專題11反比例函數的圖像與性質【考點剖析】1、一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式.自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。2、反比例函數圖像的性質反比例函數(為常數，)的圖像是雙曲線（如下圖）；①當時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限內，在每一個象限內，隨的增大而減小；②當時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限內，在每一個象限內，隨的增大而增大.注意：函數圖像關于和對稱.，關于原點中心對稱.3、反比例函數的幾何意義如圖一，在反比例函數圖像上任選一點，向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為.如圖二，所圍成三角形的面積為.4、反比例函數的解析式的求法反比例函數的解析式中，只有一個系數，確定了的值，也就確定了反比例函數的解析式．因此，只需給出一組、的對應值或圖像上一點的坐標，利用待定系數法，即可確定反比例函數的解析式．反比例函數的定義【典例】例1．下列所給的兩個變量之間，是反比例函數關系的有（）（1）某村有耕地346.2hm2，人口數量n逐年發生變化，該村人均占有的耕地面積m（hm2/人）與全村人口數n的關系；（2）導體兩端的電壓恒定時，導體中的電流與導體的電阻之間；（3）周長一定時，等腰三角形的腰長和底邊邊長之間；（4）面積5cm2的菱形，它的底邊和底邊上的高之間．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．若函數y＝（2m﹣1）是反比例函數，則m的值是（）A．﹣1或1 B．小于的任意實數 C．﹣1 D．1【鞏固練習】1．下列選項中，兩種量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是（）A．時間一定，路程與速度 B．圓的周長與它的半徑 C．被減數一定，減數與差 D．圓錐的體積一定，它的底面積與高2．已知y＝（m+1）xm+2是反比例函數，則函數的圖象在（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限3．若函數y＝（m﹣1）是反比例函數，則m的值是（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1反比例函數的圖像與性質【典例】例1．如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于AB、兩點，分別以AB、兩點為圓心，畫與x軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是（）A． B． C．π D．4π例2．已知點A（1，y1），B（2，y2）在函數y的圖象上，且y1＜y2，則k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≠1 D．k為任意實數例3．若點A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函數y的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1例4．函數y與y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．【鞏固練習】1．關于雙曲線y的圖象，以下說法正確的是（）A．雙曲線的兩支既關于x軸對稱又關于y軸對稱 B．雙曲線的兩支既不關于x軸對稱又不關于y軸對稱 C．雙曲線的兩支不關于x軸對稱但關于y軸對稱 D．雙曲線的兩支關于x軸對稱但不關于y軸對稱2．已知直線y＝k1x與雙曲線y（k1≠0）的一個交點的坐標為（﹣1，3），則它們的另一個交點的坐標是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）4．在反比例函數y圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）A．k＝2 B．k＞0 C．k＞2 D．k＜25．若點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數y的圖象上，x1＜x2＜0，則y1、y2的大小關系為（）A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．0＞y1＞y2 D．0＞y2＞y16．已知一次函數y＝kx﹣1和反比例函數y，則這兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．反比例函數k的幾何意義【典例】例1．如圖，過點P（2，3）分別作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，PC，PD分別交反比例函數y（x＞0）的圖象于點A，B，△OAB的面積為，則k的值是（）A．2 B． C． D．3【鞏固練習】1．如圖，點A在雙曲線y上，點D在雙曲線y上，且AD∥x軸，B、C在x軸上，則矩形ABCD的面積為______．2．如圖，點A、點B分別在反比例函數y和y的圖象上，且AB∥x軸，則△OAB的面積等于____________．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A是反比例函數y的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸于點B，點C在y軸的負半軸上，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則m的值為（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．