2020-2021學(xué)年上海市徐匯區(qū)位育初級中學(xué)九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分）

1.在1：1000000的地圖上，A,B兩地之間的距離是3cm,則4,B兩地的實際距離為（）

A.3kmB.30kmC.300kmD.3000km

2.如圖，是。。的直徑，點C在4B的延長線上，過C作。。的切線

CD,切點為D,連接/D,若00的半徑為6,tanC=1,則線段4c的

4

長為（）

A.10

B.12

C.16

D.20

3.如圖，弦4BJ.0C,垂足為點C,連接。力，若OC=4,AB=6,則s譏4等

B.A

4.如圖，已知△ACDSAADB,AC=4,AD=2,則4B的長為（）

A.1

5.如圖，AABC中，點。為BC邊上一點，點E在4）上，過點E作

EF“BD交AB于點F,過點E作EG〃4c交CD于點G,下列結(jié)論錯

誤的是（）

DG

EF_CG

A.BD-GD

AC_AD

B.EG-DE

BF_DG

C.AF-GC

EG.EF-

D.---1---=1

ACBD

6.如圖，在正方形4BCD中，對角線4C,BD相交于點。，點E在BC邊上，且CE=2BE,連接4E交

B。于點G,過點B作BF14E于點F,連接OF并延長，交BC于點M,過點。作OP，OF交DC于占

N，S四邊形MONC=?現(xiàn)給出下列結(jié)論:①竿=g；②sin/BOF=空;③。尸=學(xué);④。G=BG；

?s1。5

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

7.的三條邊長分別為3、4、5,與AABC相似的△的最長邊的長是15,則6y

最短邊的長為

8.計算：（-》T+2SE60°+|9-遮|=

9.如圖，4c是高為30米的某一建筑，在水塘

的對面有一段以BD為坡面的斜坡，小明在

4點觀察點D的俯角為30。，在4點觀察點B

的俯角為45。，若坡面BD的坡度為1：6,

貝IJB。的長為.

10.如圖4,4D〃BC,AC、BD相交于點。，且SMOD：SAB0C=1：4.設(shè)方=方,

DC=b，那么向量而=.（用向量本3表示）

B

11.△力BC中，tanB=|,BC=6,過點4作BC邊上的高，垂足為點。，且滿足BD：CD=2：1,

則仆ABC面積的所有可能值為.

12.如圖，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個.A

13.如圖，E為平行四邊形4BCD的對角線BD上一點，AE的延長線交邊CD于點凡在不添加輔助線的

情況下，請寫出圖中一對相似三角形：.

14.在半徑為1的。。中，弦AB長金，弦AC的長為y，貝吐B4C的度數(shù)為.

15.已知某矩形的一組鄰邊之比等于黃金比，且較短的一邊長為1,則較長的一邊長為.

16.在A4BC中，AB=AC,點E是AC中點，點。是BC上一點，連接DE,AAED=45°,連接4D,

乙BAD=2/COE,tmz.BAD=EF1AB,EF=4,則8。=______.

4

如圖所示，D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點，且BC=7,則DE=

18.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點稱為整點，請你觀察圖中正方形為B1G01，

A2B2C2D2,4383c3D3.每個正方形四條邊上的整點的個數(shù).按此規(guī)律推算出正方形

42019B2019C2019D2019四條邊上的整點共有-

X

三、計算題(本大題共1小題，共12.0分)

19.如圖，從點4(0,2)發(fā)出的一束光，經(jīng)%軸反射，過點B(4,3),求這束

光從點4到點B所經(jīng)過路徑的長.

四、解答題(本大題共6小題，共66.0分)

20.計算I一1|一（3—兀）°+代++2cos60°

21.圖①、圖②都是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點叫做格

點，線段AB的端點都在格點上，僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中畫出一個以AB為一邊的等腰△ABC,使點C在格點上，且面積為當(dāng);

(2)在圖②中畫出一個以4B為一邊的等腰△ABD,使點。在格點上，且tan4ZMB=3,并直接寫出△

4BD底邊上的高.

22.如圖，在菱形中4BCD中，入48c=60。，點F為4。邊上一點，連接BF交對角線AC于點G.

