重難點03新定義類型問題新定義類問題是今年倆新出現的一類問題，也逐漸在成為中考數學的一個熱點考題，又因為其出題形式比較新穎，通常不會單獨考察，而是要結合初中數學中某個知識點進行命題，進而考察學生對這個結合知識點的掌握情況和遷移能力，所以難度也在逐漸上升。題目類型上，多數為選擇題，個別為填空題，但是，當新定義問題出成解答題時，一般和函數、幾何綜合等結合，難度就會變的很難，需要考生綜合考慮的點比較多，考生在復習這類問題時，一定要注意讀懂“新定義”中蘊含的意義，以及可能具有的性質等。讀懂題目，理解定義，確定結合考點如：定義新運算時，常常會給一個新的“計算公式”，審題中，一定要理解對公式，還有注意公式伴隨的計算是什么類型的，如是一元一次方程，還是分式方程等。首先確定與之結合的考點類型。多注意新定義問題中與之結合的初中考點的應用當確定新定義結合的考點之后，就需要對結合的考點的性質做一個調取，再根據題目中的要求，選擇結合考點不同的性質來做題。熟練掌握和運用初中數學中常用的思想方法當新定義類問題比較綜合時，可能不是簡單的讀懂題目就可以完成解題的，題目綜合性較強時，需要同步應用如：分類討論、整體思想、轉化思想、類比思想等來分析問題。新定義問題常考察熱點有：定義新運算，定義初高中知識點銜接“新知識”，定義新概念，新定義與函數結合，新定義與幾何圖形結合，新定義綜合問題等A卷（建議用時：50分鐘）1．（2021?永州·中考真題）定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結果為（）A．5 B．2 C．1 D．0【分析】根據題意，按照題目的運算法則計算即可．【解答】解：∵101＝10，∴lg10＝1，∴原式＝（lg2）2+lg2?lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2×lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1．故選：C．2．（2021?達州·中考真題）生活中常用的十進制是用0~9這十個數字來表示數，滿十進一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用0~F來表示0~15，滿十六進一，它與十進制對應的數如表：十進制012…891011121314151617…十六進制012…89ABCDEF1011…例：十六進制2B對應十進制的數為2×16+11＝43，10C對應十進制的數為1×16×16+0×16+12＝268，那么十六進制中14E對應十進制的數為（）A．28 B．62 C．238 D．334【分析】根據題干十六進制與十進制的運算方法求解．【解答】解：由題意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故選：D．3．（2021?南京·中考真題）一般地，如果xn＝a（n為正整數，且n＞1），那么x叫做a的n次方根．下列結論中正確的是（）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而增大【分析】根據n次方根的定義判定即可．【解答】解：A、∵（±2）4＝16，∴16的4次方根是±2，故A不正確；B、32的5次方根是2，故B不正確；C、設x＝，y＝，則x15＝25＝32，y15＝23＝8，∵x15＞y15且x＞1，y＞1，∴x＞y，∴當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小，故C選項正確；D、當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小，故D不選項正確；故選：C．4．（2021?呼和浩特·中考真題）若把第n個位置上的數記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數為一個數列A．定義數列A的“伴生數列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數列中第n個位置上的數，n＝1，2，…，k且yn＝并規定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數列A只有四個數，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數列”B是．【分析】根據“伴生數列”的定義取n＝4，依次求出x0，x1，......x5，再求出對應的yn即可．【解答】解：x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，∵x1≠x3，∴y2＝1，∵x2＝x4，∴y3＝0，∵x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．5．（2021?嘉峪關·中考真題）對于任意的有理數a，b，如果滿足+＝，那么我們稱這一對數a，b為“相隨數對”，記為（a，b）．若（m，n）是“相隨數對”，則3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【分析】根據（m，n）是“相隨數對”得出9m+4n＝0，再將原式化成9m+4n﹣2，最后整體代入求值即可．【解答】解：∵（m，n）是“相隨數對”，∴+＝，∴＝，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，故選：A．6．（2021?樂山·中考真題）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經》中有關于正方形的分割術，經歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（）A．3 B． C．2 D．【分析】分別求出陰影部分平行四邊形，三角形的面積可得結論．【解答】解：由題意，如圖2中，陰影部分的平行四邊形的面積＝2×1＝2，陰影部分的三角形的面積＝×2×1＝1，∴陰影部分的面積＝2+1＝3，故選：A．