第頁專題4.5一次函數的應用（5種方法7類題型）（知識點梳理與題型分類講解）第一部分【知點梳理與題型目錄】【知識點1】利用一次函數解決實際問題的步驟審—仔細審題理解題意；找—找出實際問題中的變量和常量，明確它們之間的關系；列—建立一次函數表達式，弄清自變量的取值范圍；解—根據題目中的已知條件，由一個變量求另一個變量，也就是解方程的過程；驗—檢驗結果，得出符合實際的結論.【知識點2】一次函數模型的應用方法函數應用題是以貼近現實生活的話題為背景運用函數知識來解決的一類問題這類問題也是中考的熱點，要求能依據問題的特點建立函數模型，收集信息，并加以解決.【知識點3】選取合適的一次函數解決方案問題方案的選取就是在自變量的不同取值范圍內比較多個函數值的大小，同時也是利用一次函數解決實際問題的典型題目，它的實質是將比較函數值大小的問題轉化為解方程或解不等式的問題.【知識點4】利用一次函數最值解決最優化問題的方法最值問題是中考的熱點與難點問題我們知道，一次函數()中的自變量的取值范圍是全體實數,其圖象是一條直線所以函數既沒有最大值，也沒有最小值，但由于在實際問題中，所列函數表達式中自變量的取值范圍往往有一定的限制，所以函數圖象為線段或射線，故函數就有了最值在求函數的最值時，我們應先求出函數的表達式，并確定其增減性，再根據題目條件確定出自變量的取值范圍，然后結合增減性確定出最大值或最小值.【知識點5】構造一次函數模型解決動態幾何問題的方法在圖形運動變化過程中，往往伴隨著圖形位置關系及數量關系的變化，有些能夠用一次函數來反映圖形運動的變化規律解決動態幾何問題，要動中有靜、動靜結合，在運動變化中提高學生的想象能力、綜合分析能力.題型目錄【題型1】利用一次函數解決最優方案問題2;【題型2】利用一次函數最值解決最優化問題3；【題型3】一次函數與幾何問題3；【題型4】一次函數與行程問題4；【題型5】利用一次函數解決其他問題5；【題型6】直通中考6；【題型7】拓展延伸7.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】利用一次函數解決最優方案問題【例1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）周末，張洋去某楊梅園摘楊梅，已知該楊梅園內的楊梅單價是每千克40元．為滿足客戶需求，該楊梅園現推出兩種不同的銷售方案：甲方案：游客進園需購買30元的門票，采摘的楊梅按原價的七折收費；乙方案：游客進園不需購買門票，采摘的楊梅在10千克以內按原價收費、超過10千克后，10千克部分按原價收費，超過部分按原價的五折收費．設張洋的采摘量為千克，按甲方案所需總費用為元，按乙方案所需總費用為元．（1）當采摘量超過10千克時，分別求出、關于x的函數表達式；（2）若張洋的采摘量為30千克，選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【變式1】某游泳館新推出了甲、乙兩種消費卡，設游泳次數為時兩種消費卡所需費用分別為，元，，與的函數圖象如圖所示，當游泳次數為30次時選擇哪種消費卡更合算（