(1)如圖1,己知CFL40于F,菱形的邊長為6,求線段FG的長度；

(2)如圖2,已知點E為AB邊上一點，連接CE交線段BF于點H,且滿足NFHC=60°,CH=2BH,求

證：AH1CE.

23.如圖，已知4B為。。直徑，AC是。。的切線，連接BC交0。于點F,取“的中點”，連接力D交

BC于點E,過點E作EHJ.AB于H.

(1)求證：4HBEFABC；

(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的長.

24.在Rt/kABC中，44cB=90。，/.ABC=a,點P在△ABC的內(nèi)部.

(1)如圖1,AB=2AC,PB=3,點M、N分別在力B、BC邊上，貝kosa=,APMN周長的最

小值為;

(2)如圖2,若條件4B=24。不變，而24=魚，PB=同，PC=1,求△4BC的面積；

(3)若PA=zn,PB=n,PC=k,且k=mcosa=nsina,直接寫出乙4PB的度數(shù).

25.如圖，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點力(犯一2).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)若雙曲線上點C(2,n)沿04方向平移4個單位長度得到點B,判斷四邊形0ABe的形狀并證明你的

結(jié)論.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：設(shè)4B兩地的實際距離是X,根據(jù)題意:

1_3

loooooo-X)

解得：x=3000000cm=30km.

故選：B.

根據(jù)比例尺=圖上距離：實際距離，列方程直接求得結(jié)果.

此題主要考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺的概念進行正確計算，注意單位的轉(zhuǎn)換.

2.答案：C

解析：解：連接OD,

???CD切O0于點D,

???OD1CD,

：.Z.ODC=90°,

3

vtanC=OD=6,

4

6_3

DC-4’

DC=8,

:.OC=V824-62=10,

AC=AO+OC=16,

故選：C.

連接OD,則易證△ODC為直角三角形，利用已知數(shù)據(jù)可求出CO的長，在利用勾股定理可求出。。的

長，進而可求出線段4C的長.

本題考查了切線的性質(zhì)定理的運用、勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練運用和圓有關(guān)

的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.答案：C

解析：解：???弦48_LOC,AB=4,OC=2,

：,AC=-AB=3,

2

???OA=VOC24-AC2=V424-32=5，

故選：c.

先根據(jù)垂徑定理得出4C的長，再根據(jù)勾股定理得到04然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)

鍵.

4.答案：A

解析：解：■.-^ACD-^ADB,

ACAD

:■A--D----A-B-,

.cAD2_

AB=—

AC=1,

故選：A.

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可.

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

5.答案：A

解析：解：A、VEF//BD,

???△AEF~>ADB,

EFAE

—=—,

BDAD

???EG//AC,

.??”=些,

GDDE

???霽工品故本選項符合題意；

DU(JD

B、vGE//AC,

DEGs二DAC9

.?考=緇故本選項不符合題意；

EGDE

C、?:EF//BD,EG//AC,

J._B_F___D_E_D_E—DG

?,AF-AE"AE~CG9

.?噂=:，故本選項不符合題意；

AFGC

D.-GE//AC,EF//BD,

AEF^^ADBf△DEG~ADAC,

tEG_DEEF_AE

**AC~ADfBD-AD9

.?噂+葛=案+*=1,故本選項不符合題意；

故選：A.

根據(jù)相似三角形的判定得出△AEF-AADB,ADEGsADAC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和平行線分

線段成比例定理逐個判斷即可.

本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，能得出正確的比例式是解此題的

關(guān)鍵.

6.答案：D

解析：解：如圖，過點。作OH〃BC交4E于點兒過點。作。QJ.BC交BC于點Q,過點B作BK10M交

0M的延長線于點K,

?.?四邊形4BCD是正方形,

11

:.OB=；BD,0C=^AC,AC=BD/OBM=(OCN=45°,OB10CfAD//BC,

???OB=0C,乙BOC=90°,

???4BOM+4Moe=90°.

???OP1OF,

???乙MON=90°,

??,4coN+lM0C=90。,

???(BOM=乙CON,

??.△BOM三△C0N(4SA),

???S〉BOM=S&CON，

19

"S四邊形MONC=SABOC=-OB-OC=-,

???°B=OC=竽

???■=苧x/=3.

