2025屆河北省遷西一中高二上數學期末統考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別是等差數列的前項和，且，則（）A. B.C. D.2．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題3．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數m的取值范圍為（）A. B.C. D.且4．若實數滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．某企業甲車間有200人，乙車間有300人，現用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數應為（）A.5 B.10C.8 D.96．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.47．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.8．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中是正三角形，平面，，則該球的表面積為（）A. B.C. D.9．已知直線，若異面，，則的位置關系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面10．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．某地區高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.12．曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實數_____.14．若橢圓的一個焦點為，則p的值為______15．已知點為雙曲線的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點．若，則______16．已知為拋物線的焦點，為拋物線上的任意一點，點，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設等差數列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和18．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，當時，恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點.（1）若直線l的方程為，求線段AB的長；（2）若直線l經過點P(-1，0)，點A關于x軸的對稱點為A'，求證：A'、F、B三點共線.20．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間；21．（12分）2021年11月初某市出現新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學”的行動，老師們立即開展了線上教學．某中學為了解教學效果，于11月30日復課第一天安排了測試，數學教師為了調查高二年級學生這次測試的數學成績與每天在線學習數學的時長之間的相關關系，對在校高二學生隨機抽取45名進行調查，了解到其中有25人每天在線學習數學的時長不超過1小時，并得到如下的統計圖：（1）根據統計圖填寫下面列聯表，是否有95%的把握認為“高二學生的這次摸底考試數學成績與其每天在線學習數學的時長有關”；數學成績不超過120分數學成績超過120分總計每天在線學習數學的時長不超過1小時25每天在線學習數學的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數學成績超過120分的學生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學中隨機抽取2名，求這兩名同學中至多有一名每天在線學習數學的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用及等差數列的性質進行求解.【詳解】分別是等差數列的前項和，故，且，故，故選：D2、D【解析】因為非p為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.3、A【解析】根據雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關不等式.【詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：4、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區域，觀察圖形即可得解.【詳解】因實數滿足，作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B5、B【解析】根據分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數為人故選：B6、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設出直線方程并與拋物線方程聯立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準線方程為，所以根據拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關性質，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關性質，考查了計算能力，是中檔題7、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.8、C【解析】由題意畫出幾何體的圖形，把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，由此能求出球的表面積【詳解】把、、、擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與的距離為球的半徑，，，是正三角形，，，球的表面積為故選：C9、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關系是相交或異面.故選：D10、C【解析】設出雙曲線方程，根據題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、D【解析】利用抽樣的性質求解【詳解】所有學生數為，所以所求概率為.故選：D12、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關系，即可求出結果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14、3【解析】利用橢圓標準方程概念求解【詳解】因為焦點為，所以焦點在y軸上，所以故答案：315、7【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據雙曲線的定義可求解.【詳解】由雙曲線的對稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：16、【解析】由拋物線的幾何性質知：，由圖知為的最小值，求長度即可.【詳解】點是拋物線的焦點，其準線方程為，作于，作于，∴，當且僅當為與拋物線的交點時取得等號，∴的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據等差數列前n項和求和公式求出首項和公差，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，再令得出數列的正數項和負數項，進而結合等差數列求和公式求得答案.【小問1詳解】設等差數列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當；當，當，時，，當時，.綜上：.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，構造函數，其中，利用導數求出函數在上的最小值，由此可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】解：函數的定義域為，.因為，由，可得.①當時，由可得，由可得.此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；②當時，由可得，由可得，此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，函數單調遞減區間為，單調遞增區間為【小問2詳解】解：當且時，由，可得，令，其中，.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，.19、（1）8；（2）證明見解析.【解析】（1）聯立直線與拋物線方程，應用韋達定理及弦長公式求線段AB的長；（2）設為，聯立拋物線由韋達定理可得，，應用兩點式判斷是否為0即可證結論.【小問1詳解】由題設，聯立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問2詳解】由題設，，又直線l經過點P(-1,0)，此時直線斜率必存在且不為0，可設為，聯立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點共線.20、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據導函數的正負得到函數的單調區間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；②當時，在上恒成立，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；③當時，若和時，；若時，；的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；綜上所述：當時，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為；當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數討論含參數函數的單調區間的問題，屬于常考題型.21、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據統計圖計算填表即可；（2）根據古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據統計圖可得：每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績超過120分的有人，可得列聯表如下：數學成績不超過120分數學成績超過120分總計每天在線學習數學的時長不超過1小時151025每天在線學習數學的時長超過1小時51520總計202545根據列聯表中的數據，所以有95%的把握認為“高二學生的這次摸底考試數學成績與其每天在線學習數學的時長有關”【小問2詳解】由列聯表可得，被抽查學生中這次數學成績超過120分的有25人，其中每天在線學習數學的時長不超過1小時的有10人，每天在線學習數學的時長超過1小時的有15人，人數比為2∶3，按分層抽樣每天在線學習數學的時長不超過1小時的抽2人，記為：1，2；每天在線學習數學的時長超過1小時的抽3人，記為：a，b，c.所有可能結果如下：，共計10種．設事件A為“兩名同學中至多有一名每天在線學習數學時長超過一小