54．如圖，函數y＝﹣x與函數y的圖象相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D．則四邊形ACBD的面積為______．5．如圖，A、B兩點在雙曲線y上，分別經過A、B兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于（）A．4 B．4.2 C．4.6 D．5反比例函數解析式【典例】例1．如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A（﹣2，0），B（6，0），D（0，3），函數y（x＞0）的圖象G經過點C．（1）求點C的坐標和函數y（x＞0）的表達式；（2）將四邊形ABCD向上平移2個單位得到四邊形A'B'C'D'，問點B'是否落在圖象G上？【鞏固練習】1．已知y與x﹣1成反比例，且當x＝2時，y＝3，求當y＝6時x的值．2．如圖，已知點P在雙曲線y（x＞0）上，連結OP，若將線段OP繞點O逆時針旋轉90°得到線段OQ，求經過點Q的雙曲線的表達式．3．如圖，函數y（x＞0）和y（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設點P在l2上，PA∥y軸交l1于點A，PB∥x軸，交l1于點B，求△PAB的面積．函數圖像探究【典例】例1．已知關于x的函數yx，如表是y與x的幾組對應值：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…﹣22…如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點畫出了此函數的圖象請你根據學習函數的經驗，根據畫出的函數圖象特征，對該函數的圖象與性質進行探究：（1）該函數的圖象關于________對稱；（2）在y軸右側，函數變化規律是當0＜x＜1，y隨x的增大而減小；當x＞1，y隨x的增大而增大．在y軸左側，函數變化規律是__________________________________．（3）函數y當x________時，y有最______值為______．（4）若方程x＝m有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是____________________．【鞏固練習】1．有這樣一個問題：探究函數y的圖象與性質．小美根據學習函數的經驗，對函數y的圖象與性質進行了探究．下面是小美的探究過程，請補充完整：（1）函數y的自變量x的取值范圍是____________________；（2）下表是y與x的幾組對應值．x﹣2﹣11234…y0﹣1m…求m的值；（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點．根據描出的點，畫出該函數的圖象；（4）結合函數的圖象，寫出該函數的一條性質：___________________________________．2．已知函數y＝x（x＞0），它的圖象猶如老師的打鉤，因此人稱對鉤函數．下表是y與x的幾組對應值：x1234y4322234請你根據學習函數的經驗，利用上述表格所反映出的y與x之間的變化規律，對該函數的圖象與性質進行探究．（1）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點，畫出該函數的圖象；（2）根據畫出的函數圖象特征，仿照示例，完成下列表格中的函數變化規律：序號函數圖象特征函數變化規律示例1在直線x＝1右側，函數圖象呈上升狀態當x＞1時，y隨x的增大而增大示例2函數圖象經過點（2，2）當x＝2時，y＝2①函數圖象的最低點是（1，2）__________________________②在直線x＝1左側，函數圖象呈下降狀態__________________________________（3）當a≤x≤4時，y的取值范圍為2≤y≤4，則a的取值范圍為________．3．請借鑒以前研究函數的經驗，探索函數y2的圖象和性質．（1）自變量x的取值范圍為__________；（2）填寫下表，畫出函數的圖象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10234567…y…10.80.5﹣1﹣48（3）觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；（4）若x＞3，則y的取值范圍為______________；若y＜﹣1，則x的取值范圍為________________．專題11反比例函數的圖像與性質【考點剖析】1、一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式.自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數.2、反比例函數圖像的性質反比例函數(為常數，)的圖像是雙曲線（如下圖）；①當時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限內，在每一個象限內，隨的增大而減小；②當時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限內，在每一個象限內，隨的增大而增大.注意：函數圖像關于和對稱.，關于原點中心對稱.3、反比例函數的幾何意義如圖一，在反比例函數圖像上任選一點，向兩坐標軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成矩形的面積為.如圖二，所圍成三角形的面積為.4、反比例函數的解析式的求法反比例函數的解析式中，只有一個系數，確定了的值，也就確定了反比例函數的解析式．因此，只需給出一組、的對應值或圖像上一點的坐標，利用待定系數法，即可確定反比例函數的解析式．反比例函數的定義【典例】例1．