?,CE=2BE,

..BE=”C=1,

??AE=ylAB24-BE2=VlO.

??BF1AE,

■--AE-BF=-AB-ME,

22

..吁甯,

.?'=辦B2—=粵

??HF=-2-v-H-,E?F?=—Vio

5io

.OF_HF_OH4,

'FM~EF~ME

ME=-OH=-xl=-

4449

33

■-BM=-,BQ=-.

:AD]IBC,

g=s=?故①正確;

??OH//BC,

OH_AO*""°G=4GBE,

EC-AC

??OH=ME,AH=HEy/10

2

??Z.HGO=乙EGB,

*'.△HOG=△EBG,

??,OG=BG,故④正確；

???OQ2+MQ2=OM2,

OM=yjOQ2+MQ2=哈

.?.OF=Wxg=￥，故③正確;

???|OM?BK=^BM-OQ,

nnl375133

即一X------BnKrz=-X-X

24242

BK=―,

10

.1,smz.BOF=—=—,故②錯誤；

OB10J

???正確的有①③④.

故選：D.

①直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；②過點0作OH〃BC交AE于點、H,過點。作OQ1BC

交BC于點Q,過點8作BK1OM交OM的延長線于點K,首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的

邊長，利用勾股定理求出4E,AF,EF的長度，再利用平行線分線段成比例分別求出0M,BK的長

度，然后利用sin/BOF=器即可判斷；③利用平行線分線段成比例得出罌=4,然后利用勾股定理

求出OM的長度，進而OF的長度可求；④直接利用平行線的性質(zhì)證明△HOG三AEBG,即可得出結(jié)

論.

本題主要考查了四邊形綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成

比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵

7.答案：9

解析：???△ABC與AAB'C'相似且△ABC最長邊為5,△4'B'C'最長邊為15,令△4'B'C'的最短邊為x

A5：15=3：x

?,?%=15x3-j-5=9

故填9.

8.答案：7

解析：解：原式=-2+2x?+9-百

=7.

故答案為：7.

直接利用負指數(shù)累的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化筒各數(shù)是解題關(guān)鍵.

9.答案：（30-10遙）米

解析：解：延長CB、AD,交于點F,過點。作DE1BF,

???力點觀察點。的俯角為30。，在4點觀察點B的俯角為45。,

BE

/.2LABC=45°,^LAFC=30°,

???CF="c==30\/3；

tanz/lCFtan3O°

BC=AC=30,

???BF=30V3-30，

設(shè)DE=x,

???坡面BD的坡度為1：V3,

BE=y/3x，BD=2x,EF==V3x,

V3x+V3x=30V3—30，

解得：x=15—5V3,

BD=30-10遍（米）；

故答案為：（30-10遍）米.

先延長CB、AD,交于點F,過點。作DE1BF,先求出〃BC和41FC的度數(shù)，再求出CF和BC、4c的

值，然后求出BF,再設(shè)DE=X,根據(jù)坡面B。的坡度為1：V3,得出BE=V3x>BD=2x,EF=陋x,

列出方程，求出支的值，即可得出答案.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識點是俯角、特殊角的三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì)，在

解題時要能作出輔助線構(gòu)造直角三角形.

10.答案：|a+~b

解析：

根據(jù)已知條件得到AADO-ACBO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到手=（第2=：,得到甯=；,求

S&COBCO4CO2

得黎=!,根據(jù)已知條件得到前=云+石，于是得到結(jié)論.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平

面向量，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

解：-AD//BC,

???△ADO~ACBO,

.S&AOD_CA0\2_1

?,SACOB-（C。）一〃

AO1

???蒼=3'

,,,AO_1―，

AC3

AD=a>DC=b>

???~Kc=N+b，

???AO=-AC=-a+-/?,

333

故答案為：/日+gb.

11.答案:8或24

解析：

本題考查了解直角三角形，以及三角函數(shù)的定義，三角形面積，分類討論思想的運用是解本題的關(guān)

鍵.

分兩種情況，根據(jù)已知條件確定高2。的長，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得.

