第九節函數的圖象

■課.程標準

1.在實除情境中，會根據不同的需要選擇圖象法、列表法、解析式法表示函數.

2.會運用函數圖象理解和研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解集的問題.

口——必備知識系統梳理基礎重落實-T課前自修

LI_____知___識____?_逐____點___夯____實_________________________________________________________________________

知識梳理

1.利用描點法作函數圖象的步驟

2.函數圖象的變換

y寸（無）的圖象向右產/〃）的圖象向左/若口

平移a（a>0外單平移a（a>0）%單盤“土加

位得薊用溟。）的、位得到亙遜的/右減，上

圖象\圖象4

/--、平移變換，'/

y=/（x）的圖象向上平\y=f（z）的圖象向下平

移幺絲出個單位得移幺妃更個單位得

到y=/（x）+/>的圖象；到「=/,（<）-/）的圖象

y=/（支）的圖象上所有y=/（￡）的圖象上所有

點的橫坐標縮短為原點的橫坐標伸長為原

來的圭（3>1）得到y='''\來的圭（0<3<1）倍

/（36的圖象；，!得到為'（3"）的圖象；

/---伸縮變換-----K

y=/（x）的圖象上所有\>=/（#）的圖象上所有

點的縱坐標伸長為原點的縱坐標縮短為原

來的&A>1）倍得到來的電0<A<1）倍得

y=4京）的圖象；到y—f（工）的圖象

y=/（%）與尸-/（%）<y=f（x'）^y=f（-x）

的圖象關于"軸-"A的圖象關于y軸

對稱；一對砂變換對稱；

>=/（%）與）=于（-%）的圖象關于思息對稱

y=|/（x）|的圖象:可>=/（區|）的圖象：可

炳y=/（彳）的圖象在*-"、、先作出產/■）在y軸

x軸下方的部分關于翻折變換及其右邊的圖象，再

，軸翻折，其余部分、…》作?軸右邊的圖象關

不變；于y軸對稱的圖象

對點自測

1.判斷正誤.（正確的畫3”，錯誤的畫“x”）

（1）函數y=/（x）+1的圖象可由y=〃無）的圖象向下平移1個單位長度得到.（X）

（2）函數y=/（x）與尸-/（無）的圖象關于原點對稱.（X）

（3）將函數y=/（-無）的圖象向右平移1個單位長度得到函數y=/（7-1）的圖象.（X）

2.函數y=2「'的大致圖象為（）

解析：Ay=2r-x=(|)x-\故函數為減函數，可排除C、D,又當x=0時，y=2,排除B,故選A.

3.將函數y=log2(2x+2)的圖象向下平移1個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到函數g(x)的圖象，則

g(x)=I03.

解析：將函數y=k?g2(2r+2)的圖象向下平移1個單位長度，可得函數y=log2(2x+2)-1的圖象，再向右平

移1個單位長度，可得函數y=log2[2(x-1)+2]-l=log2(2x)-1的圖象，所以g(x)=log2(2尤)-

l=10g2X.

4.若關于x的方程I尤I=a-x只有一個解，則實數r的取值范圍是(0,+8).

2%.>o

'-'其圖象如圖所示，故要使〃=IXI+x只有一個

0z%<0,

解，則a>0.1

常用結論

L函數圖象自身的軸對稱

函數y=/(x)的圖象關于直線x=a對稱可(a+x)=/(a-無)可(無)=于(2a-x)弓(-x)=/(2a+x).

2.函數圖象自身的中心對稱

3)/(-x)=-/(x)爸數y=/(x)的圖象關于原點對稱；

(2)函數y=/(x)的圖象關于點(a,0)對稱弓(a+x)=-/(a-x)三(x)=-/(2a-x)寸(-尤)=-f

(2a+x)；

(3)函數y=/(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱令(a+x)=2b-f(a-x)弓(x)=2b-f(2a-x).