下列所給的兩個變量之間，是反比例函數關系的有（）（1）某村有耕地346.2hm2，人口數量n逐年發生變化，該村人均占有的耕地面積m（hm2/人）與全村人口數n的關系；（2）導體兩端的電壓恒定時，導體中的電流與導體的電阻之間；（3）周長一定時，等腰三角形的腰長和底邊邊長之間；（4）面積5cm2的菱形，它的底邊和底邊上的高之間．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：（1）由題意可得：m，是反比例函數關系；（2）由題意可得：I，是反比例函數關系；（3）設腰長為x，底邊長為y，由題意可得：x，不是反比例函數關系；（4）設底邊長為x，底邊上的高為h，根據題意可得：x，是反比例函數關系．故選：C．【點睛】根據題意分別得出兩變量的關系式，進而利用反比例函數的定義得出答案．此題主要考查了反比例函數的定義，正確得出各函數關系是解題關鍵．例2．若函數y＝（2m﹣1）是反比例函數，則m的值是（）A．﹣1或1 B．小于的任意實數 C．﹣1 D．1【答案】A【解析】解：依題意得：m2﹣2＝﹣1且2m﹣1≠0，解得m＝±1．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，注意區分：正比例函數的一般形式是y＝kx（k≠0），反比例函數的一般形式是（k≠0）．【鞏固練習】1．下列選項中，兩種量既不是成正比例的量，也不是成反比例的量的是（）A．時間一定，路程與速度 B．圓的周長與它的半徑 C．被減數一定，減數與差 D．圓錐的體積一定，它的底面積與高【答案】C【解析】解：A、時間一定，路程與速度成正比例；B、圓的周長與它的半徑成正比例；C、被減數一定，減數與差既不是成正比例的量，也不是成反比例；D、圓錐的體積一定，它的底面積與高成反比例；故選：C．2．已知y＝（m+1）xm+2是反比例函數，則函數的圖象在（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【答案】B【解析】解：依題意有m+2＝﹣1，解得m＝﹣3，因而函數是y，故函數經過第二、四象限．故選：B．3．若函數y＝（m﹣1）是反比例函數，則m的值是（）A．±1 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解析】解：∵y＝（m﹣1）是反比例函數，∴．解得m＝﹣1．故選：B．反比例函數的圖像與性質【典例】例1．如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于AB、兩點，分別以AB、兩點為圓心，畫與x軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（2，1），則圖中兩個陰影部分面積的和是（）A． B． C．π D．4π【答案】C【解析】解：∵點A的坐標為（2，1），且⊙A與x軸相切，∴⊙A的半徑為1，∵點A和點B是正比例函數與反比例函數的圖象的交點，∴點B的坐標為（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半徑為1，∴⊙A與⊙B關于原點中心對稱，∴⊙A的陰影部分與⊙B空白的部分完全重合，∴⊙A的陰影部分與⊙B空白的部分的面積相等，∴圖中兩個陰影部分面積的和＝π?12＝π．故選：C．【點睛】先利用切線的性質得到⊙A的半徑為1，再根據反比例函數圖象的對稱性得到點B的坐標為（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半徑為1，則可判斷⊙A與⊙B關于原點中心對稱，⊙A的陰影部分與⊙B空白的部分的面積相等，所以圖中兩個陰影部分面積的和等于⊙A的面積，然后根據圓的面積公式計算．本題考查了反比例函數圖象的對稱性：反比例函數圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，對稱軸分別是：①第二、四象限的角平分線y＝﹣x；②第一、三象限的角平分線y＝x；對稱中心是：坐標原點．例2．已知點A（1，y1），B（2，y2）在函數y的圖象上，且y1＜y2，則k的取值范圍是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k≠1 D．k為任意實數【答案】B【解析】解：∵點A（1，y1），B（2，y2）在函數y的圖象上，且y1＜y2，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故選：B．【點睛】點A（1，y1），B（2，y2）在函數y的圖象上，且y1＜y2，故y隨著x的增大而增大，故k﹣1＜0，即可求出k的取值范圍．本題主要考查了反比例函數的性質．例3．若點A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函數y的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1【答案】C【解析】解：∵反比例函數的解析式是y，∴k＝5＞0，函數的圖象在第一、三象限，且在每個象限內，y隨x的增大而減小，∵點A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函數y的圖象上，∴點A和B在第三象限，點C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故選：C．【點睛】根據反比例函數的性質得出函數的圖象在第一、三象限，且在每個象限內，y隨x的增大而減小，即可比較y1，y2，y3的大小．本題考查了反比例函數的性質和反比例函數圖象上點的坐標特征，能熟記反比例函數的性質的內容是解此題的關鍵．例4．函數y與y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：當k＞0時，反比例函數的圖象位于第一、三象限，一次函數的圖象交y軸于正半軸，y隨著x的增大而減小，A選項符合，C選項錯誤；當k＜0時，反比例函數的圖象位于第二、四象限，一次函數的圖象交y軸于負半軸，y隨著x的增大而增大，B、D均錯誤；故選：A．