【好朋友湊整】例四年級第1講小數巧算技巧【知識點睛】2.125×7.5×32【1】湊整法在小數加法運算中，便于計算。例【2】改順序0.125×0.25×0.5×64通過改變小數算式中的先后順序，使運算簡①小數搬家②加括號③去括號④提取公因數【3】擴縮法【提取公因數】例根據積不變變的規律來進行巧算，就叫擴縮法。【4】拆數法0.78×7.3﹣0.78×6.3例成比較簡單的數，常常需要先把一個小數拆也叫“分解分組法”。19.8+19.8×99例【5】代數法2.25×4.8+77.5×0.48在相同數字較多的小數算式中，用字母表示算這就是小數算式中的代數法。例【例題精講】2.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28【分組湊整】例1.87+0.26+6.13+1.74例10.計算19.98×37+199.8×2.3+9.99×80例60.8﹣7.18﹣12.22【學習筆記】例56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67第1頁例2.帶分數計算49四年級第2講分數計算技巧【知識點睛】【1】湊整法整數，便于計算。例3.計算【2】改順序通過改變分數式中的先后順序，使運算簡便。常見有以下幾種方法：1例(1)加括號a+b-c=a+(b-c)a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-(b+c)5524（3518625(2)去括號例a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-ca-(b-c)=a-b+c(3)分數搬家56324例（3a-b-c=a-c-ba-b+c=a+c-b【3】提取公因數巧算。如果乘積中另外幾個因數相加減的結果是一些比較簡單的數，那么計算就更為簡便。這種方法叫提取公因數法。5111149例9898【例題精講】【學習筆記】例1.列式計算122的5與3345311（2）乘與的差，所得的積再除以，486結果是多少？第2頁四年級第3講分數裂項【母積子不差】【知識點睛】例5.用簡便方法計算ba11111【1】【2】ababab11133517abab【例題精講】【母積子差】例6.用簡便方法計算例1.用簡便方法計算。111111114122334【母積子和】例2.用簡便方法計算。例7.用簡便方法計算22222481335577917133557791517例8.用簡便方法計算例3.用簡便方法計算。733332558838412558898【學習筆記】例4.用簡便方法計算。111111116第3頁四年級第4講定義新運算【知識點睛】例a※b=a-b；如果a※b=b-a,【1】基本概念請計算：3※4※94※（1※7）含有多種基本(混合)運算。【2】基本思路嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代算過程、規律進行運算。例4：已知a,b是任意自然數,我們規定:abab1,請計算：4[(6例如a☆b=3a-3b，新運算使用的符號是☆，而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。【3】關鍵問題正確理解定義的運算符號的意義。【4】注意事項例5.附加題X算順序；定義：【x】=，求下面的值11＋X1②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。【例題精講】11【】＋【2】＋...＋【】＋【20081200732311例?－b，求2Δ1=？【【】111【學習筆記】例2.定義新運算：a*b=a×(a+b)×b，求2*（2*3）的值。第4頁四年級第5講加法原理【分類枚舉——分類】【知識點睛】例3.甲、乙、丙三個工廠共訂300份報紙，每個工廠至少訂了99份，至多101份，問：一共有多少種不同的訂法？【1】定義做一件事情，完成它有n類方式，第一類方式有K1種方法，第二類方式有K2種方法，……，第n類方式有Kn種方法，那么完成這件事情K1+K2+……+Kn種方法。3分別有海共有k1+k2+k3種方式可以到達。【2】知識結構例4.袋中有3個紅球，4個黃球和5個白球，小明從中任意拿出6有幾種可能？加法原理：分類計數、類類獨立。例5.數一下有多少個三角形？【例題精講】【分類枚舉——數出來的種類】例1.小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同的紀念品10種禮物可以有多少種不同的選法？【學習筆記】例2.陽光小學四年級有3個班，各班分別有18升旗手，有多少種選法？第5頁四年級第6講乘法原理例這五個數字可以組成多少個沒有重復數字的五位數?