13．1軸對稱第十三章軸對稱13．1.1軸對稱逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2軸對稱圖形軸對稱成軸對稱和軸對稱圖形的性質1.定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.直線兩旁的部分全等知識點軸對稱圖形1知1－講知1－講特別解讀軸對稱圖形的三個條件：1.一個整體圖形；2.一條直線——對稱軸；3.直線兩旁的部分完全重合.知1－講示圖(如圖13.1-1)知1－講2.常見的軸對稱圖形及其對稱軸名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數對稱軸角1條角平分線所在的直線等腰三角形1條底邊上的高(底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線等邊三角形3條各邊上的高(各邊上的中線或各內角平分線)所在的直線知1－講名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數對稱軸等腰梯形1條過上、下底中點的直線長方形2條對邊中點的連線所在的直線正方形4條①對角線所在的直線；②過對邊中點的直線知1－講名稱圖形及其對稱軸對稱軸的條數對稱軸正五邊形5條過頂點與對邊中點的直線正六邊形6條①過相對的頂點的直線；②過相對邊中點的直線圓無數條過圓心的直線知1－講特別提醒：正n

邊形都是軸對稱圖形，有n

條對稱軸.知1－講方法點撥判斷軸對稱圖形的方法：根據圖形的特征，如果能找到一條直線，沿著這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，即可確定這個圖形是軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形.知1－講[中考·蘭州]下列圖形(如圖13.1-2)：其中軸對稱圖形的個數是()A.4B.3C.2D.1例1知1－練解題秘方：根據軸對稱圖形的定義識別.解：第一、二、四個圖形，可找到一條直線，沿其折疊后直線兩旁的部分能夠互相重合，因此都是軸對稱圖形；第三個圖形找不到這樣的直線，因此不是軸對稱圖形.故軸對稱圖形的個數是3.答案：B知1－練1-1.[中考·連云港]在美術字中，有些漢字可以看成是軸對稱圖形．下列漢字中，是軸對稱圖形的是()C知1－練1-2.[中考·眉山]下列英文字母為軸對稱圖形的是()A．WB．LC．SD．QA知1－練1.定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.這兩個圖形全等知識點軸對稱2知2－講特別解讀軸對稱的三個條件：1.有兩個圖形；2.存在一條直線；3.一個圖形沿著這條直線折疊后與另一個圖形重合．知2－講示圖(如圖13.1-3)知2－講2.軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系名稱軸對稱軸對稱圖形區別對象不同兩個圖形一個圖形意義不同兩個圖形的特殊位置關系一個具有特殊形狀的圖形對稱點位置不同對稱點分別在兩個圖形上對稱點在同一個圖形上知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形區別對稱軸位置不同兩個圖形成軸對稱，其對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能經過兩個圖形的內部或它們的公共邊(點)軸對稱圖形的對稱軸一定經過這個圖形的內部對稱軸數量不同只有一條對稱軸有一條或多條對稱軸知2－講名稱軸對稱軸對稱圖形聯系(1)定義中都有一條直線，都要沿著這條直線折疊；(2)把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條對稱軸對稱知2－講拓展延伸：(1)軸對稱或軸對稱圖形上的每對對稱點到對稱軸的距離分別相等；(2)軸對稱或軸對稱圖形上的對應線段或其延長線若相交，則交點必在對稱軸上.知2－講特別解讀軸對稱的兩個特性：1.成軸對稱的兩個圖形全等，但全等的兩個圖形不一定成軸對稱；2.軸對稱是圖形的一種全等變換.知2－講如圖13.1-4的四組圖形中，成軸對稱的有()A.4組B.3組C.2組D.1組例2知2－練解題秘方：根據軸對稱的定義，沿著某條直線折疊，直線兩旁的兩個圖形能完全重合，即成軸對稱.解：根據軸對稱的定義，可以判斷只有④中的兩個圖形沿著某一條直線折疊后，兩個圖形能夠重合.答案：D方法點撥：反面觀察法，即從紙的反面觀察圖形，若觀察到的和正面一樣，就是成軸對稱.知2－練2-1.[模擬·武漢江岸區]下列四個圖案中，左右兩個圖形成軸對稱的是()D知2－練[情境題生活應用]一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖13.1-5所示，根據所學知識，你能確定該車的車牌號碼嗎？例3知2－練解題秘方：根據水中倒影與實際車牌號碼上、下對稱的特點求解.方法點撥：解決從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數字)問題，我們可以把從水(或平面鏡)中看到的車牌號(或數字)寫在紙上，把紙面翻過來，從紙的背面即可看到實際中的車牌號(或數字).解：車牌號碼為MT7936.知2－練3-1.小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖，則實際時間是()A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01C知2－練1.成軸對稱的性質：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，如圖13.1-6所示.特別地：成軸對稱的兩個圖形的對應線段所在直線平行或者重合或者相交于某一點，且該點一定在對稱軸上.知識點成軸對稱和軸對稱圖形的性質3知3－講2.經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知3－講3.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線，如圖13.1-7所示.知3－講特別解讀1.軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對應線段、對應角相等.2.軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分全等，并且這兩部分關于對稱軸成軸對稱；成軸對稱的兩個圖形也全等.知3－講[新考向知識情境化]如圖13.1-8所示的飛機模型是軸對稱圖形，直線l是它的對稱軸.請解決下列問題：(1)∠3和∠4有什么關系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關系？(3)寫出圖中其他相等關系(不少于三對)．例4解題秘方：緊扣軸對稱圖形的性質進行說明.知3－講(1)∠3和∠4有什么關系？AB