解：如圖1所示：

vBC=6,BD：CD=2：1,

???BD=4,

2

vAD1.BC,tanB=

3

???一AD=2

BD3

oo

AD=-BD=

33

???S-8C寸C?9X6X,=8；

如圖2所示：

?:BC=6,BD：CD=2：1,

:.BD=12,

2

vADLBC,tanB=

3

AD2

,??__—_,

BD3

2

???AD=-BD=8,

3

???s4ABe=^BC-AD=1x6x8=24；

綜上，△ABC面積的所有可能值為8或24,

故答案為8或24.

12.答案：三棱錐

解析：解：沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個三棱錐.

根據(jù)展開面的特征作答.

此題主要考查三棱錐的展開面及學(xué)生的立體思維能力.

13.答案：△ABE-^FDE

解析：解：???ABCC是平行四邊形，

.-.AB//CD.

?，?Z-ABD=Z.CDB.

???Z-AEB=乙FED,

ABE^LFDE,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到力B〃CD,從而可推出乙4BD=NCDB,已知對頂角相等，根據(jù)有兩組角

相等的兩個三角形相似，從而得到△ABEfFDE.

此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法的綜合運用.

14.答案：75。或15。

解析：解：有兩種情況：

①如圖所示：連接。4過。作0E_L4B于E,OFlAC^-F,

：.Z.OEA=N。兄4=90°,

由垂徑定理得：AE=BE=—，AF=CF=%

22

八A「AE\[3八.—AFV2

COSZ.0AE=——=——，COSZ.0AF=—=——，

OA2OA2

???Z.OAE=30°,Z.OAF=45°,

???^LBAC=30°+45°=75°；

②如圖所示：

連接。力，過。作0EJ.4B于E,OFLAC^F,

???/,OEA=^OFA=90°,

由垂徑定理得：AE=BE=旦,AF=CF=Z，

22

，八4r.AEV3,nAi-4尸V2

OA2OA2

???Z.OAE=30°,Z.OAF=45°,

AZ.BAC=45°-30°=15°,

故答案為：75。或15。.

連接04,過。作0E14B于E,0F14。于尸，根據(jù)垂徑定理求出AE、R4值，根據(jù)解直角三角形的知

識求出/04B和/OAC,然后分兩種情況求出NB4c即可.

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和垂徑定理的應(yīng)用.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出圖

形，求出符合條件的所有情況.此題比較好，但是一道比較容易出錯的題目.

15.答案：四

2

解析：解：?.?某矩形的一組鄰邊之比等于黃金比，且較短的一邊長為1,

所以較長的一邊長為每1,

2

故答案為：匹±1

2

根據(jù)黃金分割的定義解答即可.

本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分成兩段，其中較長線段是較短線段和整個線段的

比例中項，即較長線段是整個線段的正二倍，那么這個點就是這條線段的黃金分割點.

2

16.答案：3V5

解析：解：如圖，作于M,AN1AB交BC于N,DHJ.AN于H.

???Z.AED=45°=乙CDE+乙C,

/.2zC-F2zCD￡,=90°,

?:AB=AC,

???Z-B=zC,

vZ.FAC=乙B+Z.C=2zC,乙BAD=2乙CDE,

???^LFAE+乙BAD=90°,

???Z.DAE=90°,

??.△4)E是等腰直角三角形，

???AD—AE,

v乙DMA=z.F=Z.DAE=90°,

:.Z.ADM+乙DAM=90°,Z.DAM+/.FAE=90°,

:.Z.FAE=Z.ADM,

??.△ADM=AEAF,

:.AM=EF=4,

cAcDM3

vtanZ.BAD=—=-,

AM4

??.DM=3,AD=g+42=5，

???(BAN=Z.CAD=90°,Z.B=ZC,

???乙ANB=Z.ADC,

/.AN=AD=5,

???四邊形DAMH是矩形，

???AH=DM=3,HN=2,AM=DH=4,

???DN=J42+22=2V5,

???DM//AN,

BD_DM

BD+DN~AN

BD_3

BD+2V5-5

BD=3V5

故答案為3遍.

如圖，作DM1于M,ANA.AB^BC^N,DH1AN于H.首先證明△ADE是等腰直角三角形，利

用全等三角形的性質(zhì)可得4M=EF=4,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出DM=3,ADAN=5,再利

用平行線分線段成比例定理即可解決問題.

本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等

三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)特殊三角形這個突破點，屬于中考填空題中的壓軸

題.

