2025屆廣西壯族自治區(qū)百色市高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列問題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B.擲一顆質地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5概率D.同時擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率2．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件4．若點是函數(shù)圖象上的動點（其中的自然對數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件7．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字構成平面直角坐標系內點的橫、縱坐標，其中不在軸上的點有（）A.36個 B.30個C.25個 D.20個8．數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項之積，若，則的值是（）A.1024 B.256C.2 D.5129．（）A. B.C. D.10．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，若函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則（）A. B.C. D.11．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.612．有甲、乙兩個抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側面積為______________

.14．雙曲線的離心率為，則它的一個焦點到一條漸近線的距離為______15．在平面上給定相異兩點A，B，點P滿足，則當且時，P點的軌跡是一個圓，我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.16．不等式的解集是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側面為等腰直角三角形，，，點E為棱AD的中點（1）求證：平面ABCD；（2）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值18．（12分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心在軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于（1）求圓的標準方程；（2）設過點的直線與圓交于不同的兩點、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請說明理由19．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點,當弦長最短時,求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點的軌跡方程22．（10分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】A、B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數(shù)是無限多個；D項中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個．故選D【考點】古典概型的判斷2、B【解析】運用不等式的性質及舉反例的方法可求解.詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因為，所以，所以，故D不正確.故選：B3、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結合不等式的性質，即可求解.【詳解】由，可得，即，當時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.4、A【解析】設，，設與平行且與相切的直線與切于，由導數(shù)的幾何意義可求出點的坐標，則到直線的距離最小值為點到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設，，設與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A5、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.6、C【解析】若p成立則q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要條件.【詳解】因為>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要條件.故選：C.7、C【解析】根據(jù)點不在y軸上，分2類根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解.【詳解】因為點不在軸上，所以點的橫坐標不能為0，分兩類考慮，第一類含0且為點的縱坐標，共有個點，第二類坐標不含0的點，共有個點，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有個點.故選：C8、D【解析】設數(shù)列的公比為q，由已知建立方程求得q，再利用等比數(shù)列的通項公式可求得答案.【詳解】解：因為數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項之積，，設數(shù)列的公比為q，所以，解得，所以，故選：D.9、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.10、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關于點對稱，判斷得函數(shù)的圖象關于點對稱，即，則化簡可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題11、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D12、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進而結合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由圓柱軸截面的性質知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側面積公式，即可求其側面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側面積為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)雙曲線離心率為，可得的值，進而可得雙曲線焦點到一條漸近線的距離.【詳解】由雙曲線離心率為，得，即，故雙曲線方程為，焦點坐標為，漸近線方程為：，故焦點到漸近線的距離為，故答案為：.15、【解析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結合離心率求出和的值，進而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設，，因為即兩邊平方整理得：所以圓心為，半徑因為的面積的最大值為3所以，解得：因為橢圓離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點睛】思路點睛：本題先根據(jù)已知的比例關系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進而求得面積的最值.16、【解析】把原不等式的右邊移項到左邊，通分計算后，根據(jù)分式不等式解法，然后轉化為兩個一元一次不等式組，注意分母不為0的要求，求出不等式組的解集即為原不等式的解集【詳解】不等式得，故，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，(2)【解析】（1）題中易得，，利用勾股定理可得，從而可證得線面垂直；（2）以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，用空間向量法求線面角的正弦值【詳解】（1）證明：在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側面為等腰直角三角形，，，點E為棱AD的中點，，，，，，，平面ABCD（2）以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，0，，，0，，，，，，設平面PBC的法向量y，，則，取，得1，，設直線AB與平面PBC所成角，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為：【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求線面角．空間角的求法一般都是建立空間直角坐標系，用空間向量法求得空間角18、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）設圓心，設圓的半徑為，可得出，根據(jù)已知條件可得出關于實數(shù)的方程，求出的值，可得出的值，進而可得出圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在，可設直線的方程為，設點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，由可求得的取值范圍，列出韋達定理，分析可得，可求得點的坐標，由已知可得出，求出的值，檢驗即可得出結論.【小問1詳解】解：設圓心，設圓的半徑為，則，由題意可得，由勾股定理可得，則，由題意可得，解得，則，因此，圓的標準方程為.【小問2詳解】解：若直線的斜率不存在，此時直線與軸重合，則、、三點共線，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，可設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，解得或，由韋達定理可得，，則，因為四邊形為平行四邊形，則，因為，則，則，解得，因為或，因此，不存直線，使得直線與恰好平行.19、（1）（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列前n項和公式求出；（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項公式，；【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.20、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標坐標，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知,設，聯(lián)立方程組，消得，由韋達定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量的坐標表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題21、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過的定點,再根據(jù)弦長|AB|最短時,求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點.當弦