與A′B′呢？(2)DD′與直線l

有什么關系？(3)寫出圖中其他相等關系(不少于三對)．解：∠3=∠4，AB=A′B′．直線l是DD′的垂直平分線.AD=A′D′，∠1=∠2，DC=D′C′．(答案不唯一)知3－講4-1.如圖，△ABC

和△A′B′C′關于直線l對稱，下列結論：①△

ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③

l垂直平分CC′；④直線BC和B′C′的交點不一定在l上.其中正確的有()A．4個B．3個C．2個D．1個B知3－講如圖13.1-9，△

ABC和△DEF關于直線l

對稱，已知∠A=115°，∠E=42°，DF=8．求∠F

的度數和AC

的長．例5解題秘方：緊扣成軸對稱的性質確定對應元素進行計算.知3－講解：∵△ABC

和△DEF關于直線l

對稱，∴△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A，AC=DF.∵∠A=115°，DF=8，∴∠D=115°，AC=8.在△DEF中，∵∠D=115°，∠E=42°，∴∠F=180°－∠D－∠E=23°知3－講5-1.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠

BAD=150

°，∠B=40°，則∠ACD的度數是_______

.65°知3－講軸對稱軸對稱圖形軸對稱任何一對對應點所連線段的垂直平分線軸對稱13．1軸對稱第十三章軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2線段的垂直平分線的性質線段的垂直平分線的判定尺規作圖——作垂線、作垂直平分線畫對稱軸1.性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.條件：點在線段的垂直平分線上.結論：這個點到線段兩端點的距離相等.2.幾何語言：如圖13.1-19，∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC.兩點之間的距離知識點線段的垂直平分線的性質1知1－講特別解讀用線段的垂直平分線的性質可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，它為證明線段相等提供了新方法.知1－講[中考·邵陽]如圖13.1-20，在△ABC中，AB

的垂直平分線分別交AB，BC

于點D，E，連接AE，若AE=4，EC=2，則BC

的長是()A.2B.4C.6D.8例1知1－練解題秘方：利用線段的垂直平分線的性質將要求的線段向已知條件轉化.解：∵DE是AB

的垂直平分線，AE=4，∴EB=EA=4.∴BC=EB＋EC=4＋2=6.答案：C知1－練1-1.如圖，AB

所在直線是CD的垂直平分線，若AC=2.3cm，BD=1.6cm，則四邊形ACBD

的周長是()A.3.9cmB.7.8cmC.3.2cmD.4.6cmB知1－練1.判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.條件：點到線段兩個端點距離相等.結論：點在線段的垂直平分線上.2.幾何語言：如圖13.1-21，∵AB=AC，∴點A在線段BC

的垂直平分線上.知識點線段的垂直平分線的判定2知2－講特別解讀1.證明一個點在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，證平分；二是取中點，證垂直.2.證明線段的垂直平分線，必須證明兩個點在垂直平分線上.知2－講3.三角形三邊的垂直平分線的性質：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等.拓寬視野該點的位置與三角形的形狀有關，若是直角三角形，該點在斜邊的中點處；若是銳角三角形，該點在三角形內部；若是鈍角三角形，該點在三角形外部.知2－講如圖13.1-22，P