7．（2021?包頭·中考真題）定義新運算“?”，規定：a?b＝a﹣2b．若關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，則m的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】根據定義新運算的法則得出不等式，解不等式；根據解集列方程即可．【解答】解∵a?b＝a﹣2b，∴x?m＝x﹣2m．∵x?m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵關于x的不等式x?m＞3的解集為x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝﹣2．故選：B．8．（2021?遵義·中考真題）數經歷了從自然數到有理數，到實數，再到復數的發展過程，數學中把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，用z＝a+bi表示，任何一個復數z＝a+bi在平面直角坐標系中都可以用有序數對Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示為Z（1，2），則z＝2﹣i可表示為（）A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．Z（﹣1，2）【分析】根據題中的新定義解答即可．【解答】解：由題意，得z＝2﹣i可表示為Z（2，﹣1）．故選：B．9．（2021?杭州·中考真題）已知y1和y2均是以x為自變量的函數，當x＝m時，函數值分別是M1和M2，若存在實數m，使得M1+M2＝0，則稱函數y1和y2具有性質P．以下函數y1和y2具有性質P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根據題干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，則具有性質P，若無解，則不具有性質P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函數y1和y2具有性質P，符合題意；B．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數y1和y2不具有性質P，不符合題意；C．令y1+y2＝0，則﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數y1和y2不具有性質P，不符合題意；D．令y1+y2＝0，則﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程無解，即函數y1和y2不具有性質P，不符合題意；故選：A．10．（2021?岳陽·中考真題）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數的二次函數稱為“互異二次函數”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（）A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1【分析】畫出圖象，從圖象可以看出，當函數圖象從左上向右下運動時，當跟正方形有交點時，先經過點A，再逐漸經過點O，點B，點C，最后再經過點B，且在運動的過程中，兩次經過點A，兩次經過點O，點B和點C，只需算出當函數經過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．【解答】解：如圖，由題意可得，互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m的頂點（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當函數圖象從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經過點A，再逐漸經過點O，點B，點C，最后再經過點B，且在運動的過程中，兩次經過點A，兩次經過點O，點B和點C，∴只需算出當函數經過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．當互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m經過點A（0，2）時，m＝2或m＝﹣1；當互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m經過點B（2，2）時，m＝或m＝．∴互異二次函數y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是，﹣1．故選：D．11．（2021?濟南·中考真題）新定義：在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′＝n﹣4；m＜0時，n′＝﹣n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（﹣2，3）的限變點是P2′（﹣2，﹣3）．若點P（m，n）在二次函數y＝﹣x2+4x+2的圖象上，則當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3【分析】根據新定義得到當m≥0時，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3時，得到﹣2≤n′≤2；當m＜0時，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0時，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3．