金學導航大聯考2025屆高二上數學期末復習檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A B.C. D.3．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.4．若執行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.505．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.16．已知數列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.117．某城市2017年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數3060100110130140概率其中污染指數時，空氣質量為優；時，空氣質量為良；時，空氣質量為輕微污染，該城市2017年空氣質量達到良或優的概率為（）A. B.C. D.8．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數m的取值范圍為（）A. B.C. D.且9．設的內角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.10．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.11．已知等比數列滿足，則q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－312．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，右焦點到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點P是雙曲線C上一點，滿足，，則雙曲線C的方程為______14．拋物線的準線方程是，則實數___________.15．已知等比數列的前n和為，若成等差數列，且，，則的值為_______________16．已知數列的前n項和為，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為F，以F和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內切圓的面積小于18．（12分）已知等差數列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設數列的前項和為，用符號表示不超過x的最大數，當時，求的值.19．（12分）我們知道，裝同樣體積的液體容器中，如果容器的高度一樣，那么側面所需的材料就以圓柱形的容器最省.所以汽油桶等裝液體的容器大都是圓柱形的，某臥式油罐如圖1所示，它垂直于軸的截面如圖2所示，已知截面圓的半徑是1米，弧的長為米表示劣弧與弦所圍成陰影部分的面積.（1）請寫出函數表達式；（2）用求導的方法證明.20．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長；（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的一點，若為等邊三角形，求的取值范圍.21．（12分）已知圓心在直線上，且過點、（1）求的標準方程；（2）已知過點的直線被所截得的弦長為4，求直線的方程22．（10分）已知函數（a為常數）（1）討論函數的單調性；（2）不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據已知條件可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.2、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.3、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選4、A【解析】根據框圖逐項計算后可得正確的選項.【詳解】第一次循環前，；第二次循環前，；第三次循環前，；第四次循環前，；第五次循環前，此時滿足條件，循環結束，輸出S的值是18故選：A5、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當截距都為零時，直線過原點，；當截距不為零時，，.綜上：或.故選：A.6、C【解析】利用遞推關系，結合取值，求得即可.【詳解】因為，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故選：C.7、A【解析】根據互斥事件的和的概率公式求解即可.【詳解】由表知空氣質量為優的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質量達到良或優的概率，故選：A【點睛】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.8、A【解析】根據雙曲線定義，且焦點在y軸上，則可直接列出相關不等式.【詳解】若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：9、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內角的性質及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.10、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結合余弦定理得，進而根據基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，設，進而結合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.11、C【解析】根據已知條件，利用等比數列的基本量列出方程，即可求得結果.【詳解】因為，故可得；解得.故選：C.12、C【解析】根據所給的圖形和一組基底，從起點出發，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結論【詳解】解：故選：【點睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現不是基底中的向量的情況，再重復這個過程，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##1.5②.【解析】求得焦點到漸近線的距離可得，計算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計算即可得出結果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.14、##【解析】將拋物線方程化為標準方程，根據其準線方程即可求得實數.【詳解】拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故答案為：15、107【解析】根據等比數列和等差數列的通項公式，根據題意列方程可得，從而求出或，再根據，確定，進而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設等比數列的公比為，首項為，由成等差數列可得：，代入可得：，解得：或，又因為，易知，又因為，，所以，，故答案為：107.【點睛】本題考查了等差中項和等比數列的通項公式，考查了和的關系，同時考查了計算能力，屬于中檔題.16、【解析】先通過裂項相消求出，再代入計算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解析】(1)根據幾何關系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長)可求內切圓半徑r.【小問1詳解】由題意焦點到準線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問2詳解】設直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實數滿足要求【小問3詳解】由(2)知，，點F到直線AB的距離，∴的面積記的內切圓半徑為r，∵，∴∴內切圓的面積小于18、（1）（2）9【解析】(1)首先根據已知條件分別求出的首項和公差，然后利用等差數列的通項公式求解即可；(2)首先利用等差數列求和公式求出，然后利用裂項相消法和分組求和法求出，進而可求出的通項公式，最后利用等差數列求和公式求解即可.【小問1詳解】不妨設等差數列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項公式為.【小問2詳解】由題意可知，，所以，故，因為當時，；當時，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.19、（1），（2）證明見解析【解析】（1）由弧長公式得，根據即可求解；（2）利用導數判斷出在上單調遞增，即可證明.【小問1詳解】由弧長公式得，于是，【小問2詳解】cos，顯然在上單調遞增，于是.20、（1）2（2）【解析】（1）根據題意表示出的面積，即可求得結果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據是等邊三角形，得到，聯立直線和橢圓方程，用點的坐標表示上述關系式，化簡即可得答案.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以，，所以，則橢圓的短軸長為2.【小問2詳解】若為等邊三角形，應有，即.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，且，此時若為等邊三角形，則點應為長軸頂點，且，即.當直線的斜率為0時，直線的方程為，且，此時若為等邊二角形，則點應為短軸頂點，此時,不為等邊三角形.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因為，所以，解得.因為，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.21、（1）；（2）或.【解析】（1）由、兩點坐標求出直線的垂直平分線的方程與直線上聯立可得圓心坐標，由兩點間距離公式求出半徑，即可得圓的標準方程；（2）設直線的方程，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理結合勾股定理列方程求出的值，即可得直線的方程【詳解】由點、可得中點坐標為，，所以直線的垂直平分線的斜率為，可得直線的垂直平分線的方程為：即，由可得：，所以圓心為，，所以的標準方程為，（2）設直線的方程為即，圓心到直線的距離，則可得，即，解得：或，所以直線的方程為或，即或22、（1）當