【點睛】分k＞0和k＜0兩種情況確定正確的選項即可．本題考查反比例函數與一次函數的圖象性質：解題的關鍵是分兩種情況確定答案，難度不大．【鞏固練習】1．關于雙曲線y的圖象，以下說法正確的是（）A．雙曲線的兩支既關于x軸對稱又關于y軸對稱 B．雙曲線的兩支既不關于x軸對稱又不關于y軸對稱 C．雙曲線的兩支不關于x軸對稱但關于y軸對稱 D．雙曲線的兩支關于x軸對稱但不關于y軸對稱【答案】B【解析】解：雙曲線y的圖象既關于原點成中心對稱，又關于y＝﹣x成軸對稱，則雙曲線的兩支既不關于x軸對稱又不關于y軸對稱．故選：B．2．已知直線y＝k1x與雙曲線y（k1≠0）的一個交點的坐標為（﹣1，3），則它們的另一個交點的坐標是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）【答案】C【解析】解：∵直線y＝k1x與雙曲線y（k1≠0）的一個交點的坐標為（﹣1，3），∴它們的另一個交點的坐標是（1，﹣3）．故選：C．3．對于反比例函數y，下列說法不正確的是（）A．圖象分布在第二、四象限 B．當x＞0時，y隨x的增大而增大 C．圖象經過點（3，﹣6） D．若點A（x1，y1），B（x2，y2）都在圖象上，且x1＜x2，則y1＜y2【答案】D【解析】解：A、因為y中的﹣18＜0，所以該函數圖象位于第二、四象限，故本選項說法正確；B、當x＞0時，y隨x的增大而增大，故本選項說法正確；C、把點（3，﹣6）代入反比例函數得到﹣6，等式成立，故本選項說法正確；D、當在每一個象限內，y隨x的增大而增大，故本選項說法錯誤；故選：D．4．在反比例函數y圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）A．k＝2 B．k＞0 C．k＞2 D．k＜2【答案】C【解析】解：∵反比例函數y圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，∴2﹣k＜0，∴k＞2故選：C．5．若點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數y的圖象上，x1＜x2＜0，則y1、y2的大小關系為（）A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．0＞y1＞y2 D．0＞y2＞y1【答案】C【解析】解：∵反比例函數y中k＝3＞0，∴此函數的圖象在一、三象限，且在每一象限內y隨x的增大而減小，∵x1＜x2＜0，∴點A（x1，y1），B（x2，y2）均在第三象限，∴0＞y1＞y2．故選：C．6．已知一次函數y＝kx﹣1和反比例函數y，則這兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：當k＞0時，直線從左往右上升，雙曲線分別在第一、三象限；∵一次函數y＝kx﹣1與y軸交于負半軸，∴D選項正確，故選：D．反比例函數k的幾何意義【典例】例1．如圖，過點P（2，3）分別作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，PC，PD分別交反比例函數y（x＞0）的圖象于點A，B，△OAB的面積為，則k的值是（）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】解：由題意B（，3），A（2，），∵S△AOB，∴2×3?（2）（3），解得k＝2或﹣2（舍棄），故選：A．【點睛】由題意B（，3），A（2，），根據S△AOB構建方程即可解決問題．本題考查反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．【鞏固練習】1．如圖，點A在雙曲線y上，點D在雙曲線y上，且AD∥x軸，B、C在x軸上，則矩形ABCD的面積為______．【答案】3【解析】解：延長DA交y軸于點E，如圖所示．∵四邊形ABCD為矩形，且AD∥x軸，∴AE⊥y軸，DE⊥y軸，AB⊥x軸，DC⊥x軸．又∵點A在雙曲線y上，點D在雙曲線y上，∴S矩形EOBA＝1，S矩形EOCD＝4，∴S矩形ABCD＝S矩形EOBA﹣S矩形EOBA＝4﹣1＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，利用反比例函數系數k的幾何意義找出S矩形EOBA＝1、S矩形EOCD＝4是解題的關鍵．2．如圖，點A、點B分別在反比例函數y和y的圖象上，且AB∥x軸，則△OAB的面積等于____________．【答案】【解析】解：延長BA交y軸于點C．S△OAC5，S△OCB8＝4，則S△OAB＝S△OCB﹣S△OAC＝4．故答案為：．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A是反比例函數y的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸于點B，點C在y軸的負半軸上，連接AC，BC．若△ABC的面積為5，則m的值為（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【答案】A【解析】解：∵AB⊥x軸，∴S△ABCAB?OB＝5，∴AB?OB＝10，設A（x，y），則AB＝y，OB＝﹣x，∴﹣xy＝10，xy＝﹣10，∵函數y，∴m＝xy＝﹣10，故選：A．4．如圖，函數y＝﹣x與函數y的圖象相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D．則四邊形ACBD的面積為______．【答案】8【解析】解：∵過函數y的圖象上A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，∴S△AOC＝S△ODB|k|＝2，又∵OC＝OD，AC＝BD，∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，∴四邊形ABCD的面積為：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8．