為∠MON

平分線上一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON

于B，求證：OP

垂直平分AB．例2知2－練思路引導：知2－練證法一(判定定理法)：∵P

為∠MON

平分線上一點，∴∠AOP=∠BOP.∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∴△AOP≌△BOP(AAS)，點P

在AB

的垂直平分線上.∴OA=OB.∴點O

在AB

的垂直平分線上.∴OP

垂直平分AB.知2－練證法二(定義法)：∵P

為∠MON

平分線上一點，PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠AOP=∠BOP，PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△PAO

和Rt△PBO

中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴OA=OB.設OP與AB

相交于點C，∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS).∴∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC.∴OP⊥AB.∴OP

垂直平分AB.OP=OP，PA=PB，知2－練2-1.如圖，AD為△

ABC的角平分線，AE=AF.求證：線段AD

所在直線是線段EF

的垂直平分線．知2－練知2－練知2－練又∵AE＝AF，∴點A在線段EF的垂直平分線上．∴線段AD所在直線是線段EF的垂直平分線．知2－練如圖13.1-23，OE，OF

所在直線分別是△

ABC中AB，AC

邊的垂直平分線，∠OBC，∠

OCB的平分線相交于點I，試判斷OI與BC的位置關系，并給予證明.例3知2－練解題秘方：根據“三角形三邊的垂直平分線相交于一點，三個內角的平分線也相交于一點”這兩條性質進行證明.知2－練解：OI⊥BC.證明如下：如圖13.1-23，延長OI

交BC于點M.∵OE垂直平分AB，OF

垂直平分AC，∴點O

在BC

的垂直平分線上.∴OB=OC.又∵BI

平分∠OBC，CI

平分∠OCB，∴OI

平分∠BOC，即∠BOI=∠COI.知2－練在△BOM

和△

COM中，∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO=180°，∴∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC.OB=OC，∠BOM=∠COM，OM=OM，知2－練3-1.如圖，點P

為△

ABC三邊垂直平分線的交點，∠PAC=20°，∠

PCB=30°.知2－練(1)求∠PAB的度數；知2－練(2)直接寫出∠APB與∠ACB

的數量關系：_________________

.∠APB＝2∠ACB知2－練1.過直線外一點作這條直線的垂線：如圖13.1-24，已知直線AB

和AB

外一點C，用尺規過點C

作AB

的垂線.知識點尺規作圖——作垂線、作垂直平分線3知3－講作法：第一步：任意取一點K，使點K

和點C

在AB

的兩旁；特別提醒任取的一點必須與已知點在直線的兩側，目的是使畫的弧與已知直線有交點知3－講

確保CD=CE確保FD=FE知3－講第四步：作直線CF，如圖13.1-25．→要保留作圖痕跡，并寫明結論直線CF

即為所求．要保留作圖痕跡，并寫明結論知3－講2.作線段的垂直平分線已知：如圖13.1-26，線段AB．求作：用尺規作線段AB

的垂直平分線CD．知3－講

知3－講[中考·威海]過直線l外一點P

作直線l

的垂線PQ．下列尺規作圖(如圖13.1-28)錯誤的是()例4知3－練解題秘方：根據作圖痕跡結合線段垂直平分線的作法進行分析判斷．知3－練解：選項A，如圖13.1-29，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=PB，∴點P

在線段AB

的垂直平分線上.∵QA=QB，∴點Q

在線段AB

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項不符合題意.知3－練選項B，如圖13.1-30，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴點A

在線段PQ

的垂直平分線上.∵PB=QB，∴點B

在線段PQ

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項不符合題意.選項C，無法證明PQ⊥l，故此選項符合題意.知3－練選項D，如圖13.1-31，連接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴點A

在線段PQ

的垂直平分線上.∵PB=QB，∴點B在線段PQ

的垂直平分線上.∴PQ⊥l，故此選項不符合題意.答案：C知3－練

知3－練作直線MN

交AC

于點D，交BC

于點E，連接AE，則下列結論不一定正確的是()A.AB=AEB.AD=CDC.AE=CED.∠ADE=∠CDEA知3－練4-2.[中考·鹽城]如圖，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．知3－練(1)求證：AC=AD;知3－練(2)用直尺和圓規作圖：過點A

作AF⊥CD，垂足為F(不寫作法，保留作圖痕跡).解：如圖，線段AF即為所求．知3－練1.畫對稱軸的依據：成軸對稱和軸對稱圖形的性質，即對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.2.畫對稱軸的步驟(1)