【解答】解：由題意可知，當m≥0時，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴當0≤m≤3時，﹣2≤n′≤2，當m＜0時，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴當﹣1≤m＜0時，﹣2＜n′≤3，綜上，當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3，故選：D．12．（2021?廣東·中考真題）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C．2 D．5【分析】根據公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，當b＝3時，S有最大值為＝2．故選：C．13．（2021?重慶·中考真題）如果一個自然數M的個位數字不為0，且能分解成A×B，其中A與B都是兩位數，A與B的十位數字相同，個位數字之和為10，則稱數M為“合和數”，并把數M分解成M＝A×B的過程，稱為“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位數字相同，個位數字之和為10，∴609是“合和數”．又如∵234＝18×13，18和13的十位數字相同，但個位數字之和不等于10，∴234不是“合和數”．（1）判斷168，621是否是“合和數”？并說明理由；（2）把一個四位“合和數”M進行“合分解”，即M＝A×B．A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之和的和記為P（M）；A的各個數位數字之和與B的各個數位數字之和的差的絕對值記為Q（M）．令G（M）＝，當G（M）能被4整除時，求出所有滿足條件的M．【分析】（1）根據“合和數”的定義直接判定即可；（2）設A的十位數字為m，個位數字為n，則A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，當G（M）能被4整除時，設值為4k，對m+5＝8或12進行討論．【解答】解：（1）∵168＝12×14，∵12和14十位數字相同，但個位數字2+4≠10，∴168不是“合和數”．∵621＝23×27，23和27十位數字相同，且個位數字3+7＝10，∴621是“合和數”．（2）設A的十位數字為m，個位數字為n，∵M的個位數字不為0，且M是一個四位“和合數”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，則A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整數）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整數，∴m+5＝8或m+5＝12，①當m+5＝8時，或，∴當m＝3時，n＝6或4，當m＝3時，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，②當m+5＝12時，或，∴當m＝7時，n＝6或4，當m＝7時，n＝8或2，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．綜上，滿足條件的M有：1224，1221，5624，5616．14．（2021?長沙·中考真題）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于y軸對稱，則把該函數稱之為“T函數”，其圖象上關于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”．根據該約定，完成下列各題．（1）若點A（1，r）與點B（s，4）是關于x的“T函數”y＝的圖象上的一對“T點”，則r＝，s＝，t＝（將正確答案填在相應的橫線上）；（2）關于x的函數y＝kx+p（k，p是常數）是“T函數”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”如果不是，請說明理由；（3）若關于x的“T函數”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數）經過坐標原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，當x1，x2滿足（1﹣x1）﹣1+x2＝1時，直線l是否總經過某一定點？若經過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．【分析】（1）由A，B關于y軸對稱求出r，s，由“T函數”的定義求出t；（2）分k＝0和k≠0兩種情況考慮即可；（3）先根據過原點得出c＝0，再由“T函數”得出b的值，確定二次函數解析式后，和直線聯立求出交點的橫坐標，寫出l的解析式，確定經過的定點即可．【解答】解：（1）∵A，B關于y軸對稱，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐標為（1，4），把A（1，4）代入是關于x的“T函數”中，得：t＝4，故答案為r＝4，s＝﹣1，t＝4；（2）當k＝0時，有y＝p，此時存在關于y軸對稱的點，∴y＝kx+p是“T函數”，且有無數對“T”點，當k≠0時，不存在關于y軸對稱的點，∴y＝kx+p不是“T函數”；（3）∵y＝ax2+bx+c過原點，∴c＝0，∵y＝ax2+bx+c是“T函數”，∴b＝0，∴y＝ax2，聯立直線l和拋物線得：，即：ax2﹣mx﹣n＝0，，，又∵，化簡得：x1+x2＝x1x2，∴，即m＝﹣n，∴y＝mx+n＝mx﹣m，當x＝1時，y＝0，∴直線l必過定點（1，0）．15．（2021?北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分別是B，C的對應點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”．（1）如圖，點A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的橫、縱坐標都是整數．