故答案為：8．5．如圖，A、B兩點在雙曲線y上，分別經過A、B兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于（）A．4 B．4.2 C．4.6 D．5【答案】C【解析】解：如圖，∵A、B兩點在雙曲線y上，∴S四邊形AEOF＝4，S四邊形BDOC＝4，∴S1+S2＝S四邊形AEOF+S四邊形BDOC﹣2×S陰影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故選：C．反比例函數解析式【典例】例1．如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A（﹣2，0），B（6，0），D（0，3），函數y（x＞0）的圖象G經過點C．（1）求點C的坐標和函數y（x＞0）的表達式；（2）將四邊形ABCD向上平移2個單位得到四邊形A'B'C'D'，問點B'是否落在圖象G上？【答案】見解析【解析】解：（1）過C作CE⊥AB，∵DC∥AB，AD＝BC，∴四邊形ABCD為等腰梯形，∴∠A＝∠B，DO＝CE＝3，CD＝OE，∴△ADO≌△BCE，∴BE＝OA＝2，∵AB＝8，∴OE＝AB﹣OA﹣BE＝8﹣4＝4，∴C（4，3），把C（4，3）代入反比函數例解析式得：k＝12，則反比例解析式為y（x＞0）；（2）由平移得：平移后B′的坐標為（6，2），把x＝6代入反比例得：y＝2，則平移后點B′落在該反比例函數的圖象上．【點睛】（1）過C作CE⊥AB，由題意得到四邊形ABCD為等腰梯形，進而得到三角形AOD與三角形BEC全等，得到CE＝OD＝3，OA＝BE＝2，由AB﹣AO﹣BE求出OE的長，確定出C坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；（2）由平移規律確定出B的坐標，代入反比例解析式檢驗即可．此題考查了待定系數法求反比例解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，以及坐標與圖形變化，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．【鞏固練習】1．已知y與x﹣1成反比例，且當x＝2時，y＝3，求當y＝6時x的值．【答案】見解析【解析】解：依題意可設，（k≠0），則有，解得：k＝3，∴，當y＝6時，，解得，x．2．如圖，已知點P在雙曲線y（x＞0）上，連結OP，若將線段OP繞點O逆時針旋轉90°得到線段OQ，求經過點Q的雙曲線的表達式．【答案】見解析【解析】解：如圖，過P，Q分別作PM⊥x軸，QN⊥x軸，∵∠POQ＝90°，∴∠QON+∠POM＝90°，∵∠QON+∠OQN＝90°，∴∠POM＝∠OQN，由旋轉可得OP＝OQ，在△QON和△OPM中，，∴△QON≌△OPM（AAS），∴ON＝PM，QN＝OM，設P（a，b），則有Q（﹣b，a），由點P在y圖象上，得到ab＝3，∴﹣ab＝﹣3，∴經過點Q的雙曲線的表達式為y．3．如圖，函數y（x＞0）和y（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設點P在l2上，PA∥y軸交l1于點A，PB∥x軸，交l1于點B，求△PAB的面積．【答案】B【解析】解：設點P（m，n），∵P是反比例函數y（x＞0）圖象上的點，∴n，∴點P（m，）；∵PB∥x軸，∴B點的縱坐標為，將點B的縱坐標代入反比例函數的解析式y（x＞0）得：x，∴B（，），同理可得：A（m，）；∵PB＝m，PA，∴S△PABPA?PB．函數圖像探究【典例】例1．已知關于x的函數yx，如表是y與x的幾組對應值：x…﹣4﹣3﹣2﹣11234…y…﹣22…如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點畫出了此函數的圖象請你根據學習函數的經驗，根據畫出的函數圖象特征，對該函數的圖象與性質進行探究：（1）該函數的圖象關于________對稱；（2）在y軸右側，函數變化規律是當0＜x＜1，y隨x的增大而減小；當x＞1，y隨x的增大而增大．在y軸左側，函數變化規律是__________________________________．（3）函數y當x________時，y有最______值為______．（4）若方程x＝m有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是____________________．【答案】見解析【解析】解：（1）由表格中的數據可知，該函數的圖象關于原點對稱，故答案為：原點；（2）在y軸右側，函數變化規律是當0＜x＜1，y隨x的增大而減小；當x＞1，y隨x的增大而增大．在y軸左側，函數變化規律是當﹣1＜x＜0，y隨x的增大而減小；當x＜﹣1，y隨x的增大而增大，故答案為：當﹣1＜x＜0，y隨x的增大而減小；當x＜﹣1，y隨x的增大而增大；（3）由表格可得，函數y當x＝1時，y有最小值2，故答案為：＝1，小，2；（4）若方程x＝m有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是m＞2或m＜﹣2，故答案為：m＞2或m＜﹣2．【點睛】（1）根據表格中的數據可以得到該函數圖象關于原點對稱，本題得以解決；（2）根據函數圖象，可以解答本題；（3）根據函數圖象和表格中的數據可以解答本題；（4）根據函數圖象可以寫出m的取值范圍．【鞏固練習】1．有這樣一個問題：探究函數y的圖象與性質．小美根據學習函數的經驗，對函數y的圖象與性質進行了探究．下面是小美的探究過程，請補充完整：（1）函數y的自變量x的取值范圍是____________________；（2）下表是y與x的幾組對應值．x﹣2﹣11234…y0﹣1