【數字不能重復使用】【知識點睛】【1】定義n有m1第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法。那么完成這件事共有M=m×m×…×m種（2）有五張卡，分別寫有數字1、2、4、5、8。現從中取出3張卡片，并排放在一起，組123n不同的方法。【2】知識結構乘法原理：分步計數、步步相乘。例3.包含兩個五角星的長方形有多少個？【例題精講】例4101一共有多少種不同的買法?（2）“學習改變命運”這六個字要用66多少種不同的寫法？【學習筆記】第6頁四年級第7講加乘原理例能組成多少個小于1000的數字？【數字不能重復使用】【知識點睛】【1】加法原理是把完成一件事的方法分成幾，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的不同方法數等于各類方法數之和．（2）用0-9能組成多少個小于1000的【2】乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾各步方法數的乘積。【3】在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現的分步．到1000一共出現多少個0？例3.地圖上有A四個國家(如下圖)，國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，有多少種染色方法？【例題精講】例6本不同的語文書、4本不同的數學書、8從中任取1本書，共有多少種不同的取法?【學習筆記】（2）如果從中取出語文書、數學書、英語書各1本，共有多少種不同的取法?第7頁四年級第8講排列（3）由0，2，5，6，7，8組成無重復數字【知識點睛】【1】定義①四位偶數有多少個？②四位奇數有多少個？先后順序有關。【2】計算步驟例2（1）4男2女6個人站成一排合影留念，2n個不同元素中取出m個元素；個元素之間有排列的順序；③那么一共有mn(nn2)(nm種排列方法。（2）書架上有3本故事書、2本作文選和1本漫畫書，全部豎起來排成一排．【例題精講】例1（1）紅黃綠三種不同的信號燈，能組成多少種不同的信號燈?【學習筆記】一共有多少種排隊方式？第8頁四年級第9講組合例3從15名同學里面選出5名同學去精選，要求某3名同學必須去，有多少種不同的選【知識點睛】【1】定義如在體育比出幾人參加某項活動等。這種“分組”問題，著重研究有多少種分組方法的問題。【2】計算步驟例4.【插空法】將三盆同樣的紅花和四盆同樣的黃花擺放成一排，要求三盆紅花互不相鄰，共有多少種不同的放法？n個不同元素中取出m個元素；個元素組合在一起，沒有順序；③那么一共有n(nn2)(nm種組合方法。m(mm2)1例123人進了電梯，其中至少有一個要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？【例題精講】例1.有六個點，任意三個點都不在一條直線上．請問：以這些點為端點，一共可以連出多少條線段？【學習筆記】例2.從分別寫有1的五張題。求：（1）有多少個不同的乘積？（2）有多少個不同的乘法算式？第9頁四年級第10講排列組合例37個人排成一排，要求小明和小花不能挨著，那么一共有多少種排列方式？【知識點睛】從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合。【學習筆記】【例題精講】例1從5個男生和3個女生里面選出4法各有多少種。（1）恰好兩名女生參加。（2）至少一名女生參加。（3）指定兩名男生和一名女生同時入選。例2【捆綁、插空】7個人排成一排，要求小第10頁四年級第11講等差數列【知識點睛】例3一個等差數列共有13項，每一項比前一項大2，且首項是33，求末項是多少？如果每項比前一項小2【1】數列做第一項，也叫首項；第二個數叫做第二……最后一個數叫做末項叫做。例4對于數列4第10100是這個數列的第________項【2】等差數列具有這種特點的一組排列在一起的數列，叫做等差數列，每一項減去它的前一項所得的差叫做公。例5觀察數組(1，3)，(3，5)，(5（1）第20組中三個數的和【3】等差數列的基本公式（2）前20組中所有數的和=(首項+末項)×項數÷2=(末項－首項)÷公差+1第n項=首項+(n-1)×公差【學習筆記】【例題精講】例11＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9例2(2+4+6+……+1996+1998+2000)-(1+3+5+7+……+1997+1999)第11頁四年級第12講平均數的認識【知識點睛】例4個數改為1，那么這五個數的平均數是8，這個改動的數原來是多少？【1】平均數問題總數量和與之相對應的總份數。