高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市2023-2024學年高二下學期期末質量檢測數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某汽車啟動階段的位移函數為，則汽車在時的瞬時速度為（）A.10 B.14 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗設瞬時速度為，則由題意得：.又，則.故選：C2.將序號分別為1，2，3，4，5的五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數是（）A.6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根據題意，分2步進行分析：

①將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②將剩下的3張參觀券分給其他三人，有種分法，

則有種不同的分法；

故選:B．3.設離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（）X12PA. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分布列性質可得,即，解得.又，解得，故.故選:B.4.已知一組觀測值，，…，滿足，若恒為0，則（）A.0 B.0.5 C.0.9 D.1〖答案〗D〖解析〗由恒為0，知恒成立，即恒成立，故.故選：D．5.的展開式中的系數為（）A. B.4 C. D.6〖答案〗D〖解析〗，只需求展開式中的含項的系數，的展開式的通項為，令，得，展開式中的系數為，故選：D．6.李老師教高二甲班和乙班兩個班的數學，這兩個班的人數相等．某次聯考中，這兩個班的數學成績均近似服從正態分布，其正態密度函數的圖像如圖所示，其中是正態分布的期望，是正態分布的標準差，且，，．關于這次數學考試成績，下列結論正確的是（）A.甲班的平均分比乙班的平均分高B.相對于乙班，甲班學生的數學成績更分散C.甲班108分以上的人數約占該班總人數的D.乙班112分以上的人數與甲班108分以上的人數大致相等〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A錯誤；對于B，因甲班的曲線比乙班的曲線更“瘦高”，即，表示甲班的數學成績更集中，故B錯誤；對于C，甲班的最大值為，則，則,故C錯誤；對于D，乙班的最大值為，則，則，又這兩個班的人數相等，則乙班112分以上的人數與甲班108分以上的人數大致相等，故D正確.故選：D.7.某校三位同學報名參加數理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數學是該校優勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（）A.51種 B.45種 C.48種 D.42種〖答案〗A〖解析〗若三人有兩人報名數學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有種情況，若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有種情況，若三個人全部都報名數學競賽，則共有種情況，所以不同的參賽方案有：種情況，故選：A．8.已知函數，若對任意的，且，都有，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以函數在區間上單調遞增.所以當時，恒成立，即恒成立，記，則，當，即時，易知，所以在區間上單調遞增，所以，則有，滿足題意；當，即時，令，得，時，時，所以當時，有最小值，解，得.綜上，k的取值范圍為.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.對于獨立性檢驗，的值越大，說明兩事件的相關程度越大B.以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3C.在具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程中，，則D.通過回歸直線及回歸系數，可以精確反映變量的取值和變化趨勢〖答案〗ABC〖解析〗對于，根據獨立性檢驗的性質知，的值越大，說明兩個事件的相關程度越大，故A正確；對于，由，兩邊取自然對數，可得，，則，因為，所以則故B正確；對于，由于回歸直線過點，故C正確；對于，通過回歸直線及回歸系數，可預測變量的取值和變化趨勢，故D錯誤.故選：ABC.10.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示．下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（）A.B.記第n行的第i個數為，則C.第2023行中從左往右第1011個數與第1012個數相等D.第30行中第12個數與第13個數之比為12∶19〖答案〗BD〖解析〗對于A，由可得:,故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，第2023行的二項式系數個數為偶數，中間兩項最大，即和，也就是第2023行中第1012個數和第1013個數相等，故C錯誤；對于D，第30行中第12個數與第13個數之比為，故D正確.故選：BD.11.某大學文學院有兩個自習室，小王同學每天晩上都會去自習室學習.假設他第一天去自習室的概率為；他第二天去自習室的概率為；如果他第一天去自習室，則第二天去自習室的概率為.下列說法正確的是（）A.小王兩天都去自習室的概率為B.小王兩天都去自習室的概率為C.小王兩天去不同自習室的概率為D.如果他第二天去自習室，則第一天去自習室的概率為〖答案〗BC〖解析〗設小王第一天去自習室A的事件為，第二天去自習室A的事件為，設小王第一天去自習室的事件為，第二天去自習室的事件為，由題意，，，又，所以，則，所以B正確；因為，所以，所以A錯誤；設小王兩天去不同自習室的事件為C，則，所以C正確；，所以D錯誤；故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.編號為1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數是，則__________．〖答案〗1〖解析〗∵編號為的位同學隨意入座編號為的個座位，

∴有123,132,213,231,312,321,共6種結果，

設與座位編號相同的學生個數為，則的可能為0,1,3，

∴的分布列為：013∴.

