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新人教版八年級—上冊.第十一章_《三角形》—導學

案

第十一章三角形IL1與三角形有關的線段11.1.1三角形的邊

學習目標：

1、明確三角形的相關概念；能正確對三角形進行分類；2、能利用三

角形三邊關系進行有關計算。新課導學：

三角形的有關概念一一閱讀課本第1至3頁，回答以下問題：

(1)三角形概念：由不在同一直線上的條線段連接所組成的圖形。

(2)三角形的表示法(如圖1)三角形ABC可表示為：；(3)AABC的

頂點分別為A、、；(3)AABC的內角分別為NABC,,；

(4)△ABC的三條邊分別為AB,,；或@,、；

(5)頂點A的對邊是，頂點B的對邊分別是，頂點C的對邊分別

是。三角形的分類：

(1)下圖中，每個三角形的內角各有什么特點？

(2)下圖中，每個三角形的三邊各有什么特點？

(3)結合以上圖形你認為三角形可以如何分類？試一試

①按角分類：②按邊分類：

(5)等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰的等腰三角形。

3、三角形的三邊關系

問題1：如圖，現有三塊地，問從A地到B地有幾種走法，哪一種走法

的距離最近？請將你的設計方案填寫在下表中：

微一-B地Ajt?—?C地一＞8地

比我

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A地

B地

(3)閱讀課本第3頁，填寫：三角形兩邊的和

(4)用式子表示：BC+ACAB(填上“>"或“<")①BC+AB

AC(填上“>”或“<”)②

4、例題：用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形，如果腰長是底

邊的2倍，那么各邊的長是多少？

解：設底邊長為xcm,則腰長是cm因為三角形的周長為cm

所以：所以x=cm

答：三角形的三邊分別是、、課堂練習：A組

1.①圖中有個三角形，分別為

AB+ACBC（填上“>"或“<”）③

第1題

②△ABC的三個頂點是、、；三個內角是、、

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2、如圖中有個三角形，用符號表示

3.判斷下列線段能否組成三角形：

(4)在等腰三角形中，叫做腰，另外一邊叫做，兩腰的夾角叫做，

①4,5,6()②1,2,3()③2,2,6()@8,8,2()叫做

底角。

-1-

A

A

圖(二)

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A

圖（三）

4、等腰三角形一腰長為6,底邊長為7,則另一腰為，周長為。5、

等腰三角形一邊長為6,一邊長為7,則第三邊是，周長為。

B組

例題：

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形，若有一邊的長為4cm,

那么另兩邊為多少？分析：

題中沒有說明已知的邊是底還是腰，所以4cm可以作底，也可以作腰,

本題分兩種情況；解：當長的邊4cm為底邊，設腰長為xcm,

則，x=；

當長的邊4cm為腰，設底邊為xcm,則，x=；

答：三角形另兩邊為思考：按上述方法求得線段能否構成三角形？

6、等腰三角形一邊長為8,一邊長為2,則第三邊是，周長為。

7、等腰三角形周長為22,一邊長為10,求另兩邊長；

8、等腰三角形周長為30,一邊長為8,求另兩邊長;

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9、等腰三角形周長為10,一邊長為6,求另兩邊長；

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

學習目標：

正確理解三角形的中線、角平分線、高；利用它們的性質解簡單幾何

計算題。課前知識：

如右圖，頂點A的對邊是,頂點B、C的對邊分別是、。NBAC的

對邊是，

ZABC,NBCA的對邊分別是、。新課導學：

1、閱讀課本第4頁至第5頁，了解什么是三角形的高線、中線、角平

分線；2、請在下圖中分別畫出三角形的高AD、中線AE、角平分線AF；

過點A作三角形的高AD

畫三角形的中線AE

畫角平分線AF

(1)三角形的中線(如圖一)：

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1

2

②AB=2=2(2)三角形的角平分線(如圖二)：

：BE是AABC中NABC的角平分線

.?.①/1=N2=ZABC②NABC=2/=2/(3)三角形的高線(如圖

三)?