【2】算術平均數已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關系式：總數量÷總份數＝平均數【3】加權平均數例5成績平均分是96分，英語成績公布后，四科平均分下降了2多少。（權數的和）=加權平均數。【例題精講】例1萱萱在商店買了3斤水果糖、1斤花生287元，奶糖每斤10元，萱萱買的糖果平均每斤多少元？【學習筆記】例2請求出106、104這8個數的平均數。例3了13頁，接下來的三天平均每天讀了17最后三天讀了41頁．她平均每天讀故事書多少頁？第12頁四年級第13講平均數的應用【知識點睛】問題，叫做平均數問題。解答平均數問題時，要先求出總數量和總份的份數的和。公式：總數量÷總份數=平均數【例題精講】例5小紅的成績單被墨水弄臟了，請問數學多少分？例1四年級某尖子班有20人，平均體重是35千克。小山羊施展了一種魔法，把其中一個同學的體重變為80體重就變成了37千克。這個同學原來體重是多少千克？例2教室有8名學生，他們的平均體重是9個人的平均體重是50千克，請問老師的體重是多少？【學習筆記】例3李軍玩飛鏢游戲，前5次平均環數是8環，5次中了幾環？第13頁四年級第14講例4.下圖中正方形的邊長為8為20厘米，梯形BCDF的面積是多少平方厘米？組合圖形求面積（基礎）【知識點睛】【1】巧求面積計算出不能直接用公式的復雜圖形的面積，培間觀念，增強學習的興趣。【2】方法例差是多少？法、差不變原理、容斥原理。【例題精講】例1一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？例6如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8直角三角形ABC積比三角形ADH的面積大8平方厘米，AH長多少厘米？例2已知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積。例7【等積變形】如圖，大正方形邊長為108是多少？例3.【割補法】圖中三個正方形的邊長分別是1厘米和3的面積第14頁四年級第15講例3.如圖，已知四邊形的兩條邊長度和三個角的度數，求該四邊形面積。（單位：厘米）組合圖形求面積（提高）【知識點睛】【1】巧求面積間觀念，增強學習的興趣。【2】原理例4.【割/補--復雜--容斥原理】已知大扇形和小扇形的半徑分別為5厘米和3差不變原理--容斥原理--勾股定理【3】方法【例題精講】例1厘米）例5.挑戰題：【整體思維+一半模型+割補法】6厘米和4厘米，陰影部分的面積和是10平方厘米，求四邊形ABCD的面積。例2.求下列組合圖形陰影部分的面積。（單位：厘米）【學習筆記】第15頁四年級第16講巧求周長【知識點睛】例3.【平移法】下圖是邊長為4影部分的周長【1】巧求周長運用已經學到的知識，用一些特殊的數學思維計算出不能直接用公式的復雜圖形的周長，培間觀念，增強學習的興趣。【2】方法例4.【推導法】厘米，求最大的長方形周長【例題精講】例1.有5張同樣大小的紙如下圖所示重疊著，每張紙都是邊長為6分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長例5.【平移法】5厘米，零件長3530件的周長是多少厘米？例2.【旋轉法+平移法】各截去4厘米，截掉的面積為192平方厘米，現在這塊木板的周長是多少厘米？【學習筆記】第16頁四年級第17講雞兔同籠（基礎）【知識點睛】例2.有八爪魚和烏龜共2096只腳，八爪魚和烏龜各幾只？【1】抬腳法抬腿法一：假設每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設法①假設籠子里全是雞。②假設籠子里全是兔。【3】打包法例3.一個停車場共有車輛4143127個輪子，汽車和摩托車各有幾輛？分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設雞為x只，也可以設兔為x注意：不背公式，好好學方法。【例題精講】例1.【抬腳法+假設法】【學習筆記】第17頁四年級第18講雞兔同籠（提高）【知識點睛】例3.搬運100只玻璃瓶，規定搬一只可得運費35260元，打破幾個玻璃瓶？【1】抬腳法抬腿法一：假設每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設法例4.一次數學競賽共20得6分，做錯一道題倒扣2分，小明共得80分，他做對了幾道題？①假設籠子里全是雞。②假設籠子里全是兔。【3】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設雞為x只，也可以設兔為x注意：不背公式，好好學方法。