故〖答案〗為:1.13.在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是__________.0101〖答案〗〖解析〗根據已知公式，得，，令，開口向下，對稱軸為，在上，，則，則，故〖答案〗為：14.若二次函數的圖象與曲線：存在公切線，則實數的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由可得，由可得，設公切線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，所以，即，可得或，因為，，則，，即，，，令，可得，由可得；由可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以實數的取值范圍是，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設函數．（1）求f（x）在處的切線方程；（2）求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．解：（1）由題意知，，即切點為（1，－3），又，所以所以f（x）在處的切線方程為：，即；（2），令得；令得或，故f（x）的減區間為（－1，3），增區間為（－∞，－1）和，函數f（x）的極大值，函數f（x）的極小值，又，∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1916.已知展開式的二項式系數和為512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由二項式系數和為512知，，故，所以.（2）在中，令，可得，令，可得，所以.（3）在中，兩邊求導可得，令,可得，所以.17.在十余年的學習生活中，部分學生養成了上課轉筆的習慣．某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有55人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數的頻率分布直方圖．記分數在600分以上的為優秀，其余為合格．（1）請完成下列列聯表．并依據小概率值的獨立性檢驗，分析成績優秀與上課轉筆之間是否有關聯；（結果均保留到小數點后三位）上課轉筆上課不轉筆合計優秀合格20合計55100（2）現采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數為X，求X的分布列和數學期望；（3）若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數為k的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）零假設：成績優秀與上課轉筆無關，

列聯表如下：上課轉筆上課不轉筆合計優秀52530合格502070合計5545100，

根據小概率值獨立性檢驗，我們推斷不成立，因此認為成績優秀與上課轉筆有關．（2）100個人中優秀的人數為，

則合格的人數為70人，由分層抽樣可知：10人中有3人優秀，7人合格；

由題意的可能值為2,3,4,5,,,,,則X的分布列為:X2345P所以.（3）由題意可知，則，,

解得.又,所以，

則當時，取最大值．18.一個調查學生記憶力的研究團隊從某中學隨機挑選100名學生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間t（分鐘）和答對人數y的統計表格如下：時間t（分鐘）102030405060708090100答對人數y9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時間t與答對人數y和的散點圖如下：附：，，，，，對于一組數據，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．請根據表格數據回答下列問題：（1）根據散點圖判斷，與哪個更適宜作為線性回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）判斷結果，建立y與的回歸方程；（a，b或c，d的計算結果均保留到小數點后三位）（3）根據（2）請估算要想答對人數不少于75人，至多間隔多少分鐘需要重新記憶一遍．（結果四舍五入保留整數）（參考數據：，）．解：（1）觀察兩個散點圖知，更適宜作為線性回歸類型.（2）依題意，，，由（1）知，，根據最小二乘法得：，，于是，因此y與的回歸方程.（3）依題意，，即，則，而，于是，解得，所以要想答對人數不少于75人，至多間隔19分鐘需要重新記憶一遍.19.對于正實數a，，我們熟知基本不等式：，其中為a，b的幾何平均數，為a，b的算術平均數．現定義a，b的對數平均數：．（1）設，求證：；（2）證明；（3）若不等式對任意正實數恒成立，求正實數m的取值范圍．解：（1）設，則，故當時，恒成立，即在上單調遞減，又，故時，即時，，即得證.（2）要證，需證，因，故只需證，，即證，設，則，由（1）可得，即得，故得證.（3）由不等式對任意正實數恒成立可得，，即恒成立.設，則，則有，化簡得，，即在時恒成立.設，則①當時，即時，方程有兩個異根，由，可取則，因，故當時，，在上單調遞增，故，與題意不符，故舍去；②當時，因，則，即，在上單調遞減，故恒有成立，符合題意.綜上可知，河北省石家莊市2023-2024學年高二下學期期末質量檢測數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某汽車啟動階段的位移函數為，則汽車在時的瞬時速度為（）A.10 B.14 C.4 D.6〖答案〗C〖解析〗設瞬時速度為，則由題意得：.又，則.故選：C2.將序號分別為1，2，3，4，5的五張參觀券全部分給甲，乙，丙，丁四人，每人至少1張，如果分給甲的兩張參觀券是連號，那么不同分法的種數是（）A.6 B.24 C.60 D.120〖答案〗B〖解析〗根據題意，分2步進行分析：