17.答案：3.5

解析：解："D,E分別是△ABC的邊48,4C的中點，

?1.DE是△ABC的中位線，

???DE=-BC=-x7=3.5,

22

故答案為：3.5.

根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論.

本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

18.答案:16152

解析：解：；每條邊上的整點共有：2x1+1=3個，

出B2c2。2每條邊上的整點共有；2x2+1=5個，

正方形4383c3。3每條邊上的整點的個數(shù)有：2x3=1=7個，

?.?冬8道1歷四條邊上的整點共有8個，即4+4x1=8,

4282c2。2四條邊上的整點共有16個，即4+4X3=16,

正方形4383c3D3四條邊上的整點的個數(shù)有4+4x5=24,

二第律個正方形上的整點個數(shù)是：4+4(2n-1)=8n,

???正方形4019B2019c2019D2019四條邊上的整點的個數(shù)=2019X8=16152,

故答案為：16152.

根據(jù)題意可知：4B1GD1四條邊上的整點共有4+4X1=8,2c2。2四條邊上的整點共有4+4X

3=16,正方形4383c3。3四條邊上的整點的個數(shù)有4+4x5=24,尋找規(guī)律：第九個正方形上的整

點個數(shù)是：4+4(2n-1)=8n,進而可求出正方形4019B2019c2019D2019四條邊上的整點的個數(shù)?

本題主要考查對有關(guān)正方形的性質(zhì)和網(wǎng)格題問題的理解和掌握，總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

19.答案：解：如圖，過點B作BDlx軸于D,

???4(0,2),8(4,3),

???OA=2,BD=3,OD=4,

根據(jù)題意得：Z.ACO=/.BCD,

v/-AOC=(BDC=90°,

???△AOC^LBDCf

AOA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3,

OC=-OD=-x4=

555

AC=y/OA2+OC2=爭，

亞，

5

AC+BC=同.即這束光從點4到點B所經(jīng)過的路徑的長為"L

解析：首先過點B作BOlx軸于D,由4(0,2),5(4,3),即可得(M=2,BO=3,OD=4,由題意

易證得△AOCsABOC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得04：BD=OC：DC=AC-.BC=2：

3,又由勾股定理即可求得這束光從點4到點B所經(jīng)過的路徑的長.

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，掌握入射光線與反射光線的關(guān)

系.

20.答案：解：原式=1-1+4+(—2)+2x-

=3.

解析：直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)幕的性質(zhì)和負整數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分

別化簡得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

圖①圖②

(1)如圖①：

SMBC=：X5X3=￡.

??.△ABC即為所求作的圖形；

(2)如圖②：AABD即為所求作的圖形.

作于點。，。/_148于點/，

11

?1,S^ABD=5%BE=-AB,DF

???V10-BE=5x3

3V10

:.BDZE?=-----.

2

所以△AB。底邊上的高為雙友.

2

解析：⑴根據(jù)勾股定理可知AC為3x4格對角線，即可在圖①中畫出一個以4B為一邊的等腰△4BC,

使點C在格點上，且面積為奉

(2)根據(jù)tan/ZMB=3,即可在圖②中畫出一個以4B為一邊的等腰△ABD,使點。在格點上，且

tanZ.DAB=3,△480底邊上的高為3的三角形.

本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖、三角形的面積、等腰三角形的判定、解直角三角形，解決本題

的關(guān)鍵是準確畫出圖形.

22.答案：解:(1)如圖1,??,四邊形4BCD是菱形,

???AD=CD9Z.D=Z.ABC=60°,

???△4CD是等邊三角形，

???CFLAD,

：?AF=DF=3,

由勾股定理得：CF=V62-32=3^3?

-AD//BC,

???Z,BCF=乙CFD=90°,

vBC=6,

RMBCF中，BF=162+(3次尸=3近，

-AF//BC,

."_FG_1

??BC~BG~29

BG=2FG,

AFG=1^F=V7,

(2)如圖2,???4FHC=60。，

:.(BHC=120°,

vAD//BC,/.ABC=60°,

???匕BAD=120°=乙BHC,

^LAFC=(HBC,

圖2

*'?△BHCs>FAB,

.BH_AF

,,，

CHAB

???CH=2BH,

.-.AB=2AF,

..F是AD的中點，

???△4DC是等邊三角形，

A￡.ACF=-A.ACD=30°,

2

???Z.CAF=乙FHC=60°,

???4、H、C、F四點共圓，

.%Z,AHC+/-AFC=180°,

???Z,AFC=90°,

???Z,AHC=90°,

???AH1CE.