【例題精講】【學習筆記】例1松鼠媽媽采松子，晴天每天采30個，雨天采10個，8天里一共采了200個，這幾8中有幾天有雨？例2一個班級30205每人捐款5元或者105元和捐款10元各幾人？第18頁四年級第19講雞兔同籠（尖子）【知識點睛】例384個人吃84個饅頭，3個大人吃44個小孩吃3個，大人和小孩各多少個？【1】抬腳法抬腿法一：假設每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設法例4.雙十一做活動，大雞腿5元一只，買三36①假設籠子里全是雞。②假設籠子里全是兔。【3】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設雞為x只，也可以設兔為x注意：不背公式，好好學方法。【例題精講】例1.【打包法】雞兔一共1103【學習筆記】例2.雞兔一共184只腿，雞的數量是兔的212只，雞兔各幾只？第19頁四年級第20講雞兔同籠（學霸）【知識點睛】例3.有蜘蛛（8翅膀）和蟬（6條腿，一對翅膀）共18只，共有腿118條，翅膀20對，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只？【1】抬腳法抬腿法一：假設每只兔子抬起2只腳。抬腿法二：假設每只雞和兔各抬2只腳。抬腿法三：假設每只雞抬1只腳，每只兔抬2【2】假設法①假設籠子里全是雞。②假設籠子里全是兔。【3】打包法分組打包，利用整體思想解決問題【4】方程法可以設雞為x只，也可以設兔為x注意：不背公式，好好學方法。【例題精講】【學習筆記】例1.雞兔一共883倍少6只，雞兔各幾只？例2.雞與兔共100只，雞腳比兔腳少28雞兔各幾只？第20頁四年級第21講火車過橋例2一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到橋尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米？【知識點睛】【1】定義考慮到火車本身的長度。如果有些問題不容易作圖或演示的方法幫助解題。例3一列火車長63021秒，以同樣速度通過一座大橋用了1.5分鐘，這座大橋長多少米？【2】火車過橋問題常用方法①火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離火車的路程是橋長與車身長度之和。②火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度;火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和.③火車與火車上的人錯身時，只要認為人具他所看到的錯車的相應路程仍只是對面火車的長度.例4一個火車長20010秒，以同樣速度通過一座大橋了2分鐘，這座大橋長多少米？對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、類型的題目，在分析題目的時候一定得結合著圖來進行。【3】數量關系①火車過橋(或隧道)所用的時間=[橋(隧道長)+火車車長]÷火車的速度;【學習筆記】②兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間=兩火車車身長度和÷兩車速度和;③兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間=兩車車身長度和÷兩車速度差。【例題精講】例1一列火車長200米，以60米每秒的速度前進，它通過一座220米長的大橋用時多少第21頁四年級第22講流水行船【知識點睛】例3兩個碼頭相距352千米，一船順流而下，行完全程需要11小時，逆流而上，行完全程16小時，求這條河水流速度。【1】定義和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。順水速度：船順流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。【2】解題關鍵【學習筆記】解答。解題時要以水流為線索。順水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船行速度=（順水速度+逆流速度）÷2流水速度=（順流速度—逆流速度）÷2路程=順流速度×順流航行所需時間路程=逆流速度×逆流航行所需時間【例題精講】例1某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上游甲地開往下游乙地共花8每小時3千米，從乙地返回甲地需要多少時例2一只小船靜水速度為每小時25千米，它144千米的河水中逆水而行用了8返回原處需要用幾小時？第22頁四年級第23講牛吃草問題（基礎）【知識點睛】此類問題。