在線段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以點A為中心的“關聯線段”是；（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應的BC長．【分析】（1）利用旋轉的性質以及點A到圓上一點距離的范圍，結合圖形判斷，即可求出答案．（2）利用旋轉的性質，“關聯線段”的定義以及等邊三角形的性質，求出B′C′的位置，從而求出t的值．（3）利用旋轉的性質以及“關聯線段”的定義，可知四邊形AB′OC′的各邊長，利用四邊形的不穩定性，畫出OA最小和最大時的圖形，利用等腰三角形的性質以及勾股定理求出答案．【解答】解：（1）由旋轉的性質可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，由圖可知點A到圓上一點的距離d的范圍為﹣1≤d≤+1，∵AC1＝3＞d，∴點C1′不可能在圓上，∴B1C1不是⊙O的以A為中心的“關聯線段”，∵AC2＝1，AB2＝，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A為中心的“關聯線段”，∵AC3＝2，AB3＝，當B3′在圓上時，B3′（1，0）或（0，﹣1），由圖可知此時C3′不在圓上，∴B3C3不是⊙O的以A為中心的“關聯線段”．故答案為：B2C2．（2）∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，根據旋轉的性質可知△AB′C′也是邊長為1的等邊三角形，∵A（0，t），∴B′C′⊥y軸，且B′C′＝1，∴AO為B′C′邊上的高的2倍，且此高的長為，∴t＝或﹣．（3）OA的最小值為1時，此時BC的長為，OA的最大值為2，此時BC的長為．理由：由旋轉的性質和“關聯線段”的定義，可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如圖1，利用四邊形的不穩定性可知，當A，O，C′在同一直線上時，OA最小，最小值為1，如圖2，此時OA＝OB′＝OC′，∴∠AB′C＝90°，∴B′C′＝＝＝．當A，B′，O在同一直線上時，OA最大，如圖3，此時OA＝2，過點A作AE⊥OC′于E，過點C′作C′F⊥OA于F．∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，∴OE＝EC′＝，∴AE＝＝＝，∵S△AOC′＝?AO?C′F＝?OC′?AE，∴C′F＝，∴OF＝＝＝，∴FB′＝OB′﹣OF＝，∴B′C′＝＝＝．綜上OA的最小值為1，此時BC的長為，OA的最大值為2，此時BC的長為．B卷（建議用時：50分鐘）1．（2021?日照·中考真題）數學上有很多著名的猜想，“奇偶歸一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發現，對于任意一個小于7×1011的正整數，如果是奇數，則乘3加1；如果是偶數，則除以2，得到的結果再按照上述規則重復處理，最終總能夠得到1．對任意正整數m，按照上述規則，恰好實施5次運算結果為1的m所有可能取值的個數為（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】利用第5次運算結果為1出發，按照規則，逆向逐項計算即可求出m的所有可能的取值．【解答】解：如果實施5次運算結果為1，則變換中的第6項一定是1，則變換中的第5項一定是2，則變換中的第4項一定是4，則變換中的第3項可能是1，也可能是8．此處第3項若是1，則計算結束，所以1不符合條件，第三項只能是8．則變換中的第2項只能是16．第1項是32或5，則m的所有可能取值為32或5，一共2個，故選：D．2．（2021?江西·中考真題）如圖在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，請你根據楊輝三角的規律補全表第四行空缺的數字是．【分析】根據表中的數據和數據的變化特點，可以發現：每一行中間的數字都等于這個數字上一行左上角和右上角的數字之和，然后即可寫出第四行空缺的數字．【解答】解：由表可知，每一行中間的數字都等于這個數字上一行左上角和右上角的數字之和，故第四行空缺的數字是1+2＝3，故答案為：3．4．（2021?常德·中考真題）閱讀理解：如果一個正整數m能表示為兩個正整數a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么稱m為廣義勾股數，則下面的四個結論：①7不是廣義勾股數；②13是廣義勾股數；③兩個廣義勾股數的和是廣義勾股數；④兩個廣義勾股數的積是廣義勾股數．依次正確的是（）A．②④ B．①②④ C．①② D．①④【分析】根據廣義勾股數的定義進行判斷即可．【解答】解：①∵7不能表示為兩個正整數的平方和，∴7不是廣義勾股數，故①結論正確；②∵13＝22+32，∴13是廣義勾股數，故②結論正確；③兩個廣義勾股數的和不一定是廣義勾股數，如5和10是廣義勾股數，但是它們的和不是廣義勾股數，故③結論錯誤；④設，，則＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd時，兩個廣義勾股數的積不是廣義勾股數，如2和2都是廣義勾股數，但2×2＝4，4不是廣義勾股數，故④結論錯誤，∴依次正確的是①②．故選：C．5．（2021?上?！ぶ锌颊骖}）定義：在平面內，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內有一個正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點P，OP＝2，當正方形繞著點O旋轉時，則點P到正方形的最短距離d的取值范圍為．【分析】由題意以及正方形的性質得OP過正方形ABCD各邊的中點時，d最大，OP過正方形ABCD的頂點時，d最小，分別求出d的值即可得出答案．