VAD為△ABC中BC邊上的高，

.?.①!②/=Z=90°

-2-

四.鞏固練習：A組:

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1、按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線

3、如圖2,AD為AABC中BC邊上的高，ZB=35°,ZC=45°,則

ZBDA=°ZBAD=°,ZCAD=°。

4、如圖3,△ABC的周長為20,AB=6,AC=8,AD是BC邊上的中線，則

BC=,BD=,CD=。

5、下列三個圖中三個NB有什么不同？過點A作畫出下列三角形的

高，這三個三角形ABC的邊BC上的高AD在各自三角形的什么位置上？你能

說出其中的規律？

解：圖一NB是角，這個三角形ABC的邊BC上的高AD在

圖二NB是角，這個三角形ABC的邊BC上的高AD在圖三NB是角，

這個三角形ABC的邊BC上的高AD在

6、在aABC中，AD是中線，AE是角平分線、AF是高，填空：（1）

BD==

1

;2

(2)

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1

(3)(4)S

ABC

畫中線AD畫DF邊上的高EM

圖2

圖1

1

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7、如圖，在AABC中，ZBAC=60°,ZB=45°,AD是AABC的一條

角平分線，求NADB的度數。

8、ZB=30°,ZC=70°,AD、AE分別為BC邊上的角平分線、高。求

ZDAE的度數。、

C組：

如圖，△ABC中，AB=2,BC=4,AABC

的高AD與CE的比是多少？（提示：利用三角形的面積公式）

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2、如圖1：ZBAC=60°,AD是三角形ABC的角平分線，則NBAD=°,

ZCAD=°；

A

A

BC

圖㈠

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11.1.3三角形的穩定性及復習

學習目標：

1、了解三角形的穩定性；2、復習三角形有關線段新課導學：

閱讀課本第6頁至第7頁回答下列問題

蓋房子時，在窗框未安裝好前，木工師傅常先在窗框上斜釘一根木條,

為什么？

⑴

⑵

三角形有關線段復習

(3)(4)

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(5)

(6)

一、知識點:

按角分類三角形三條邊

的等腰三角形等腰三角形

三角形三邊的關系:

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1、三角形的任意兩邊之和第三邊；2、三角形的任意兩邊之差第三

邊。

如圖一，+>；->三角形的重要線段：

(1)三角形的高(2)三角形的中線(3)三角形的角平分線

如圖，在

中，AD±BC,AE平分NBAC,F是BC邊上的中點，則有

(1)AD1BC,Z=Z=90°

(2)?.,AE平分NBAC,AZ=/=/

(3)是BC邊上的中點，,==

(四)三角形的穩定性：

蓋房子時，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，(如右圖)為什么

要這樣做呢？

答：

練習：要是四邊形木架不變形，至少要在釘幾根木條？

至少要釘根木條至少要釘根木條根木條二、練習：(一)、選擇

題：

1.如圖，共有三角形的個數是()(A)3(B)4(C)5(D)6

2.以下列長度(cm)的三條小木棒，若首尾順次連接，能釘成三角形

的是()。(A)10、14、24(B)12、16、32(C)16、6、4(D)8、

10、12(二)填空：

1、如圖：AD、AE分別是

的角平分線和中線，如果

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ZBAD=50°,CE=5cm,那么NBAC=度，BC=cm；2、等腰三角形的

兩條邊長分別為10cm和5cm，它們的周長是cm。

3、已知等腰三角形的一邊長等于5cm,一邊長等于6cm,則它的周長

為cm。4、一個等腰三角形的周長是20cm,

（1）若一條邊長為5cm,則另兩邊的長分別為；（2）若一條邊長

為6cm,則另兩邊的長分別為。5、如圖，在aABC中，ZBAC=90°,AD

是BC邊上的高，DELAB于E,那么圖中共有個直角三角形。（三）按要

求畫出下列三角形的高

畫AC邊上高

畫DE邊上高

畫HG邊上高

-4-

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11.2與三角形有關的角11.2.1三角形的內角

學習目標:

（1）學會利用已學的相交線與平行線等相關性質證明三角形的內角和

定理；（2）初步了解什么是幾何證明，并感受證明幾何問題的基本結構和

推導過程；（3）基本學會利用三角形內角和定理解決生活中的實際問題。

新課導學：

N

圖1⑴

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（五）鞏固練習

比一比，看誰最快求出下列各圖形中，Z1,N2或N3的度數;

ZZ3=

（六）應用舉例

如圖3,C島在A島的北偏東50度方向，B島在A島的北偏東80度方

向，C島在B島的北偏西

40度方向，從C島看A、B兩島的視角NACB是多少度？

（-t）練習A組

A

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,則N1等于

2、若在AM上任取一點

(2),

E

則：（1）N2等于度，根據:

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（2）N3等于度，根據：（3）N1+N2+N3等于度。

（三）問題：任剪一個三角形，按下列要求進行實驗（1）先剪下NB

和NC（如圖2）,然后把它們與/A拼合在一起，就得到一個平角.有多

少種不同的拼合方法？請你把這些不同的方法分別拼出來；這個實驗說明

什么？你會證明嗎？

實驗說明：

（2）在（1）中你覺得哪幾種拼合的結果有助于發現證明三角形內角和

等于180度思路？它們有什么共同的特點？

（四）證明三角形內角和定理：三角形的三個內角和等于180°；

已知：如圖3,三角形ABC求證：NA+NB+NC=證明：（方法一）

2、求下列圖形中的Nl、N2的度數：

（1）（2）（3）

AB〃CD

Zl=°Zl=°Zl=°Z2=°Z2=°Z2=°3、如圖，從A處觀測C

處時仰角/CAD=30。，從B處觀測C處時仰角為NCBD=45°,則NCBA是度，

第3題

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圖2

從C處觀測A,B兩處時視角NACB是度。

B組

4、如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD,其中NA=150

度，NB=ND=40度，求NC的度數。

9、如圖3,A島在B島的北偏東50度方向，C島在B島的北偏東80度

方向，C島在A島的現偏東30度方向，從C島看A、B兩島的視角NACB

是多少度？

5、如圖，AD±BC,Z1=Z2,NC=65°，求NBAC的度數。

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B

D

第5題

6、在三角形ABC中NB=NA+10°,ZC=ZB+10°,求三角形ABC的各

內角的度數；

7、如圖，AB〃CD,ZA=40°,ZD=45°,求N1和N2；

8、如圖AB〃CD,ZA=45°,ZC=ZE,求NC；

第七章三角形（五）一一三角形的外角

學習目標：

1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的兩條性質定理；

2.能用三角形外角的有關定理解答問題。復習回顧：

1、三角形內角和定理：三角形的內角和等于。2、如圖，^ABC中

NA+NB+NC=

3、如圖，在AABC中若NA=60°,ZB=35°,則NACB=°,

NACD=；新課導入：

（一）認識三角形的外角，閱讀課本第74頁，了解什么是三角形的外

角，并回答下列問題：1、如圖，AABC的一個外角是；2、如圖，若

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ZC=50°,ZB=28°,則NBAC=°NDAB=°（二）三角形外角的性質定

理：

1、如圖，△ABC的一個外角是

,和它不相鄰的內角

-6-

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（第4題）

是，。

2、猜想：NBAD和NB、NC之間的關系是。證明：

歸納：①三角形的一個外角等于；②三角形的一個外角大于一個。

幾何語言：Z1=Z+N；

ZABE=+；Z1>Z；Z1>Z；

（三）三角形的外角和一一每一個三角形的內角相應地取其中一個外角

相加的結果；

思考：如圖，Zl+Z2+Z3=°（你能證明得到的結論嗎？）證明：

歸納：三角形的外角和等于°

三、鞏固練習：A組：計算:

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2、如圖，CE〃AB

AZ2=°ZCDE=°,ZE=°3、ZA,ZB,NC是AABC的三個

內角，ZA=90°,ZB=55°,則NC=°

4、ZA,ZB,NC是△ABC的三個內角，NA=90°,ZB=55°,則與

NC相鄰的外角=°

5、右圖：AACD的外角是。

6、下列說法正確的是（）

A.三角形的一個外角大于它的一個內角；B.三角形的一個外角等于

它的兩個內角；

C.三角形的一個外角等于和它不相鄰兩個內角的和；D.以上答案都

不對。

B組：

1、下列各圖中，表示N1是aABC的外角的是（）

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1

2

2AB

C

D

A、NEFD是ABFC的一個外角；B、NDFC是ABFC的一個外角；C、

ZEFD+ZFBC+ZFCB=180°；

.\Z1=AZ2=°AZ3=°

D、ZCDF=ZA+ZABD

3、如圖，D是AABC邊上的一點,E是BD上一點，則對Zl>N2、

NA之間的關系描述正確的是（）。A、ZA<Z1>Z2B、

Z2>Z1>ZAC、Z1>Z2>ZAD、無法確定

Z4=°，N5=°AZ6=°

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第3題

4、填空：

(1)一個三角形最多有個直角，一個三角形最多有個鈍角；

(2)一個三角形的三個外角中，最多有個銳角，最多有個直角，最

多有個鈍角。

5、如右圖：D是AABC中BC邊上的一點，ZB=ZBAD,ZADC=80°,

ZBAC=70°,求：ZB,NC的度數。

6、如右圖：在直角三角形ABC中，CD_LAB于D,ZBCD=35°,求

NA、NEBC的度數。C組：

如圖，4ABC中，分別延長aABC的邊AB、AC到D、E,NCBD與NBCE

的平分線相交于點P,愛動腦筋的小明在寫作業的時發現如下規律：若/A

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=50°,則NP=°；若NA=90°,則NP=°；若NA=100°,貝UNP

_O

請你用數學表達式歸納NA與NP的關系，并說明理由。

第七章三角形（六）一一練習2

一、知識點：三角形的角：

1.三角形的內角和等于°2.三角形的外角和等于°如圖，Z是

的一個外角3.三角形外角性質：

第2、3小題

如圖，ZACD=Z+Z；

（2）三角形的一個外角大于。如圖，ZACD>；ZACD>三角形的

三邊關系：

三角形的任意兩邊之和第三邊；三角形任意兩邊之差第三邊。即：

三角形兩邊<三角形的第三邊〈三角形的兩邊

二、練習：

2.有一塊直角三角形紙片ABC,把它折疊，使點C落在AB邊上。若

ZC=90°,NB=40°,則NDAB=。3.在△ABC中（如圖），BD平分

ZABC,ZA=36°,ZC=72°,

那么NABD的度數是；NBDC的度數是。

4、等腰三角形的兩條邊長分別為8cm和5cm,它們的周長是cm

5.一個等腰三角形的周長是18cm,其中一邊長為5,則其余兩邊的長

分別是。

6.如圖：1〃2,Zl=80°,Z2=30°,求N3的度數；B條且

7.如圖：AB〃CD,AD//CD,Zl=50°,Z2=80°。（1）ZBDC,

NDBC分別是多少度？（2）/C等于多少度？

-8-

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第2題

1.如圖：AB〃CD,AD和BC交于點0

,若NA=42°ZC=59°,則NAOB等于.

第1題

11

第6題

第7題

（1）三角形的一個外角等于；

8.在AABC中，若NA:NB:NC=2:3:4,則NA、NB度數

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9.在中

10.在中-35。，求

11.如圖：Z\ABC中,ZACB=90°,CD是斜邊上的高，如果NA=2NB,

求NB,NACD的度數。

-9-

C/且

12.如圖，AB〃CD,ZBAE=ZDCE=45°,求NE的度數。

1

求

13.已知4ABC中AB=AC,且BD平分AC,若BD把4ABC的周長分為

12cm和15cm兩部分，求三邊的長。

第七章三角形（七）多邊形的內角和與外角和1

一、學習目標:

八l

B----------c

4

256

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了解多邊形外角，并能簡單識別掌握多邊形內角和定理、外角和公式的

推導方法能靈活運用定理和公式進行計算解決問題。二、教學過程：

環節一、復習回顧，如圖，填空：(1)Zl+Z2+Z3=；(2)