【1】定義【例題精講】解決這類問題需要考慮草邊吃邊長這個因素。例1一塊草場，27頭牛吃6天，23頭牛吃9天，21頭牛吃多少天吃完？【2】基本公式①草的生長速度=對應的牛頭數×吃的較多天數-相應的牛頭數×吃的較少天數÷(吃的較多天數-吃的較少天數);例2有一塊勻速生長的草地，可供1225天，或可供24頭牛吃10天，那么這塊草地可供幾頭牛吃20②原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度吃的天數;③吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);④牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。由于牛消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。例3一片草地，24頭牛6天吃完，21頭牛8幾頭牛?【3】方法歸納??般的解法可總結為：11天吃草量為②草的長速度=(對應的頭數×較多天數-對應?的頭數較少天數)(較多天數-較少天數)；【學習筆記】③原來的草量=對應的頭數×吃的天數-草的長速度×吃的天數；④吃的天數=原來的草量÷(牛的頭數-草的?長速度)；⑤?的頭數=原來的草量÷吃的天數+草的?長速度。第23頁四年級第24講牛吃草問題（提高）【知識點睛】此類問題。【1】定義【例題精講】解決這類問題需要考慮草邊吃邊長這個因素。例1一個水池邊注水邊排水，如果24根排水管6天排完，如果21根排水管8天排完，那么16根水管多久可以排完？【2】基本公式①草的生長速度=對應的牛頭數×吃的較多天數-相應的牛頭數×吃的較少天數÷(吃的較多天數-吃的較少天數);②原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度吃的天數;例2水勻速進入船內，如果3人淘水40分鐘可以淘完，6人淘水16分鐘可以淘完，那么5人淘水幾分鐘淘完？③吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);④牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速這四個公式是解決牛吃草問題的基礎。由于牛消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。【3】方法歸納??般的解法可總結為：11天吃草量為②草的長速度=(對應的頭數×較多天數-對應?的頭數較少天數)(較多天數-較少天數)；【學習筆記】③原來的草量=對應的頭數×吃的天數-草的長速度×吃的天數；④吃的天數=原來的草量÷(牛的頭數-草的?長速度)；⑤?的頭數=原來的草量÷吃的天數+草的?長速度。第24頁四年級第25講植樹問題（1）【知識點睛】例2【一端種樹】一條路的一側只一端種樹，一共種樹30棵，5米種一棵，這條路一共有多少米？【1】定義總四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。【2】解題關鍵圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。例3.【兩端都不種】【3】基本公式一條路的一側共種30棵樹，兩端都不種，每隔5米種一棵，這條路一共有多少米？①沿線段植樹兩端種樹：棵數=間隔數+1棵數=總距離÷株距+1株距=總距離÷（棵數-1）總距離=株距×（棵數-1）一端種樹：棵數=間隔數棵數=總距離÷株距株距=總距離÷棵數總距離=株距×棵數兩端都不種：例4.【沿周長植樹】1206米栽一株月季，一共可以栽多少株月季？棵樹=間隔數-1棵數=總距離÷株距-1株距=總距離÷（棵數+1）總距離=株距×（棵數+1）②沿周長植樹棵數=間隔數棵數=總距離÷株距株距=總距離÷棵數總距離=株距×棵數【學習筆記】【注意事項】注意棵數和間隔數（株距）之間的關系【例題精講】例1【兩端種樹】一條路的一側從頭到尾種樹30棵，每隔5米種一棵，一共多少米？第25頁四年級第26講植樹問題（2）【知識點睛】例2在周長為4008米2【1】定義總四種數量關系的應用題，叫做植樹問題。【2】解題關鍵例3學校大門上掛了紅、綠兩種顏色的彩燈，從頭到尾一共掛了2130分米掛一只2大門有多寬？圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。【3】基本公式①沿線段植樹兩端種樹：棵數=間隔數+1棵數=總距離÷株距+1株距=總距離÷（棵數-1）總距離=株距×（棵數-1）一端種樹：例4一根木料在24秒內被鋸成4段，用同樣的速度鋸成5段，需幾秒？