解析：(1)先根據(jù)有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形可得：△4CZ)是等邊三角形，利用勾股

定理得：CF=府二用=3V3,BF=舊+(3百尸=3夕，利用秤行線分線段成比例定理得：親=

*=3求得FG的長；

D(JZ

(2)如圖2,先證明ABHCs△凡4B,得瞿=%F是4D的中點，根據(jù)A/WC是等邊三角形，得乙ACF=

CnAB

\^ACD=30°,證明4、H、C、F四點共圓，則乙4HC+/4FC=180。，可得結(jié)論.

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、菱形的性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理、平行線分線段成比

例定理、四點共圓的判定和性質(zhì)，靈活運用相關(guān)的定理是解題的關(guān)鍵，第二問有難度，證明ABHCsA

F4B是關(guān)鍵.

23.答案：解：(1)「AC是。。的切線，

:.CA1/8,vEH1AB,

???乙EHB=乙CAB,???乙EBH=Z.CBA,

???△HBE?公ABC.

(2)連接AF.

??,AB是直徑，

:.Z.AFB=90°,

vzC=Z-C>乙CAB=Z-AFC,

CAF^/s.CBA,

???CA2=CFCB=36,

?--CA=6,AB=ylBC2-AC2=3店,AF=>JAB2-BF2=2遙，

DF=BD

A^EAF=Z.EAH,vEF1AF,EHLAB,

:?EF=EH,-AE=AE,

ARt△AEF=Rt△AEH,

.?.AF-AH=2A/5，設(shè)E尸=EH=x,

又HB=AB-AH=3層-2展=縣,

則在RMEHB中,(5-x)2=x2+(V5)2,

?*,x-2,

???EH=2.

解析：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

(1)根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明：ACAB=AEHB,由此即可解決問題；

(2)連接4孔由ACA尸一△C84推出C42=C/Z?CB=36,推出CA=6,AB=\/BC2-AC2=3V5，

AF=y/AB2-BF2=26，由Rt△AEF=Rt△AEH,推出AF=AH=2而，設(shè)EF=EH=x,在RtA

EHB中，根據(jù)勾股定理列方程(5—x)2=x2+(遙)2,解方程即可解決問題.

24.答案：⑴*3；

(2)如圖2,分別將AP/IB、4PBC、APAC沿直線力B、BC、4c翻折，點P的對稱點分別是點0、E、

F,連接DE、DF,

則4PAB^XDAB?△PCBm4ECB?△PAC=^FAC.

AD=AP=AF,BD=BP=BE,CE=CP=CF.

???由(1)知4ABC=30。，Z.BAC=60°,AACB=90°,

乙DBE=2Z.ABC=60°,4DAF=2484c=120°,

乙FCE=2Z.ACB=180°.

???△。8片是等邊三角形，點尸、C、E共線.

???DE=BD=BP=V10,EF=CECF=2CP=2.

???△/DF中，AD=AF=V2，/-DAF=120°,

???Z.ADF=乙AFD=30°.

???DF=V3AD=V6.

??,E~2+。產(chǎn)=I。=*

???乙DFE=90°.

S多邊形BDAFE=2SAABC=S^DBE+S〉DFE+^^DAF，

??,2s△.Be=日x(VTO)2+1xV6x2+|xV6x=3^/3+A/6.

.e_3V3+V6

??=2.

(3)4APB=150°.

解析：解：(1)???AB=2AC,PB=3,乙ACB=90°,(ABC=a,

.1

???sina=

2

???a=30°,

V3

Acosa=一，

2

如圖1,作P點關(guān)于AB以及BC的對稱點P',P",

BP=BP"=BP',△PMN的周長最小值等于P'P"的長，

???4ABC=30°,

AAP'BP"=60°,

.?.△BP'P"是等邊三角形,

BP'=BP"=3,

.??△PMN周長的最小值為：3；

故答案為：—,3：