3.兩個函數圖象之間的對稱關系

(1)函數a+x)與y=/(6-x)的圖象關于直線x=?對稱(由a+x=b-x得對稱軸方程)；

(2)函數y=/(x)與(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱；

(3)函數y=/(x)與y=2b-/(-x)的圖象關于點(0,/，)對稱.

E應用

1.下列說法正確的是()

A.若函數x)滿足〃1+x)=/(17),則函數x)的圖象關于直線x=l對稱

B.若函數y=/(x)滿足〃x+1)=〃尤-1)，則函數y=〃無)的圖象關于直線x=l對稱

C.當xe(0,+8)時，函數y=/(|尤1)的圖象與尸"(尤)I的圖象相同

D.函數y=/(1-x)的圖象可由)，=/(-無)的圖象向左平移1個單位長度得到

解析：A由結論1知A正確，B錯誤；令/(x)=-x,則當xG(0,+°°)時，/(|xl)=f(x)=-x,If

(x)I=x,/(IxI)#I/(x)I,故C錯誤；y=f(-x)的圖象向左平移1個單位長度得到y=/(-x-1)

的圖象，故D錯誤.

2.若對于函數y=〃x)定義域內的任意x都有/(2+x)+〃2-x)=6,則y=/(x)的圖象關于點(2,3)

對稱.

解析：由結論2知，a=2,b=3,圖象關于點(2,3)成中心對稱.

3.函數y=f(-2-x)與x+2)的圖象關于直線x=-2對稱.

解析：由結論3知-2-x=x+2,則工=-2,所以函數y=/(-2-x)與y=f(x+2)的圖象關于直線x=-2對

稱.

口-------精選考點典例研析技法重悟通---------課堂演練

1_____考___點____?_分____類___突____破_______________________________________________________________1__________

作函數圖象

考點一

(師生共研過關)

【例1]作出下列函數的圖象：

(1)y=2'+i-1；

(2)y=I1g(x-1)I.

解：(1)將y=2,的圖象向左平移1個單位長度，得到y=2-i的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得

到y=2x+i-1的圖象，如圖①所示.

(2)首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y=lg(x-1)的圖象，再把所得圖象在x

軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數y=|lg(x-1)I的圖象，如圖②所示(實線部分).

解題技法

作函數圖象的兩種常用方法

(1)直接法：當函數表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數時，可根據這些函數的特征直接作出；

(2)圖象變換法：若函數圖象可由某個基本初等函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出.

提醒(1)畫函數的圖象時一定要注意定義域；

(2)利用圖象變換法時要注意變換順序.

0訓練

作出下列函數的圖象：

(2)y=21x1.

解：(l)y=竺二=2+工，故函數的圖象可由y=工的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得

X-1X-1x

到，如圖①所示.

(2)的圖象是由y=2工在y軸右邊的圖象和其關于y軸對稱的圖象組成的，如圖②所示.

函數圖象的識別

考點二

(師生共研過關)

【例2】(1)(2022.全國甲卷5題)函數尸(3，-3-x)cosx在區間卜一日的圖象大致為()

,、,、ax+b

(2)函數/(x)=?---------2的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()

(X+C)

A.a>Q,b>0,c>0B.a<Q,b>Q,c<0

C.a<0,b>0,c>0D.a<0,Z?<0,c<0

答案：(1)A(2)B

解析：(1)法一(特值法)取x=l,則y=(3-0Icosl=|cos1>0；取x=-l,貝1>=@-3)Icos(1)=_

|cos1<0.結合選項知選A.

法二令y=f(x),貝I/(-無)=(33Dcos(-x)(3X-3-x)cosx=-f(%),所以函數y二(3X-3

-x)-cosx是奇函數，排除B、D；取x1,貝!Jy=(3-0cos1=|cos1>0,排除C.故選A.