棵數=間隔數棵數=總距離÷株距株距=總距離÷棵數總距離=株距×棵數兩端都不種：棵樹=間隔數-1棵數=總距離÷株距-1株距=總距離÷（棵數+1）總距離=株距×（棵數+1）②沿周長植樹例5小胖從1樓爬上3樓用12秒，那么1樓9樓用幾秒？棵數=間隔數棵數=總距離÷株距株距=總距離÷棵數總距離=株距×棵數【學習筆記】【注意事項】注意棵數和間隔數（株距）之間的關系【例題精講】例1馬路的一邊從頭到尾每相隔6米栽有一棵9分鐘共看到301棵松樹，貝貝騎車每分鐘行多少米？第26頁四年級第27講相遇問題（基礎）【知識點睛】例3快車和慢車同時從甲、乙兩地相向發車，快車每小時403行駛超出了中點257千米才能相遇，慢車每小時多少千【1】定義途中相遇，這類應用題叫做相遇問題。【2】數量關系相遇時間＝總路程÷(甲速＋乙速)甲速+乙速=總路程÷相遇時間總路程＝(甲速＋乙速)×相遇時間【3】解題思路和方法后再利用公式。例4.甲、乙兩人從A、B兩地出發相向而行，甲的速度為5018分鐘，3450人會相遇？【例題精講】例1從南京到上海的水路長392千米，同時的輪船每小時行28每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？【學習筆記】例2甲、乙二人同時從兩地騎自行車相向而甲每小時行1513千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。第27頁四年級第28講相遇問題（提高）【知識點睛】例3甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距離A地60千米處第一次相遇。各自到達對方出發地后立即返回，途中又在距離A地40兩地相距多少千米？【1】定義途中相遇，這類應用題叫做相遇問題。【2】數量關系相遇時間＝總路程÷(甲速＋乙速)甲速+乙速=總路程÷相遇時間總路程＝(甲速＋乙速)×相遇時間【3】解題思路和方法后再利用公式。【學習筆記】【例題精講】例1A、B兩地相距1800米，甲、乙兩人同時從兩地出發相向而行，甲每分鐘50乙每分鐘4015多少分鐘兩人相遇？例2東、西兩鎮相距20千米，甲、乙兩人分別從兩鎮同時出發相背而行，甲每小時行走的路程是乙的2小時后兩人相距56千米，兩人速度各是多少？第28頁四年級第29講追及問題（基礎）【知識點睛】例2小明每分鐘走80米，小亮每分鐘走了5分鐘，甲乙兩地相距多少米？【1】定義①兩個運動物體在不同地點同時出發(或者又不是同時出發)作同向運動，進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，類應用題就叫做追及問題。②追及問題的核心問題是速度差物體就能追上前面慢的物體。例3小明和小亮在300米環形跑道上跑步，小明每秒跑7米，小亮每秒跑6兩人同間第二次相遇？【2】數量關系追及時間＝追及路程÷(快速－慢速)追及路程＝(快速－慢速)×追及時間追及路程＝快的所走路程-慢的所走路程追及路程＝快的速度×追及時間-慢的速度×追及時間追及路程＝速度差×追及時間【學習筆記】【例題精講】例1好馬每天走12075千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？第29頁四年級第30講追及問題（提高）【知識點睛】例2.一輛公共汽車早上6A40千米/時的速度開向B地，3小時后小轎車以75千米/時速度從A地開往BBB160千米。小轎車幾點到達B【1】定義①兩個運動物體在不同地點同時出發(或者又不是同時出發)作同向運動，進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，類應用題就叫做追及問題。例3.紅紅和明明從西村和東村同時向西而行，明明騎車的速度是每小時16千米，紅紅步行的速度是每小時8小時后明明追上了紅紅。求東、西村的距離。②追及問題的核心問題是速度差物體就能追上前面慢的物體。【2】數量關系追及時間＝追及路程÷(快速－慢速)追及路程＝(快速－慢速)×追及時間追及路程＝快的所走路程-慢的所走路程追及路程＝快的速度×追及時間-慢的速度×追及時間例4.小明由家去學校，每分鐘走150米，出發10分鐘后，爸爸發現書落在家里了。急忙275300學校一共用了多少分鐘？追及路程＝速度差×追及時間【例題精講】【學習筆記】例1.甲每分鐘行70米，乙每分鐘行駛502:006才能追上乙？第30頁四年級第31講年齡問題（基礎）【知識點睛】例4.小胖比他的表姐小12歲，4年后表姐年齡是小胖的3倍，求小胖和表姐今年的年齡【1】定義差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。【2】解題關鍵善于利用差不變的特點。例5.大伯的年齡比小強的512小強的316歲，求大伯的年齡。