2025屆廣東省廣州市越秀區實驗中學高二數學第一學期期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.2．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關系為A. B.C.與相交但不垂直 D.3．集合，則集合A的子集個數為（）A.2個 B.4個C.8個 D.16個4．已知為偶函數，且當時，，其中為的導數，則不等式的解集為()A. B.C. D.5．設，則曲線在點處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或117．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點，則直線BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.8．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg9．傾斜角為120°，在x軸上截距為－1的直線方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝010．已知為虛數單位，復數是純虛數，則（）A B.4C.3 D.211．下列通項公式中，對應數列是遞增數列的是（）A B.C. D.12．已知函數，那么“”是“在上為增函數”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列中，.若為等差數列，則______.14．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________15．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.16．橢圓方程為橢圓內有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）已知函數,.(1)討論函數的單調性;(2)若不等式在上恒成立,求實數的取值范圍.19．（12分）王同學入讀某大學金融專業，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續.設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數列{-5000}為等比數列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？20．（12分）為了謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進學生對中國共產黨的熱愛，某學校舉辦了一場黨史競賽活動，共有名學生參加了此次競賽活動．為了解本次競賽活動的成績，從中抽取了名學生的得分（得分均為整數，滿分為分）進行統計，所有學生的得分都不低于分，將這名學生的得分進行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖（1）求圖中的值，估計此次競賽活動學生得分的中位數；（2）根據頻率分布直方圖，估計此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學進行獎勵，請估計在參賽的名學生中有多少名學生獲獎21．（12分）已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.22．（10分）已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準線為，所以根據拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.2、A【解析】.本題選擇A選項.3、C【解析】取，再根據的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因為，所以.時,，時,，時,，時,，所以集合，所以的子集的個數為，故選：C.4、A【解析】根據已知不等式和要求解的不等式特征，構造函數，將問題轉化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調性即可解該不等式.【詳解】令，則根據題意可知，，∴g(x)是奇函數，∵，∴當時，，單調遞減，∵g(x)是奇函數，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調遞減，由不等式得，.故選：A.5、C【解析】根據導數的概念可得，再利用導數的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C6、A【解析】利用平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A7、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則令，得.因為，所以，故直線BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.8、D【解析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤故選D9、D【解析】由傾斜角求出斜率，寫出斜截式方程，再化為一般式【詳解】由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故選：D.【點睛】本題考查直線方程的斜截式，屬于基礎題10、C【解析】化簡復數得，由其為純虛數求參數a，進而求的模即可.【詳解】由為純虛數，∴，解得：，則，故選：C11、C【解析】根據數列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數列是遞減數列．對于C選項，，故數列是遞增數列．對于D選項，由于．所以數列不是遞增數列故選：C.12、A【解析】對函數進行求導得，進而得時，，在上為增函數，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當時，，在上為增函數.所以在上為增函數，是充分條件；反之，在上為增函數或，不是必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數列，則，解得故答案為：14、【解析】因為，所以，即，故15、【解析】由中點坐標公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：16、【解析】設，利用“點差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設直線與橢圓交于，則.因為AB中點,則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解.【小問1詳解】由，可得，則.∴，在中，，則，∵，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】選擇條件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根據輔助角公式，可得，∵，∴，即，故選擇條件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，則.在中，，∴.故.選擇條件③由，得，即，整理得，由于，則方程無解，故不存在這樣的三角形.18、（1）時，函數在單調遞增，無減區間；時，函數在單調遞增，在單調遞減.（2）.【解析】（1）對求導得到，分和進行討論，判斷出的正負，從而得到的單調性；（2）設函數，分和進行討論，根據的單調性和零點，得到答案.【詳解】解:（1）函數定義域是，，當時，，函數在單調遞增，無減區間；當時，令，得到，即，所以，，單調遞增，，，單調遞減，綜上所述，時，函數在單調遞增，無減區間；時，函數在單調遞增，在單調遞減.（2）由已知在恒成立，令，，可得，則，所以在遞增，所以，①當時，，在遞增，所以成立，符合題意.②當時，，當時，，∴，使，即時，在遞減，，不符合題意.綜上得【點睛】本題考查利用導數討論函數的單調性，根據導數解決不等式恒成立問題，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關系，變形后利用等比數列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數列的通項公式求出，再求出，再計算即可得出結論.【小問1詳解】依題意，第1個月底股票市值則又∴數列是首項為1200，公比為1.2的等比數列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學將一年理財投資所得全部取出來是足夠的.20、（1），中位數為；（2）得分的平均值為，估計有260名學生獲獎.【解析】(1)根據給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1計算得值；再由在中位數兩側所對小矩形面積相等即可計算得解.(2)由頻率分布直方圖求平均數的方法求出得分平均值即可估計；再求出不低于平均分的頻率即可估計獲獎人數.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設此次競賽活動學生得分的中位數為，因數據落在內的頻率為0.4，落在內的頻率為0.8，從而可得，由得：，所以，估計此次競賽活動學生得分的中位數為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數據落在，，，的頻率分別為，，此次競賽活動學生得分不低于82的頻率為，則，所以估計此次競賽活動得分的平均值為，在參賽的名學生中估計有260名學生獲獎.21、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線焦半徑公式即可得解；