第頁專題03平方差和完全平方公式（六大類型）【題型1平方差公式運算】【題型2平方差公式的逆運算】【題型3平方差公式的幾何背景】【題型4完全平方公式】【題型5完全平方公式下得幾何背景】【題型6完全平方公式的逆運算】【題型1平方差公式運算】1．（2023春?扶風縣期末）計算：（m﹣5）（m+5）＝m2﹣25．【答案】m2﹣25．【解答】解：（m﹣5）（m+5）＝m2﹣25，故答案為：m2﹣25．2．（2023春?蕉城區校級月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，則a2﹣b2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵a+b＝1，a﹣b＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案為：2022．3．（2023?紅花崗區三模）已知x+y＝4，x﹣y＝9，則x2﹣y2＝36．【答案】36．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝9，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×9＝36，故答案為：36．4．（2023春?江州區期末）若x+y＝5，x﹣y＝1，則x2﹣y2＝5．【答案】5．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；把x+y＝5，x﹣y＝1代入原式得，5×1＝5；故答案為：5．5．（2022秋?河北區期末）計算982﹣99×97＝1．【答案】1．【解答】解：982﹣99×97＝982﹣（98+1）（98﹣1）＝982﹣（982﹣1）＝982﹣982+1＝1．故答案為：1．6．（2023春?鹽都區期中）若m+n＝3，m﹣n＝4，則m2﹣n2＝12．【答案】12．【解答】解：∵m+n＝3，m﹣n＝4，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×4＝12，故答案為：12．7．（2023春?清苑區期末）若a2＝7，b2＝5，則（a+b）（a﹣b）的值為2．【答案】見試題解答內容【解答】解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝7﹣5＝2．故答案為2．【題型2平方差公式的逆運算】8．（2023春?興平市期末）已知a2﹣b2＝5，則（a+b）2（a﹣b）2＝25．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵a2﹣b2＝5，∴（a+b）（a﹣b）＝5∴（a+b）2（a﹣b）2＝[（a+b）（a﹣b）]2＝52＝25．故答案為：25．9．（2023春?攸縣期中）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，則x+y＝6．【答案】6．【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，∴x﹣y＝12÷2＝6，故答案為：6．10．（2023春?本溪期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，則a+b的值是5．【答案】5．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3，∴a+b＝5．故答案為：5．11．（2023春?定邊縣校級期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，則4a+4b＝20．【答案】20．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3，∴a+b＝5，∴4a+4b＝4（a+b）＝4×5＝20．故答案為：20．12．（2023春?海陽市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項式x﹣2y的值是3．【答案】3．【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案為：3．13．（2023春?遼陽期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，則n﹣m等于﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，∴m﹣n＝（m2﹣n2）÷（m+n）＝6÷3＝2，∴n﹣m＝﹣2，故答案為：﹣2．14．（2023春?東明縣期末）若a+b＝4，a2﹣b2＝12，那么a﹣b的值是3．【答案】3．【解答】解：因為a+b＝4，a2﹣b2＝12，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以12＝4（a﹣b），所以a﹣b＝3．故答案為：3．【題型3平方差公式的幾何背景】15．（2023春?鄄城縣期末）在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b，如圖1），把余下部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2），根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證公式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab【答案】C【解答】解：圖1陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2是長為a+b，寬為a﹣b的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：C．16．（2022秋?離石區期末）在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為a2﹣b2；拼成的長方形的面積：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：B．17．（2023春?岑溪市期末）從邊長為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述過程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．（3）計算：．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）5；（3）．【解答】解：（1）上述過程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）9x2﹣16y2＝30∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30∵3x+4y＝6∴3x﹣4y＝5（3）原式＝＝＝＝18．（2023春?威寧縣期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．?（1）上述操作能驗證的等式是A．（請選擇正確的選項）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝24，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）用簡便方法計算：20222﹣2021×2023．【答案】（1）A．（2）3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【解答】解：（1）由題意可知圖1剩下的面積為：a2﹣b2，圖2的面積為：（a+b）（a﹣b），則可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，x+y＝8，∴x﹣y＝24÷8＝3．