Z4+Z5+Z6=；

(3)Z4=Z+Z；Z5=+；(4)Z6>Z；Z6>Z

環節二、學習多邊形的有關概念，閱讀課本第79至80頁，回答：1、

由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做。

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2、如果一個多邊形由n條線段組成，你們這個多邊形就叫做n邊形，

填空：

邊形邊形邊形

3、閱讀課本，了解凸多邊形的概念，并判斷下列圖形是凸多邊形有；

4、連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的。

環節三、新課探索：（一）多邊形的內角和：

1、回憶：三角形的內角和等于度；2、問題：四邊形的內角和又會是

多少？即：ZA+ZB+ZC+ZD=o你會利用所學知識說明以上結論？

3、探索規律：（仿照以上問題中做對角線的方法進行研究）5、如

圖，請畫出下列多邊形中的A點與其他頂點的對角線，并回答問題：

四邊形被對角線分成個三角形五邊形被對角線分成個三角形

6、各角都，各邊都的多邊形叫正多邊形

正邊形正邊形正邊形正邊形

-10-

n邊形的內角和=o

（二）問題：多邊形的外角和是多少？1、試一試：如圖：

VZ4+Z5+Z6=°

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Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=°

.*.Z1+Z2+Z3=°

...三角形的外角和為°

(2)如圖：VZ5+Z6+Z7+Z8=°

且N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=°

.*.Z1+Z2+Z3+Z4=°工四邊形的外角和為°

(3)如圖：VZ6+Z7+Z8+Z9+Z10=°

HZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7+Z8+Z9+Z10=°AZ1+Z2+Z3

+N4+N5=°，五邊形的外角和為°2、歸納：任意多邊形的外角和都

為°環節四、課堂練習1、求出下列圖中X的值：

第七章三角形（A）多邊形的內角和與外角和2

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一、學習目標：

熟練掌握多邊形的相關概念，并能運用定理以及公式解決問題。二、

學習過程環節一、知識點回顧：

1、多邊形的內角和是。2、多邊形的外角和是。

環節二：練習A組

X二X二X二X二

2、求八邊形的內角和的度數與外角和度數。

解：由內角和公式，得由

外角和公式，得八邊形外角和是。答：八邊形的內角和是，外角和是。

3、n邊形的外角和等于度；若一個n邊形的每個外角都為72°,那么

這個多邊形的邊數n為。4、一個多邊形的內角和為1980°,求多邊形的

邊數。

解：設這個多邊形的邊數是n,根據多邊形內角和公式得

（一）填空

1、從五邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，它們將五邊形分

成個三角形。

2、八邊形的內角和是，外角和是；如果八邊形的各個內角都相等，

那么它的每一個內角都等于。

3、十邊形的內角和為，外角和為；正十邊形的每個內角為，每個

外角為。

4、n邊形的外角和等于度；若一個n邊形的每個外角都為24°,那么

邊數n為。

5、填表:

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6、邊形的內角和與外角和相等；

7、(1)一個多邊形的內角和是外角和的一半，求這個多邊形的邊數。

-11-

解上述方程得：

答：這個多邊形的邊數是；

5、命題：如果一個四邊邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補

已知：如圖，已知四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°；求證：ZB+ZD

=180°證明：

(2)一個多邊形的內角和是外角和的2倍，求這個多邊形的邊數。

解：(1)設這個多邊形的邊數為n,則(2)設這個多邊形的邊數為

n,則

8、如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC,NB=ND；

求證：AB〃CD,BC〃AD；

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3、如圖，正六邊形ABCDEF中，ZDAB=60°o試判斷AB與DE有什么

關系？BC與EF有什么關系？

1、如圖BCLCD,Z1=Z2=Z3,Z4=60°,Z5=Z6.(1)CO是4BCD

的高嗎？為什么？(2)N5的度數是多少？

(3)求四邊形ABCD各內角的度數。

C組

將一張六邊形紙片剪去一個角后，形成的新多邊形的內角和是多少？A

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2、如圖，五邊形ABCDE的內角都相等，且N1=N2,Z3=Z4,求x

