2025屆上海市二中學高二數學第一學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定2．已知一個幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.3．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.4．雅言傳承文明，經典浸潤人生．某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（）A. B.C. D.5．已知一組數據為：2，4，6，8，這4個數的方差為（）A.4 B.5C.6 D.76．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.7．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為（）A. B.C. D.8．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.79．已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（）A.2 B.C.1 D.10．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.11．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離是_________.14．美學四大構件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數學.素描是學習繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結構素描，而學習幾何體結構素描是學習素描最重要的一步.某同學在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現“切面”是一個橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個底角為45°的直角梯形（如圖所示），則該橢圓的離心率為_____.15．數列的前項和為，則_________________.16．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大小；（2）二面角的大小.(結果用反三角表示)18．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A,B兩點，且時，求直線l的方程.19．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點是棱的中點（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值21．（12分）新冠疫情下，有一學校推出了食堂監(jiān)管力度的評價與食品質量的評價系統(tǒng)，每項評價只有合格和不合格兩個選項，師生可以隨時進行評價，某工作人員利用隨機抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發(fā)現對監(jiān)管力度滿意的占75%，對食品質量滿意的占60%，其中對監(jiān)管力度和食品質量都滿意的有80人.（1）完成列聯表，試問：是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯？監(jiān)督力度情況食品質量情況對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意80對食品質量不滿意總計200（2）為了改進工作作風，針對抽取的200位師生，對監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見，用X表示3人中對監(jiān)管力度與食品質量都不滿意的人數，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數據：①當時，有90%的把握判斷變量A、B有關聯；②當時，有95%的把握判斷變量A、B有關聯；③當時，有99%的把握判斷變量A、B有關聯.22．（10分）已知圓.（1）若直線與圓相交于兩點，弦的中點為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經過圓的圓心，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A2、D【解析】根據三視圖還原幾何體，將幾何體補成長方體，計算出幾何體的外接球直徑，結合球體體積公式即可得解.【詳解】根據三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解3、D【解析】利用復數除法運算和復數相等可用表示出，進而得到之間關系.【詳解】，，，則.故選：D.4、B【解析】由已知條件得基本事件總數為種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和“詩教中國”，“誦讀中國”和“筆墨中國”，“誦讀中國”和“印記中國”，由古典概型公式可得，故選：.5、B【解析】根據數據的平均數和方差的計算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由平均數的計算公式，可得，所以這4個數的方差為故選：B.6、D【解析】先求出的坐標，再求出其模【詳解】因為，，所以，故，故選：D.7、B【解析】構造函數，利用導數判斷出函數在上的單調性，將不等式轉化為，利用函數的單調性即可求解.【詳解】依題意可設，所以.所以函數在上單調遞增，又因為.所以要使，即，只需要，故選B.【點睛】本題考查利用函數的單調性解不等式，解題的關鍵就是利用導數不等式的結構構造新函數來解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.9、B【解析】根據空間四點共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，可得，解之得故選：B10、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C11、A【解析】根據（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關系式，結合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因為（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關系.12、D【解析】根據條件設，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】確定，，利用點到平面的距離為，即可求得結論.【詳解】由題意，，，設與的夾角為，則所以點到平面的距離為故答案為：14、【解析】設圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故答案為：15、【解析】利用計算可得出數列的通項公式.【詳解】當時，;而不適合上式，.故答案：.16、【解析】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據M為線段AB的中點結合根與系數的關系得到k,t間的關系，進而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據題意可知，點D在以OE為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【詳解】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以OE為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據錐體的表面積公式計算可得；（2）取中點，聯結，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】解：設球的半徑為，則解得，所以所有棱長均為，因此【小問2詳解】解：取中點，聯結，因為均為正三角形，因此，即為二面角的平面角.，因此二面角的大小為.18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據圓心到直線的距離d等于圓的半徑r即可求得答案；（2）由并結合（1）即可求得答案.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑,若直線與圓相切，則圓心到直線：距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理可得：，解得：或，則直線的方程為或.19、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.20、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可證得平面，以及求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面所成夾角的余弦值【小問1詳解】解：因為平面，四邊形為矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因為，因此，平面.所以，平面的一個法向量為，，平面，平面，則平面，所以，直線到平面的距離為.【小問2詳解】解：若，則、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，則，取，可得，.因此，平面與平面所成夾角的余弦值為.21、（1）列聯表見解析，有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯；（2）X的分布列見解析，X的期望為【解析】(1)根據給定條件完善列聯表，再計算的觀測值并結合給定數據即可作答.(2)求出X的可能值及各個值對應的概率列出X的分布列，再計算期望作答.【小問1詳解】對監(jiān)管力度滿意的有，對食品質量滿意的有，列聯表如下：對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意8040120對食品質量不滿意701080總計15050200則的觀測值為：，所以有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯.【小問2詳解】由(1)及已知得，X的所有可能值為：0，1，2，3，，，，