(2)函數在點尸處無意義，由題圖可知，點尸在y軸右邊，所以-c>0,則c<0；/(0)=^>0,則>0；由/

(%)=0得czx+b=0,貝Ix=-2,根據題圖得，-2>0,貝Ua<0.綜上，a<0,b>0,c<0.故選B.

aa

G變式

(變條件)若本例(1)中的函數變為尸(2工-2-工)sinx,則其在區間［-兀,兀］的圖象大致為()

解析：A記/(x)=(2X-2'x)sinx,(2-x-2r)sinxJ2-%)

sinx=f(x),則函數/(x)=(2*-2-x)sinx為偶函數，其圖象關于y軸對稱，排除B、C；又/'(兀)=0,排

除D,故選A.

解題技法

函數圖象的辨識可從以下方面入手

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；

(2)從函數的值域，判斷圖象的上下位置；

(3)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(5)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；

(6)從函數的特殊點，排除不合要求的圖象.

G訓練

1.已知函數/(x)=xlnx的圖象如圖所示，貝!J函數〃1-X)的圖象為()

解析：D易知函數了(無)的定義域為(0,+°°).由1-尤>0,得x<l,所以函數/(1-x)的定義域為(-8,

1),故排除A、C；又當尤=-1時，/(1-(-1))=/(2)=21n2>0,故排除B.故選D.

2.(2024.沈陽一模)如圖是函數H(x)圖象的一部分，設函數“X)=cosx,g(無)=IxI+1,則H(x)可以

表示為()

AJ(無)+g(x)

/(X)

C/(龍)-g(x)

g(%)

解析：D因為/(0)=g(0)=1,H(0)=1,所以H(x)不可能表示為/(x)+g(無)或/(x)-g(無)，

故排除選項A、B；因為/(2兀)g(2n)=2TT+1>1,所以排除選項C.故選D.

函數圖象的應用

考點三

(定向精析突破)

考向7研究函數的性質

【例3】(多選)設函數是定義在R上的偶函數，且對任意的xGR恒有〃尤+1)=/(x-1)，已知當

xe[O,1]時J(x)=6)則下列結論正確的是()

A.2是函數的周期

B.函數/(無)在(1,2)上單調遞減，在(2,3)上單調遞增

C.函數/(x)的最大值是1,最小值是0

D.當xG(3,4)時，〃x)=0*3

解析：ABD由已知條件得了(x+2)=/(無)，則/(X)是以2為周期的周期函數，A正確；畫出函數y=/(尤)

的部分圖象如圖所示.由圖象知B正確，C不正確；當3<x<4時,-l<x-4<0,f(x)=f(x-4)

因此D正確.故選A、B、D.

yi

-1O12345彳

解題技法

利用函數的圖象研究函數的性質

對于已知解析式易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質常借助圖象研究:

(1)從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；

(2)從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；

(3)從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性.

考向2探究不等式問題

【例4】設函數y=/（尤+1）是定義在（-8,o）u（0,+8）上的偶函數，在區間（-8,0）上單調遞

減，且圖象過點（1,0）,則不等式（x-1）〃x）W0的解集為》|后0或1<忘不.

久>1%V1

解析：畫出f（X）的大致圖象如圖所示.不等式（X-1）/（x）W0,可化為<'或<'由圖可知符

/（^）<0[/（X）>0.

合條件的解集為{xIxWO或1<xW2}.

解題技法

利用函數圖象研究不等式問題的方法

當不等式問題不能用代數法直接求解但其與函數有關時，可將不等式問題轉化為兩函數圖象（圖象易得）的

上、下關系問題，利用圖象法求解.若函數為抽象函數，可根據題目畫出大致圖象，再結合圖象求解.

考向3求參數的范圍

【例5】若關于x的不等式4Qi<3x-4（a>0,且21）對于任意的x>2恒成立，則。的取值范圍為」

解析：不等式4/-1<3x-4等價于〃-1<%-1.令/（冗）=ax'ig（x）=-x-1,當〃>1時，在同一坐標系中作

4"904

出兩個函數的圖象如圖①所示，由圖知不滿足條件；當0<。<1時，在同一坐標系中作出兩個函數的圖象如圖②

所示，由題意知，/（2）Wg（2）,即a2Jw：X2-1,解得aW；,所以。的取值范圍是（0,.