①將連號的兩張參觀券分給甲，有1和2，2和3，3和4，4和5，共4種情況，

②將剩下的3張參觀券分給其他三人，有種分法，

則有種不同的分法；

故選:B．3.設離散型隨機變量X的分布列如表所示，則（）X12PA. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由分布列性質可得,即，解得.又，解得，故.故選:B.4.已知一組觀測值，，…，滿足，若恒為0，則（）A.0 B.0.5 C.0.9 D.1〖答案〗D〖解析〗由恒為0，知恒成立，即恒成立，故.故選：D．5.的展開式中的系數為（）A. B.4 C. D.6〖答案〗D〖解析〗，只需求展開式中的含項的系數，的展開式的通項為，令，得，展開式中的系數為，故選：D．6.李老師教高二甲班和乙班兩個班的數學，這兩個班的人數相等．某次聯考中，這兩個班的數學成績均近似服從正態分布，其正態密度函數的圖像如圖所示，其中是正態分布的期望，是正態分布的標準差，且，，．關于這次數學考試成績，下列結論正確的是（）A.甲班的平均分比乙班的平均分高B.相對于乙班，甲班學生的數學成績更分散C.甲班108分以上的人數約占該班總人數的D.乙班112分以上的人數與甲班108分以上的人數大致相等〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖知，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A錯誤；對于B，因甲班的曲線比乙班的曲線更“瘦高”，即，表示甲班的數學成績更集中，故B錯誤；對于C，甲班的最大值為，則，則,故C錯誤；對于D，乙班的最大值為，則，則，又這兩個班的人數相等，則乙班112分以上的人數與甲班108分以上的人數大致相等，故D正確.故選：D.7.某校三位同學報名參加數理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數學是該校優勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（）A.51種 B.45種 C.48種 D.42種〖答案〗A〖解析〗若三人有兩人報名數學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有種情況，若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有種情況，若三個人全部都報名數學競賽，則共有種情況，所以不同的參賽方案有：種情況，故選：A．8.已知函數，若對任意的，且，都有，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以函數在區間上單調遞增.所以當時，恒成立，即恒成立，記，則，當，即時，易知，所以在區間上單調遞增，所以，則有，滿足題意；當，即時，令，得，時，時，所以當時，有最小值，解，得.綜上，k的取值范圍為.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.對于獨立性檢驗，的值越大，說明兩事件的相關程度越大B.以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3C.在具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程中，，則D.通過回歸直線及回歸系數，可以精確反映變量的取值和變化趨勢〖答案〗ABC〖解析〗對于，根據獨立性檢驗的性質知，的值越大，說明兩個事件的相關程度越大，故A正確；對于，由，兩邊取自然對數，可得，，則，因為，所以則故B正確；對于，由于回歸直線過點，故C正確；對于，通過回歸直線及回歸系數，可預測變量的取值和變化趨勢，故D錯誤.故選：ABC.10.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示．下列關于“楊輝三角”的結論正確的是（）A.B.記第n行的第i個數為，則C.第2023行中從左往右第1011個數與第1012個數相等D.第30行中第12個數與第13個數之比為12∶19〖答案〗BD〖解析〗對于A，由可得:,故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，第2023行的二項式系數個數為偶數，中間兩項最大，即和，也就是第2023行中第1012個數和第1013個數相等，故C錯誤；對于D，第30行中第12個數與第13個數之比為，故D正確.故選：BD.11.某大學文學院有兩個自習室，小王同學每天晩上都會去自習室學習.假設他第一天去自習室的概率為；他第二天去自習室的概率為；如果他第一天去自習室，則第二天去自習室的概率為.下列說法正確的是（）A.小王兩天都去自習室的概率為B.小王兩天都去自習室的概率為C.小王兩天去不同自習室的概率為D.如果他第二天去自習室，則第一天去自習室的概率為〖答案〗BC〖解析〗設小王第一天去自習室A的事件為，第二天去自習室A的事件為，設小王第一天去自習室的事件為，第二天去自習室的事件為，由題意，，，又，所以，則，所以B正確；因為，所以，所以A錯誤；設小王兩天去不同自習室的事件為C，則，所以C正確；，所以D錯誤；故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.編號為1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數是，則__________．〖答案〗1〖解析〗∵編號為的位同學隨意入座編號為的個座位，

∴有123,132,213,231,312,321,共6種結果，

設與座位編號相同的學生個數為，則的可能為0,1,3，

∴的分布列為：013∴.

故〖答案〗為:1.13.在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量的取值集合均為，則的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，則的取值范圍是__________.0101〖答案〗〖解析〗根據已知公式，得，，令，開口向下，對稱軸為，在上，，則，則，故〖答案〗為：14.若二次函數的圖象與曲線：存在公切線，則實數的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由可得，由可得，設公切線與的圖象相切于點，與的圖象相切于點，所以，即，可得或，因為，，則，，即，，，令，可得，由可得；由可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以實數的取值范圍是，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設函數．（1）求f（x）在處的切線方程；（2）求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．解：（1）由題意知，，即切點為（1，－3），又，所以所以f（x）在處的切線方程為：，即；（2），令得；令得或，故f（x）的減區間為（－1，3），增區間為（－∞，－1）和，函數f（x）的極大值，函數f（x）的極小值，又，∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1916.已知展開式的二項式系數和為512，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由二項式系數和為512知，，故，所以.（2）在中，令，可得，令，可得，所以.（3）在中，兩邊求導可得，令,可得，所以.17.在十余年的學習生活中，部分學生養成了上課轉筆的習慣．某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有55人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數的頻率分布直方圖．記分數在600分以上的為優秀，其余為合格．（1）請完成下列列聯表．并依據小概率值的獨立性檢驗，分析成績優秀與上課轉筆之間是否有關聯；（結果均保留到小數點后三位）上課轉筆上課不轉筆合計優秀合格20合計55100（2）現采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數為X，求X的分布列和數學期望；（3）若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數為k的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）零假設：成績優秀與上課轉筆無關，

列聯表如下：上課轉筆上課不轉筆合計優秀52530合格502070合計5545100，

根據小概率值獨立性檢驗，我們推斷