的值。

第七章三角形（九）一一復習

一、學習目標：

了解三角形的有關概念，能正確畫出三角形的高、中線、角平分線，掌

握三角形、多邊形的內角和定理，掌握多邊形的外角和定理，并會應用；

二、知識點：三角形的分類：

銳角三角形----三角形------三角形------

：AF是的一條中線工二=三角形的一些性質：

1.三角形的內角和等于°如圖，在中：3.三角形外角性質

1

2

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2、三角形的外角和等于°

如圖：ZACD=Z+/；；；4、三角

形的三邊關系：

（1）三角形的任何兩邊之和。（2）三角形的任何兩邊之差。

如圖，中，若BC<AC,則；

、三角形具有性。（四）多邊形的有

關概念及性質：1、正多邊形：

如果多邊形滿足條件、，則稱為正多邊形。2、多邊形的對角線：

多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點的線段。3、多邊形的一些性

質：（1）n邊形的內角和等于。（2）n邊形的外角和等于。（3）正

n邊形的每一個內角等于。

三、練習：（一）填空題：

1.如圖：AD、AE分別是的角平分線和BC邊上的中線，如果

ZBAC=100°,CB=10cm,那么NDAC=度，EC=cm；

2.已知NA、NB、NC是aABC的三個內角.

（1）如果NA=90°,ZC=55°,那么NB=；（2）如果

ZA=50°,ZB=ZC,那么NB=；

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按角分類<

工等

按邊分類<

等F

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(-)三角形的重要線段：

(1)三角形的高線，如圖，在中

：AD是的一條高=90°

(2)三角形的角平分線，如圖，在中

???AE是的一條角平分線

.t.Z=/=/

2

(3)三角形的中線，如圖，在中

(3)如果NA=90°,ZB-ZC=30°,那么/B=_____,

NC=；(4)如果NC=4NA,ZA+ZB=100°,那么NA=

，NB=,

3.如圖：AB±BD,AC1CD,若NA=40°,貝

,ZD=；4.已知△ABC是等腰三角形,

(1)如果它的兩條邊長的長分別為8cm和5cm，那么它的周長是。

(2)如果它的周長為18cm,一條邊的長為4cm,那么另兩邊長是。

5.已知三角形的三邊分別為2,a,4,那么a的取值范圍是。6.如

圖，在aABC中，NACB=NABC=2NA,BD是AC邊上的高，則NDBC=7.從

八邊形的一個頂點出發，可以引條對角線，把這個八邊形分成個三角形。

(二)填表

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*Q電衲通■K

的年牌收

(1)在圖1中作aABC的中線BD；

(2)在圖2中過點A作AABC的角平分線AE；(3)在圖3中作4ABC

的高AF、CG；

(四)解答題：

1、已知：如圖，NB=42°,ZA+10°=Z1,NACD=64°求證：

2、如圖，在aABC中，AD是高，AE,BF是角平分線，它們相交于點

0,NBAC=50°,ZC=70°,求NDAC,ZBOA.

※3、如圖，Z1=Z2,Z3=Z4,ZA=1100,求x的值。

※人已知aABC的NB和NC的平分線BE,CF交于點G；

求證:(1)ZBGC=180°

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(ZABC+ZACB)21

(2)ZBGC=90°+ZA

2

第七章三角形鑲嵌一一用正多邊形拼地磚

一、學習目標:

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明確什么樣的正多邊形可以拼地板。

明確用多種正多邊形拼地板的理論依據。二、新課探索：

環節一、用相同的正多邊形拼地板：1、用相同的正三角形拼地板（如

右圖）

?.?正三角形的每一個內角為一°,即

Z1=Z2=Z3=Z4=Z5=Z6=°/.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=

2、用相同的正四邊形拼地板（如右圖）???正四邊形的每一個內角為

,°即N1=N2=N3=N4=__°

由正六邊形和正三角形組成

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yyyyY

AA23AAA

.-.Zl+Z2+Z3+Z4=____°

3、用相同的正六邊形拼地板（如右圖）???正六邊形的每一個內角為

,°,BPZ1=Z2=Z3=°.\Z1+Z2+Z3=____°

結論：使用