）A．甲種更合算 B．乙種更合算 C．兩種一樣合算 D．無法確定【變式2】．（2021·浙江杭州·二模）A城有種農機30臺，B城有該農機40臺，現要將這些農機全部運往C，D兩鄉，調運任務承包給某運輸公司．已知C鄉需要農機34臺，D鄉需要農機36臺，從A城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉運送農機的費用分別為150元/臺和240元/臺．設A城運往C鄉該農機x臺，運送全部農機的總費用為W元，則W關于x的函數關系式為．【題型2】利用一次函數最值解決最優化問題【例2】（2024·山東濟南·模擬預測）2023山東國際農業博覽會于2023年12月22-24日在山東國際會展中心舉辦，本屆農博會以“聚焦新機遇·共謀新發展”為主題，致力打造從田間到餐桌，全鏈條創新發展商貿服務平臺，全面展示現代農業、農業全產業鏈新產品、新技術、新成就，擴大內外市場、促進交流合作．打造農、食、餐、飲產品主題特色展覽展示盛會．展會上，某公司經營甲、乙兩種特產，其中甲特產每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元．由于受有關條件限制，該公司每月這兩種特產的銷售量之和都是100噸，且甲特產的銷售量都不超過20噸．（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產各多少噸？（2）求該公司一個月銷售這兩種特產所能獲得的最大總利潤．【變式1】（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）在期中考試總結會議上，學校決定購買A，B兩種獎品共120件，對表現優異的學生進行獎勵．已知A種獎品的價格為32元/件，B種獎品的價格為15元/件．（1）請直接寫出購買兩種獎品的總費用y（元）與購買A種獎品的數量x（件）之間的關系式；（2）當購買了30件A種獎品時，總費用是多少元？（3）若購買的A種獎品不多于50件，則總費用最多是多少元？【變式2】（23-24八年級下·河北唐山·期末）某商場計劃購進兩種服裝共100件，甲種服裝進價160元/件，售價元/件；乙種服裝進價元/件，售價160元/件．設購進甲種服裝件，兩種服裝全部售完，商場獲利最大利潤為4950元，則的值為．(其中)【題型3】一次函數與幾何問題【例3】（24-25九年級上·廣東廣州·開學考試）如圖①，一次函數的圖象分別交軸、軸于點A，B，正比例函數的圖象與直線交于點．（1）求的值并直接寫出正比例函數的解析式；（2）如圖②，點在線段上，且與點O，C不重合，過點作軸于點，交線段于點，點的橫坐標為4．若是直線上的一點，的面積為面積的3倍，求點的坐標．【變式1】（2024·內蒙古鄂爾多斯·三模）如圖，從光源發出的一束光，遇到平面鏡（軸）上的點后，反射光線交軸于點，若光線滿足的函數關系式為：，則的值為（）A． B． C．1 D．﹣1【變式2】（24-25九年級上·湖南長沙·開學考試）一次函數的圖象交軸、軸分別于點，，點，分別是，的中點，若是上一動點．當周長最小時，的坐標是．【題型4】一次函數與行程問題【例4】（23-24八年級下·河南信陽·期末）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現有兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元）與騎行時間之間的對應關系，其中品牌收費方式對應，品牌的收費方式對應，請根據相關信息，解答下列問題：（1）說出圖中函數交點表示的實際意義；（2）求關于的函數解析式；（3）如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇______品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”）【變式1】（24-25九年級上·全國·課后作業）為增強學生體質，某中學在體育課中加強了學生的長跑訓練．在一次女子800米耐力測試中，小靜和小茜在校園內400米的環形跑道上同時起跑，同時到達終點．所跑的路程s（米）與所用的時間t（秒）之間的函數圖象如圖所示，則她們第一次相遇的時間是起跑后的第（

）A．80秒 B．105秒 C．120秒 D．150秒【變式2】（23-24八年級下·全國·單元測試）摩托車甲、汽車乙從相距的A、B兩地相向而行，圖中、分別表示甲、乙兩車離A地的距離與行駛時間之間的函數關系．當時，汽車乙離A地的距離不小于摩托車甲離A地的距離的時間范圍是．【題型5】利用一次函數解決其他問題【例5】（23-24八年級下·全國·期末）為預防流行病毒，某校對教室進行消毒．設室內每立方米空氣中的含藥量為，從開始消毒計時為（分鐘）．前10分鐘為藥物釋放階段，與成正比例關系；10分鐘以后，與成一次函數關系，測得10分鐘時，室內含藥量為；30分鐘時，室內含藥量為．根據以上信息解答下列問題：（1）求與的函數關系式；（2）當每立方米空氣中含藥量不低于持續40分鐘消毒才有效，此次消毒是否有效？【變式1】（24-25九年級上·北京·開學考試）小明同學在一次學科綜合實踐活動中發現，某品牌鞋子的長度與鞋子的碼數之間滿足一次函數關系，下表給出與的一些對應值：根據小明的數據，可以得出該品牌38碼鞋子的長度為（

）碼數x26303442長度y18202226A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級下·湖南長沙·期末）某醫院研究所開發了一種新藥，在實驗藥效時發現：如果成人按規定劑量服用，那么服藥后每毫升血液中含藥量y（微克）隨時間x（小時）的變化情況如圖所示，如果每毫升血液中的含藥量3微克或3微克以上時，治療疾病最有效，那么這個最有效的時間共有小時．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】【題型6】直通中考【例1】（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）領航無人機表演團隊進行無人機表演訓練，甲無人機以a米/秒的速度從地面起飛，乙無人機從距離地面20米高的樓頂起飛，甲、乙兩架無人機同時勻速上升，6秒時甲無人機到達訓練計劃指定的高度停止上升開始表演，完成表演動作后，按原速繼續飛行上升，當甲、乙無人機按照訓練計劃準時到達距離地面的高度為96米時，進行了時長為t秒的聯合表演，表演完成后以相同的速度大小同時返回地面．甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(米)與無人機飛行的時間x(秒)之間的函數關系如圖所示．請結合圖象解答下列問題：（1）(1)______米/秒，______秒；（2）求線段所在直線的函數解析式；（3）兩架無人機表演訓練到多少秒時，它們距離地面的高度差為12米？(直接寫出答案即可)【例2】（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優質水果，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：水果種類進價（元/千克）售價（元/千克）甲22乙25該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．（1）求的值；（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于50千克，且不大于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進甲種水果的數量（千克）之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．【題型7】拓展延伸【例1】．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線與軸相交于點，以為邊作等邊三角形，點在第一象限內，過點作軸的平行線與直線交于點，與軸交于點，以為邊作等邊三角形（點在點的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點的橫坐標為．【例2】（2023·江蘇蘇州·中考真題）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重