422

圖①圖②

解題技法

利用函數圖象解決參數的取值范圍問題時，一般先準確地作出函數圖象，再利用函數圖象的直觀性，結合其

性質，求解參數的取值范圍.

0訓練

1.（多選）關于函數/（X）=工，下列結論正確的是（）

X-1

A.7（無）的圖象過原點

B“尤）是奇函數

C”無）在區間（1,+8）上單調遞減

D/（x）是定義域上的增函數

解析：AC/（x）=—,將>=工的圖象向右平移1個單位長度，然后再向上平移1個單位長

X-1X-1X-1x

度，即可得到/（x）的圖象，如圖所示.由圖可得A、C正確，故選A、C.

X-1

2.若函數/（x）="-尤-°（（1>0,且“#1）有兩個零點，貝!J實數a的取值范圍是（1,+8）

解析：函數/(x)的零點的個數就是函數(4>0,且〃W1)與函數y=x+”的圖象的交點的個數，如圖，當

時，兩函數圖象有兩個交點；當0<〃<1時，兩函數圖象有一個交點.故〃>1.

L課時?跟蹤檢測口——關鍵能力分層施練素養重提升--T課后練習

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A級?基礎達標

1.下列函數中，其圖象與函數/(x)=lnx的圖象關于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

解析：B法一設所求函數圖象上任一點的坐標為(x,y),則其關于直線x=l的對稱點的坐標為(2-x,

y),由對稱性知點(2y)在函數/(x)=lnx的圖象上，所以y=ln(2-x).

法二由題意知，對稱軸上的點(1,0)既在函數y=lnx的圖象上也在所求函數的圖象上，代入選項中的函數解

析式逐一檢驗，排除A、C、D,故選B.

2.(2024?廣州一模)函數〃無)=尤-要在［-無，捫上的圖象大致為()

(x),且/(-x)中-于(x),所以函數/(x)既不是奇函數也不是偶函數，其圖象關于原點不對稱，排除選項

C,D；當X=7I時，f(x)=f(7T)=71,排除選項A,故選B.

dx+b%v-1

3.(2024.沈陽質檢)若函數/(x)={''的圖象如圖所示，則〃-3)=()

In(%+d),x>-1

C.-1D.-2

解析：C?:f(-1)=0,Ain-l+〃)=0,-l+a=l,/.4Z=2,又過點(-1,3)A2X(-

1)+。=3,:.b=5、:?f(-3)=-3a+b—-6+5=-1.

4.把函數/(x)=lnIx-〃I的圖象向左平移2個單位長度，所得函數在(0,+8)上單調遞增，則a的最大值

為()

A.lB.2

C.3D.4

解析：B把函數/(無)=ln\x-a\的圖象向左平移2個單位長度，得到函數g(x)=lnI尤+2-aI的圖象，則

函數g(無)在(a-2,+8)上單調遞增，又因為所得函數在(0,+8)上單調遞增，所以“-2W0,即aW2.

所以a的最大值為2.

5.(2024.信陽一模)函數y=/(無)的圖象如圖①所示，則圖②對應的解析式可以表示為()

A.y=f(Ixl)Bj

C.y=/(-IxI)D.y=-f(II)

解析：C對于A,將y=/(x)的圖象在y軸左側的部分“去除”，將y軸右側的部分關于y軸作對稱，y軸右側

的部分保持不變，可得)的圖象，A錯誤；對于B,將y=/(x)的圖象在x軸以上的部分保留，x軸

以下部分翻折到x軸上方，可得y=l/(x)I的圖象，B錯誤；對于C,將y=/(x)的圖象在y軸右側的部分

“去除”，將y軸左側的部分關于y軸作對稱，y軸左側的部分保持不變，可得y=f(-Ixl)的圖象，C正確；

對于D,將y=/()的圖象關于x軸作對稱，即可得y=-/(IxI)的圖象，D錯誤.故選C.