【解答】解：如圖：設AB的中點是E，OP過點E時，點O與邊AB上所有點的連線中，OE最小，此時d＝PE最大，OP過頂點A時，點O與邊AB上所有點的連線中，OA最大，此時d＝PA最小，如圖①：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如圖②：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范圍為2﹣≤d≤1．故答案為：2﹣≤d≤1．6．（2021?婁底·中考真題）高速公路上有一種標線叫縱向減速標線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕駛員在開車時減速慢行．如圖，用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，過B作AD的垂線，垂足為A′（A點的視覺錯覺點），若sinα＝0.05，AB＝300mm，則AA′＝mm．【分析】由平行線的性質和垂線的性質可得∠A'BC＝∠ABE＝90°，可求∠ABA'＝∠CBE＝α，利用銳角三角函數可求解．【解答】解：∵BA'⊥AD，AD∥BC，∴A'B⊥BC，∴∠A'BC＝∠ABE＝90°，∴∠ABA'＝∠CBE＝α，∵sin∠A'BA＝sinα＝＝0.05，∴AA'＝300×0.05＝15（mm），故答案為：15．7．（2021?成都·中考真題）我們對一個三角形的頂點和邊都賦給一個特征值，并定義：從任意頂點出發，沿順時針或逆時針方向依次將頂點和邊的特征值相乘，再把三個乘積相加，所得之和稱為此三角形的順序旋轉和或逆序旋轉和．如圖1，ar+cq+bp是該三角形的順序旋轉和，ap+bq+cr是該三角形的逆序旋轉和．已知某三角形的特征值如圖2，若從1，2，3中任取一個數作為x，從1，2，3，4中任取一個數作為y，則對任意正整數k，此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的概率是．【分析】先根據題意計算出該三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差為x+y﹣2k，再畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的結果數，然后根據概率公式求解．【解答】解：該三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差為（4x+2k+3y）﹣（3x+2y+4k）＝x+y﹣2k，畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中此三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的結果數為9，所以三角形的順序旋轉和與逆序旋轉和的差都小于4的概率＝＝．故答案為．8．（2021?貴港·中考真題）我們規定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．【分析】根據平面向量的新定義運算法則，列出關于x的二次函數，根據二次函數最值的求法解答即可．【解答】解：根據題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因為﹣2≤x≤3，所以當x＝3時，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．故答案是：8．9．（2021?重慶·中考真題）對于任意一個四位數m，若千位上的數字與個位上的數字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數m為“共生數”．例如：m＝3507，因為3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生數”；m＝4135，因為4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生數”．（1）判斷5313，6437是否為“共生數”？并說明理由；（2）對于“共生數”n，當十位上的數字是千位上的數字的2倍，百位上的數字與個位上的數字之和能被9整除時，記F（n）＝．求滿足F（n）各數位上的數字之和是偶數的所有n．【分析】（1）根據題目中的定義，可直接判斷5313，6437是否為“共生數”；（2）根據定義，先用兩個未知數表示F（n），然后列出含有n的式子，找出滿足要求的結果即可．【解答】解：（1）5313是“共生數”，6437不是“共生數”，∵5+3＝2×（3+1），∴5313是“共生數”，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生數”；（2）∵n是“共生數”，根據題意，個位上的數字要大于百位上的數字，設n的千位上的數字為a，則十位上的數字為2a，（1≤a≤4），設n的百位上的數字為b，∵個位和百位都是0﹣9的數字，∴個位上的數字為9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4，∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，∴F（n）＝＝340a+33b+3，由于n是“共生數”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情況有：，當a＝1，b＝2時，n的值為1227，則F（n）的值為409，各數位上數字之和不是偶數，舍去，當a＝2，b＝1時，n的值為2148，則F（n）的值為716，各數位上數字之和是偶數，當a＝3，b＝0時，n的值為3069，則F（n）的值為1023，各數位上數字之和是偶數，∴n的值是2148或3069．10．（2021?赤峰·中考真題）閱讀理解：在平面直角坐標系中，點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關矩形”．如圖1中的矩形為點M、N的“相關矩形”．（1）已知點A的坐標為（2，0）．