故答案為：3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．19．（2022秋?羅定市期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是a2﹣b2；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為a+b；寬為a﹣b；面積為（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一個公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式計算：20222﹣2024×2020．【答案】（1）a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）4．【解答】解：（1）根據題意可得：圖1陰影部分的面積＝，圖2長方形的長為：a+b，圖2長方形的寬為：a﹣b，∴面積為：（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．20．（2023春?銀川校級期末）如圖（1），從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形，然后將剩余部分拼成一個長方形，如圖（2）．（1）上述操作能驗證的等式是A.（請選擇正確的選項）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；B．a2﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．（2）已知a2﹣b2＝28，a+b＝7，求的值；（3）運用你從（1）中選擇的等式進行簡便計算：9992﹣9982．?【答案】（1）A；（2）；（3）1997．【解答】解：（1）圖1得剩余部分的面積為：a2﹣b2，圖2把剩余部分拼成一個長方形，長為（a+b），寬為（a﹣b），面積為（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：A．（2）∵a2﹣b2＝28，a+b＝7，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4，∴＝；（3）原式＝（999+998）（999﹣998）＝1997×1＝1997．21．（2023春?鄠邑區期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖2所示是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．（1）設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請直接用含a，b的代數式表示S1，S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；（3）試利用這個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．【題型4完全平方公式】22．（2023春?普寧市期末）已知m﹣n＝3，則m2﹣2mn+n2＝9．【答案】9．【解答】解：∵m﹣n＝3，∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝32＝9．故答案為：9．23．（2023?道縣一模）當m＝2n﹣3時，代數式m2﹣4mn+4n2＝9．【答案】9．【解答】解：因為m＝2n﹣3，所以m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2＝（2n﹣3﹣2n）2＝9．故答案為：9．24．（2023?江西）化簡：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【答案】2a+1．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案為：2a+1．25．（2023?青秀區校級模擬）若x+y＝1，則x2+2xy+y2＝1．【答案】1．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，故答案為：1．26．（2023春?中原區校級期中）計算：（﹣2a+3）2＝4a2﹣12a+9．【答案】4a2﹣12a+9．【解答】解：原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32＝4a2﹣12a+9．故答案為：4a2﹣12a+9．27．（2023春?鹿城區期中）計算：（a﹣3）2＝a2﹣6a+9．【答案】a2﹣6a+9．【解答】解：原式＝a2﹣2×3a+32＝a2﹣6a+9．故答案為：a2﹣6a+9．28．（2022秋?杭錦后旗校級月考）已知x＝y+6，則x2﹣2xy+y2的值為36．【答案】36．【解答】解：∵x＝y+6，∴x﹣y＝6，∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝62＝36．故答案為：36．29．（2022秋?塔城地區月考）計算：20192﹣4038×2018+20182＝1．【答案】1．【解答】解：由題意，20192﹣4038×2018+20182＝（2019﹣2018）2＝1．故答案為：1．30．（2022春?建鄴區校級期末）已知（m+n）2＝7，（m﹣n）2＝3，則m2+n2＝5．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝3②，∴①+②得：2（m2+n2）＝10，則m2+n2＝5，故答案為：5【題型5完全平方公式下得幾何背景】31．（2023?裕華區三模）某小區有一正方形草坪ABCD如圖所示，小區物業現對該草坪進行改造，將該正方形草坪AB邊方向的長度增加3米，AD邊方向的長度減少3米，則改造后的長方形草坪面積與原來正方形草坪面積相比（）A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．減少9平方米 D．保持不變【答案】C【解答】解：設原正方形草坪的邊長為a米．則面積為a2平方米，改建后的草坪的長為（a+3）米，寬為（a﹣3）米，因此面積為（a+3）（a﹣3）＝（a2﹣9）平方米，因此造后的長方形草坪面積與原來正方形草坪面積差為a2﹣（a2﹣9）＝9（平方米），即改造后的長方形草坪面積與原來正方形草坪面積減少9平方米，故選：C．32．（2022秋?鄰水縣期末）如圖，點B是線段CG上一點，以BC，BE為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，設CG＝6，兩個正方形的面積之和S1+S2＝16，則陰影部分△BCE的面積為（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【解答】解：設BC＝a，BE＝b，∵四邊形BEFG是正方形，∴BE＝BG＝b，∵兩正方形的面積和S1+S2＝16，∴a2+b2＝16，∵a+b＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，∴ab＝10，∴S陰＝ab＝5，故選：B．33．（2022秋?大足區期末）用如圖所示的幾何圖形的面積可以解釋的代數恒等式是（）A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab【答案】C【解答】解：整體是長為2a，寬為a+b的長方形，因此面積為2a（a+b），這個長方形是由4個部分組成的，這4個部分的面積和為2a2+2ab，所以有2a（a+b）＝2a2+2ab，故選：C．34．（2022秋?