6.(多選)對于函數〃x)=lg(Ix-2I+1)，下列說法正確的是()

A〃x+2)是偶函數

B〃尤+2)是奇函數

C〃無)在區間(-8,2)上單調遞減，在區間(2,+8)上單調遞增

D/(x)沒有最小值

解析：AC/(x+2)=lg(IxI+1)為偶函數，A正確，B錯誤；作出/G)的圖象如圖所示，可知f(x)在

(-8,2)上單調遞減，在(2,+°°D錯誤.

7.已知函數〃x)的圖象如圖所示，則函數g(x)=log忖(x)的定義域是(2,8].

解析：當f(x)>0時，函數g(尤)=log#'(x)有意義，由函數/(x)的圖象知滿足了(x)>0時，xd(2,8].

8.已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，且當后0時，/(x)=r-x.若〃“)<4+/(-a),則實數a的取值

范圍是(-8,2).

解析：因為f(x)為奇函數，所以/(-x)=-/(x),所以f(a)<4+/(-a)可轉化為/(a)<2,作出了

(x)的圖象，如圖.由圖易知a<2.

a,a<b,

設函數/(尤)=-x+3,g(X)=log2X,貝11函數/?(X)

(b,a>b.

=min{/(x),g(x)}的最大值是1.

解析：法一在同一坐標系中，作出函數/(x),g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實線部分.

易知點A(2,1)為圖象的最高點，因此"(九)的最大值為〃(2)=1.

牛

'、、X―

0(2x

(

logx,0<x<2

法二依題意，h(x)=，2t當0<xW2時，h(x)=log2%單調遞增,當龍>2時，h(x)=3-x

-x4-3zx>2.

單調遞減，因此"(x)在x=2時取得最大值4(2)=1.

丫2-L9Xyf)

。已知〃無)=''是定義在R上的奇函數.

-x2+2x,x>0

(1)請畫出〃尤)的大致圖象并在圖象上標注零點；

(2)已知a>1,若函數〃x)在區間［-1,a-2］上單調遞增，求實數a的取值范圍.

解：(1)根據題意，列表如下，

X-2-1012

了(無)0-1010

f(x)的大致圖象如圖所示，其中有-2,0,2三個零點.

(2)由(1)的函數圖象可知，要使/(X)在［-1,a-2］上單調遞增，則-l<a-2Wl,即l<aW3,故a的取

值范圍為(1,3］,

B級?綜合應用

11.若直角坐標平面內4B兩點滿足①點48都在函數/(X)的圖象上；②點48關于原點對稱，則點對

(A,8)是函數〃x)的一個“姊妹點對”.點對(A,8)與(8,A)可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數了

(X)=4,'則〃X)的“姊妹點對”有()

(I(^>。)，

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：C根據題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數圖象上，且關于坐標原點對稱.可作出函數y=r+2x

(x<0)的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數>=三(x20)的圖象的交點個數即可.如圖所示，當尤=1時，0

ex

<^<1,觀察圖象可得，它們有2個交點.故選C.

12.(多選)某同學在研究函數〃，)=不(xdR)時，給出了下面幾個結論,其中正確的是()

A/(x)的圖象關于點(-1,1)對稱

B〃x)是單調函數

C〃x)的值域為(7,1)

D.函數g(x)=/(x)-x有且只有一個零點

解析：BCD作出y=/(無)的圖象，如圖所示，對于A,/(x)的圖象關于點(0,0)對稱，不關于點(-1,

1)對稱，故A錯誤；對于B,f(x)是R上的增函數，故B正確；對于C,由圖知，/(x)的值域為(-1,

1),故C正確；對于D,令g(x)=f(x)-x=0,得-------1)=0,解得x=0,所以函數g(x)=/(尤)

V+Ix|)

-X有且只有一個零點，故D正確.

/

=42=az=2