式，所以故答案為：【點睛】本題考查由求通項公式，解題根據是，但要注意此式不含，15、8【解析】根據橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結合橢圓定義可知當直線x=m過右焦點時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點，的距離和等于常數，點軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點，因為直線與C交于D，E，則，不妨設D在軸上方，E在軸下方，設橢圓右焦點為A'，連接DA'，EA'，因為DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當時取得最大值8，故答案為：816、【解析】由題設可得，應用累加法有，結合已知即可求.【詳解】由題設，，所以，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數列為首項為公差為的等差數列，利用等差數列的求和公式即可得出結果；（2），，成等差數列，則+=2，根據等比數列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，解方程組可得無解，則所有數對所構成的集合為.【小問1詳解】，，數列是公比為q的等比數列，，數列為，數列為首項為公差為的等差數列，數列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數列，+=2，當時,+=,2,不符題意舍去，當時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數，使得，，成等差數列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數對所構成的集合為.18、（1）（2）證明見解析（3）【解析】（1）求導，根據導數的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結論，構造函數，求求導數，判斷單調性，求出最小值即可證明；（3）根據條件構造函數，求出其導數，分類討論導數的值的情況，根據單調性，判斷函數的最小值情況，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知：，因為曲線在點（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問3詳解】當，即，（），設，（），則，當時，由得，此時，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時，此時在時單調遞增，，適合題意；當時，，此時在內，，在內，，故，顯然時，，不滿足當恒成立，綜上述：.19、（1）（或）（2）模型①：1.54；模型②：65.54（3）模型①【解析】（1）利用兩邊取自然對數，利用表中的數據即可求解；（2）分別計算模型①、②在時殘差；（3）根據相關指數的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個模型的擬合效果更好.【小問1詳解】由，得，令，得，由表Ⅱ數據可得，，，所以，所以回歸方程為（或）.【小問2詳解】由題意可知，模型①在時殘差為，模型②在時殘差為.【小問3詳解】因為，即模型①的相關指數大于模型②的相關指數，由相關指數公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數據更接近真實數據，所以模型①的擬合效果更好.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】(1)對函數求導，按a值的正負分析討論導數值的符號計算作答.(2)求出函數的解析式并求導，再按在值的正負分段討論推理作答.【小問1詳解】函數的定義域為R，求導得：當時，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，當時，令，得，若，即時，，則有在R上單調遞增，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調遞增，在上單調遞減，若，即時，當或時，，當時，，則有在，上都單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，上單調遞減，在上單調遞增，當時，在，上都單調遞增，在上單調遞減，當時，在R上單調遞增，當時，在，上都單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】依題意，，，當時，，當時，，，則函數在上單調遞增，有，無零點，當時，，，函數在上單調遞減，，無零點，當時，，使得，而在上單調遞增，當時，，當時，，因此，在上單調遞增，在上單調遞減，又，若，即時，無零點，若，即時，有一個零點，綜上可知，當時，在有1個零點，所以實數a的取值范圍.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性、最值等，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意得，，再結合即可求得答案.（2）設，，直接聯立方程得，再結合韋達定理，利用弦長公式和點到線的距離公式得，點M到直線的距離，進而可得.【詳解】解：（1）由題意得，，結合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經驗證.設，.所以，，故因為點M到直線的距離，所以.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，橢圓的方程，弦長公式等，考查運算能力，是基礎題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消元，寫韋達；根據條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動