①若點B的坐標為（4，4），則點A、B的“相關矩形”的周長為；②若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的解析式；（2）已知點P的坐標為（3，﹣4），點Q的坐標為（6，﹣2）若使函數y＝的圖象與點P、Q的“相關矩形”有兩個公共點，直接寫出k的取值．【分析】（1）①由A（2，0），B（4，4）坐標得出“相關矩形”的長為2，寬為4，求出周長即可；②得到相關正方形邊長為2，從而C（4，2）或（4，﹣2），待定系數法求函數關系式即可；（2）設點P、Q的“相關矩形”為矩形MPNQ，求出M、N的坐標，根據圖形可知過M、N為兩個臨界狀態，求出相應的k，可得到k的范圍．【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），∴點A、B的“相關矩形”的周長為（4﹣2+4）×2＝12，故答案為：12；②∵若點C在直線x＝4上，且點A、C的“相關矩形”為正方形，∴C（4，2）或（4，﹣2），設直線AC的關系式為：y＝kx+b將（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，∴y＝x﹣2，將（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x+2，∴直線AC的解析式為：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；（2）∵點P的坐標為（3，﹣4），點Q的坐標為（6，﹣2），設點P、Q的“相關矩形”為矩形MPNQ，則M（3，﹣2），N（6，﹣4），當函數y＝的圖象過M時，k＝﹣6，當函數y＝的圖象過N時，k＝﹣24，若使函數y＝的圖象與點P、Q的“相關矩形”有兩個公共點，則﹣24＜k＜﹣6．11．（2021?衡陽·中考真題）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數y＝圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，而a＞1，0＜c＜4；由M、N的存在，則△＝25﹣4ac＞0，而a＞1，則c＜，即可求解；②求出點M的坐標為（﹣，0）、點E的坐標為（﹣，﹣），即可求解；（3）分兩種情形：點C在PB的下方或上方，分別根據全等三角形解決問題．【解答】解：（1）由題意得：x＝，解得x＝±2，當x＝±2時，y＝＝±2，故“雁點”坐標為（2，2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁點”的橫坐標與縱坐標相等，故“雁點”的函數表達式為y＝x，∵拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，則ax2+5x+c＝x，則△＝16﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故0＜c＜4；∵M、N的存在，則△＝25﹣4ac＞0，而a＞1，則c＜，綜上所述，c的取值范圍為0＜c＜4；②∵ac＝4，則ax2+5x+c＝0為ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即點M的坐標為（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即點E的坐標為（﹣，﹣），過點E作EH⊥x軸于點H，則HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度數為45°；（3）存在點P，使點C恰好為“雁點”，理由：當點C在PB的下方時，由題意知，點C在直線y＝x上，故設點C的坐標為（t，t），過點P作x軸的平行線交過點C與y軸的平行線于點M，交過點B與y軸的平行線于點N，設點P的坐標為（m，﹣m2+2m+3），則BN＝﹣m2+2m+3，PN＝3﹣m，PM＝m﹣t，CM＝﹣m2+2m+3﹣t，∵∠NPB+∠MPC＝90°，∠MCP+∠CPM＝90°，∴∠NPB＝∠PCM，∵∠CMP＝∠PNB＝90°，PC＝PB，∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+或1﹣，當點C在PB的上方時，過點P作PK⊥OB于K，CH⊥KP交KP的延長線于H．同法可證，△CHP≌△PKB，可得CH＝PK，HP＝BK，t﹣m＝﹣m2+2m+3，t﹣（﹣m2+2m+3）＝3﹣m，∴m＝，n＝，∴P（，），故點P的坐標為（，）或（1+，）或（，）．12．（2021?東營·中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”OC和OD的數量關系是．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”OC和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”OC和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；②若∠COD＝60°，請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數量關系．【分析】（1）猜想：OC＝OD．證明Rt△AOC≌△BOD（AAS），可得結論．（2）結論成立．過點O作直線EF∥CD，交AC的延長線點E，證明△COE≌DOF（SAS），可得結論．（3）①結論成立．如圖3中，延長CO交BD于點E，證明CO＝OE，再利用直角三角形斜邊中線的性質解決問題即可．②結論：AC+BD＝OC．利用等邊三角形的判定和性質以及全等三角形的性質證明即可．【解答】解：（1）猜想：OC＝OD．理由：如圖1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°在△AOC與△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD，故答案為：OC＝OD；（2）數量關系依然成立．理由：過點O作直線EF∥CD，交