專題1.2等邊三角形（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．3 D．3【答案】D【解答】解：在等邊△ABC中，∵AD⊥BC，∴D為BC的中點(diǎn)，∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為6，∴AB＝6，BD＝3，根據(jù)勾股定理，得AD＝＝3，故選：D．2．（2021秋?香洲區(qū)期中）如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（）A．30° B．20° C．25° D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等邊△ABC的一條中線，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故選：D．3．（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．15° D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故選：C．4．（2021秋?湘橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠BEC＝90°，則∠ACE等于．【答案】15°【解答】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故答案為：15°5．（2022春?市北區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，AD＝DE，如果∠BAD＝20°，∠AED＝60°，那么∠EDC的度數(shù)為度．【答案】10【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝60°，∵∠BAD＝20°，∴∠BAC＝80°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EDC＝∠DEA﹣∠C＝60°﹣50°＝10°，故答案為：10．6．（2021秋?北安市校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等邊三角形；（2）根據(jù)題意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．7．（2019秋?瀘縣期末）等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論．【解答】解：△APQ為等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC．在△ABP與△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．8．（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC與BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求∠APM的度數(shù)；（3）連接MN，求證：△CMN是等邊三角形．【解答】（1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）由（1）知，△ACD≌△BCE，則∠DAC＝∠EBC，即∠PAM＝∠CBM，∵∠AMP＝∠BMC，∴∠APM＝∠BCM，∵∠BCM＝60°，∴∠APM＝60°；（3）由（1）知，△ACD≌△BCE，則∠ADC＝∠BEC，即∠CDN＝∠CEM，∵∠ACE＝60°，∠ECD＝60°，∴∠MCE＝∠NCD，在△MCE和△NCD中，，∴△MCE≌△NCD（AAS），∴CM＝CN，∵∠MCN＝60°，∴△MCN是等邊三角形．9．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE為等邊三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；∴△ODE的周長(zhǎng)＝BC＝10．10．（2021秋?東麗區(qū)期末）如圖1，△ABD，△ACE都是等邊三角形，（1）求證：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD＝15°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)△ABD與△ACE的位置發(fā)生變化，使C、E、D三點(diǎn)在一條直線上，求證：AC∥BE．【解答】（1）證明：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形∴AB＝AD，AE＝AC∠DAB＝∠EAC＝60°∴∠DAC＝∠BAE，在△ABE和△ADC中∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC∴∠AEB＝∠ACD∵∠ACD＝15°∴∠AEB＝15°；（3）同上可證：△ABE≌△ADC∴∠AEB＝∠ACD又∵∠ACD＝60°∴∠AEB＝60°∵∠EAC＝60°∴∠AEB＝∠EAC∴AC∥BE11．（2021秋?平定縣期末）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點(diǎn)A、D、E按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校B接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD＝CE，②AC＝CE+CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC＝CE+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．∵BC＝AC，∴AC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，∵BC＝AC，∴AC＝CE﹣CD．12．（2021秋?濟(jì)寧期中）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E在邊AC的延長(zhǎng)線上，且DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC：（2）用等式表示線段CD，CE，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)BC至F，使CF＝CE，連接EF，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝∠ACB＝60°，∵CF＝CE，∴△CEF為等邊三角形，∴∠F＝∠CEF＝60°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，∴∠ADB＝∠DEF，在△ADB和△DEF中，，∴△ADB≌△DEF（AAS），∴∠BAD＝∠EDF，即∠BAD＝∠EDC．（2）解：AB＝CD+CE．證明：∵△ADB≌△DEF，∴AB＝DF，BD＝EF，∵DF＝DC+CF＝CD+CE，∴AB＝CD+CE．13．（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，則AC的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，AC＝AB＝×8＝4（cm）．故選：C．14．（2021秋?瓊海期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BCD＝30°，CD是△ABC的高，且BD＝2，則AD的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝2，∴BC＝4，∴AB＝8，∴AD＝AB﹣BD＝6．故選：A．15．（2021秋?樂(lè)東縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，垂足為E，若∠ABC＝60°，CD＝1cm，則AC的長(zhǎng)為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】B【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝60°；∵∠C＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，∴BD＝2CD＝2cm，∴AD＝BD＝2cm．∴AC＝AD+DC＝3（cm），故選：B．16．（2022秋?乳山市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm．AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．則EF的長(zhǎng)為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：連接AE，AF，∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．∴BE＝AE，CF＝AF，∴∠EAB＝∠B，∠CAF＝∠C，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE+∠CAF＝60°，∠AEF＝∠AFE＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF＝EF，∴BE＝EF＝FC，∵BC＝15cm，∴EF＝5cm．故選：C．17．（2021秋?阿魯科爾沁旗期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于點(diǎn)E．若BE＝10cm．則AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（c