唐河縣期末）將一塊邊長為a米的正方形廣場進行擴建，擴建后的正方形邊長比原來長2米，則擴建后廣場面積增大了（）A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2【答案】D【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，故選：D．35．（2022秋?廣宗縣期末）小張利用如圖①所示的長為a、寬為b的長方形卡片4張，拼成了如圖②所示的圖形，則根據圖②的面積關系能驗證的恒等式為（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】C【解答】解：∵用整體和各部分求和兩種方法表示出圖②的面積的面積各為：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故選：C．36．（2023春?清遠期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2經過適當的變形，可以解決很多數學問題，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）①若x+y＝8，x2+y2＝34，則xy＝15；②若2a﹣b＝3，ab＝2，則2a+b＝±5．（2）如圖，C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，兩個正方形的邊長分別是m和n，且AB＝8，如果這兩個正方形的面積和S1+S2＝20，求△AFC的面積．【答案】（1）①15；②±5；（2）11．【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝34，∴82﹣2xy＝34．∴xy＝15．故答案為：15．②∵（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab，2a﹣b＝3，ab＝2，∴（2a+b）2＝32+8×2＝25．∴2a+b＝±5．故答案為：±5．（2）設AC＝m，CF＝n，∵AB＝8，∴m+n＝8．又∵S1+S2＝20，∴m2+n2＝20．由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴82＝20+2mn．∴mn＝22．∴S△AFC＝mn＝11．答：△AFC的面積為11．37．（2022秋?漢川市期末）如圖1是一個長為2x，寬為2y的長方形，按圖中虛線用剪刀平均分成四個完全相同的小長方形，然后按圖2的方式拼成一個正方形．（1）試用含x，y的式子表示圖2中陰影部分的面積（要求：用兩種不同的方法）；（2）若x+y＝5，xy＝3，求（x﹣y）2的值．【答案】（1）（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）13．【解答】解：（1）由圖可知小長方形的長為：x，寬為y，第一種方法：則陰影部分的邊長為：x﹣y，即陰影部分的面積為：；第二種方法：即大正方形的邊長為：x+y，則大正方形的面積為：，由圖可知小長方形的面積為：S小長方形＝x×y＝xy，則陰影部分的面積為：；即陰影部分的面積為：（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）根據（1）中陰影部分的面積不變，可得：（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，∵x+y＝5，xy＝3，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×3＝13，即值為13．38．（2023春?濟南期中）現有長與寬分別為a、b的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關于a、b的關系式：（用含a、b的代數式表示出來）；圖1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；圖2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（3）請直接寫出下列問題答案：①若2m+3n＝5，mn＝1，則2m﹣3n＝±1；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，則（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13．（4）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝7，兩正方形的面積和S1+S2＝16，求圖中陰影部分面積．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）12．（3）①±1；②13．（4）．【解答】解：（1）圖1中，由圖可知S大正方形＝（a+b）2，S組成大正方形的四部分的面積之和＝a2+b2+2ab，由題意得，S大正方形＝S組成大正方形的四部分的面積之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．圖2中，由圖可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四個長方形＝4ab，由題圖可知，S大正方形＝S小正方形+S四個長方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]∵x+y＝8，x2+y2＝40，∴xy＝（64﹣40）＝12．（3）①由圖2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，∵2m+3n＝5，mn＝1，∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，∴2m﹣3n＝±1．故答案為：±1．②由圖1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m），∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，∴原式＝1+2×6＝13．故答案為：13．（4）由題意得AB＝AC+CB，∵AB＝7，∴AC+CB＝7，∵S1+S2＝16，∴AC2+CB2＝16，∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC?CB，∴AC?CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]＝（49﹣16）＝，∴S陰影＝CD?CB＝AC?CB＝．即圖中陰影部分的面積為．39．（2023春?蜀山區校級期中）在探究完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2時，通過適當的變形，可以解決很多數學問題．例如：若a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：因為a+b＝4，ab＝3，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．請根據上面的解題思路和方法，解決下列問題：（1）若x﹣y＝10，xy＝﹣22，求x2+y2的值；（2）將邊長為x的正方形ABCD和邊長為y的正方形CEFG按如圖所示放置，其中點D在邊CE上，連接AG，EG，若x+y＝14，xy＝32，求陰影部分的面積．【答案】（1）56；（2）50．【解答】解：（1）∵x﹣y＝10，xy＝﹣22，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝100﹣44＝56；（2）由題意可得，S陰影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG＝x2+y2﹣x（x+y）＝（x2﹣xy+y2）＝[（x+y）2﹣3xy]＝（196﹣3×32）＝50，答：陰影部分的面積為50．【題型6完全平方公式的逆運算】40．（2022秋?克東縣校級月考）若a+