①年齡差不變--同增同減②和差+和倍+差倍③“畫線段”大招【例題精講】例1.老師說：“當我像你這么大的時候你5歲，當你像我這么大時我41歲”，求老師多例2.爸爸今年336爸爸的年齡是小花的4【學習筆記】例3.父親和女兒今年的年齡和42歲，3父親的年齡是女兒的3多少歲？第31頁四年級第32講年齡問題（提高）【知識點睛】例4.若小花長大歲則和小倩現在年齡一樣大，若小倩長大33歲則剛好是小花今年年齡的6倍，小花和小倩今年各多少歲？【1】定義差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。【2】解題關鍵善于利用差不變的特點。例5.爸爸今年4515歲、11歲、老三7歲，多少年后爸爸的年齡等于三個孩子的年齡和？①年齡差不變--同增同減②和差+和倍+差倍③“畫線段”大招【例題精講】例1.6年前，母親的年齡是兒子的5年后母子共78歲，母親今年多少歲？例2.媽媽15年前的年齡相當于兒子9年后的4少歲？【學習筆記】例3.今年媽媽的年齡是鐵蛋的4倍，假如媽媽減少32歲，鐵蛋減少5歲，兩人的年齡就會相等，媽媽今年多少歲？第32頁參考答案第2講分數巧算技巧例1（1）商是24（2）結果是3例22499第1講小數巧算技巧例11.87+0.26+6.13+1.74=（1.87+6.13）+（0.26+1.74）=8+21例31=10例260.8﹣7.18﹣12.22=60.8﹣（7.18+12.22）=60.8﹣19.4例473例5104例6=41.41例356.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67=(56.43+13.57)+(12.96-8.96)-(4.33+5.67)=70+4-10例79=64第3講分數裂項例42.125×7.5×32=2.125×8×7.5×4=17×30例1例2例3例4例5例6例7例8=510例50.125×0.25×0.5×64=0.125×0.25×0.5×（8×4×2）=1259例60.78×7.3﹣0.78×6.3=0.78×（7.3﹣6.3）=0.78×1=0.78例719.8+19.8×99=19.8×（1+99）=19.8×100=1980例82.25×4.8+77.5×0.48=2.25×4.8+7.75×4.8=（2.25+7.75）×4.8=10×4.8第4講定義新運算例14例21920=48例33※4※9=84※（1※7）=2例422例92.009×43+20.09×2.9+200.9×0.28=20.09×4.3+20.09×2.9+20.09×2.8=20.09×（4.3+2.9+2.8）=20.09×101例52=200.9例1019.98×37+199.8×2.3+9.99×80=19.98×37+19.98×23+19.98×40=19.98×（37+23+40）=1998第5講加法原理例138例254第33頁例3甲廠可以訂份報紙三種方第8講排列例1（1）6（2）24（3）①204②96例2（1）分為三步：如果甲廠訂99份，乙廠有訂100101份兩種方法，丙廠隨之而定；4×3×2×1=24種不同的排法；如果甲廠訂100份，乙廠有訂99份、100份和101份三種方法，丙廠隨之而定；如果甲廠訂101份，乙廠有訂99100份兩種方法，丙廠隨之而定；第二步：2個女生排次序一共有2種方法；的男生中間，一共有5個位置可插；24×2×5=240種排法。（2）①可以分三步來排：先排故事書，有3×2×1=62×1=2種1作文選、漫畫書的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序有原理，一共有6×2×1×6=72種排法。②可以看成3+2+1=66×5×4×3×2×1=720種排法。根據加法原理，一共有2+3+2=7種訂報方法。例4如果沒拿紅球，那么拿（黃、白）球的2）4如果拿1（4、1）5如果拿2有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5如果拿3有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4第9講組合例115例2（1）10（2）20例366例524例410例591第6講乘法原理例1（1）40（2）720例2（1）96（2）36例3長方形有24個第10講排列組合例1（1）30種（2）65種例21440種（3）5種例33600種第7講加乘原理例1（1）18（2）192第11講等差數列例145例2（1）31（2）1000（3）192例3A有3種顏色可選。例21000當B，C取相同的顏色時，有2種顏色可選，D2同的涂法有3×2×2=12例3每一項比前一項大57；每一項比前一項小2，