高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市部分地區2024屆高三上學期1月期末聯考調研數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故.故選：B.2.已知為虛數單位，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由題意知，，即，所以，所以.故選：D.3.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）Aαβ，mα，則mβB.m?α，n?α，mβ，nβ，則αβC.m⊥n，m⊥α，nβ，則α⊥βD.m⊥α，mn，αβ，則n⊥β〖答案〗D〖解析〗對于A選項，αβ，mα，則mβ或m?β，所以A選項錯誤.對于B選項，m?α，n?α，mβ，nβ，則αβ或α和β相交，只有加上條件m與n相交時，才有結論αβ，所以B選項錯誤.對于C選項，m⊥n，m⊥α，nβ，則αβ或α與β相交，所以C選項錯誤.對于D選項，m⊥α，mn，則n⊥α，又αβ，則n⊥β，所以D選項正確.故選：D.4.若是奇函數，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗令根據題意得：，解得：，；故選：A.5.已知銳角的頂點在原點，始邊在軸非負半軸，現將角的終邊繞原點逆時針轉后，交以原點為圓心的單位圓于點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得角的終邊繞原點逆時針轉所得角為，為銳角，故，且P點橫坐標為，則在第二象限，則，故，則，故選：D.6.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，即，又，單位向量，則，，所以向量在向量方向的投影向量為.故選：C.7.保定的府河發源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里．府河作為保定城區主要的河網水系，是城區內主要的排瀝河道．府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優美，是我市的標志性建筑之一，懸鏈線函數形式為，當其中參數時，該函數就是雙曲余弦函數，類似的有雙曲正弦函數．若設函數，若實數滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，函數定義域R，為增函數，由，則函數為奇函數，由，即所以，解得，所以x的取值范圍為.故選：A.8.在橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內切圓圓心，設的內切圓半徑為，則，，由，得，即，∴橢圓的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為0.4B.數據11，19，15，16，19眾數是19，中位數是15C.數據0，1，5，6，7，11，12，這組數據的第70百分位數為7D.對于隨機事件與，若，，則事件與獨立〖答案〗ACD〖解析〗選項A：根據古典概型，,選項正確；選項B：根據眾數、中位數概念，眾數是19，從小到大排列，中位數是16，選項錯誤；選項C：根據百分位數概念，，這組數據的第70百分位數為7.選項正確；選項D：,即，選項正確；故選：ACD10.先將函數圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，再把圖象向右平移個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數的圖象，則關于函數，下列說法正確的是（）A.最小正周期為 B.在上單調遞增C.時 D.其圖象關于點對稱〖答案〗AB〖解析〗將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標不變，得到，再把圖象向右平移個單位長度，得到，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到.對于A，，故A正確；對于B，在單調遞增，當時，，在上單調遞增，故B正確；對于C，當時，，，，故C錯誤；對于D，當時，函數滿足，函數關于點對稱，關于點對稱，故D錯誤.故選：AB.11.已知曲線：，則以下說法正確的是（）A.若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則B.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是C.曲線為橢圓時，離心率為D.若曲線為雙曲線，則漸近線方程為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：由于為焦點在軸上的橢圓，則，，所以，即，故A正確；對于B：曲線為焦點在軸上的橢圓，則由A可知，又因為，則，即則短軸長取值范圍是，故B正確；對于C：若為橢圓時，當焦點在軸上，離心率為，當焦點在軸上，此時，，離心率為，故C錯誤；對于D：若曲線為雙曲線，則,令，則，雙曲線漸近線方程為：，故D正確.故選：ABD.12.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點，分別是，的中點，且，，，，則（）A.平面B.四面體是鱉臑C.是四面體外接球球心D.過A、、三點的平面截四面體的外接球，則截面的面積是〖答案〗ABD〖解析〗因為，為的中點，所以，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，A正確；因為平面，所以，為直角三角形，由勾股定理得，因為，所以，因為，，所以為直角三角形，所以四面體是鱉臑，B正確；由上知，，所以，故不可能為四面體外接球球心，C錯誤；記的中點為O，由上知，和都是以為斜邊的直角三角形，所以，，即O為四面體外接球球心，因為分別為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，因為，所以，，所以，記點O到平面的距離為d，則，得，所以的外接圓半徑，所以，過A、、三點的平面截四面體的外接球的截面的面積為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為______．〖答案〗（或寫為）〖解析〗因為，所以點在圓上，直線的斜率為，由圓的幾何性質可知，，則直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，則，故.即直線的傾斜角為（或）.14.保定某中學舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復被抽取），則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為______．〖答案〗〖解析〗利用分步乘法原理計算出一共有25種結果，其中兩個班抽到不同歌曲的個數為20種，則根據古典概型的概率公式計算：.15.等差數列前13項和為91，正項等比數列滿足，則______．〖答案〗13〖解析〗由題知，，解得，所以，所以.16.已知不等式對任意的實數恒成立，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗令，則原不等式可化為對任意實數恒成立，即恒成立，令，則，當時，，在上單調遞增，時，，不合題意；當時，由，可得，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，，又因為恒成立，所以，所以，所以，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的內角A，，C所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若的角平分線交于點，，，求．解：（1）由及正弦定理，可得．因為，所以．又，所以，則，又，所以．（2）∵為的平分線，，由內角平分線性質定理，，又∵，在中，由余弦定理，，,∴，又∵，∴，又∵，∴在中，，∴．18.在菱形中，，，，分別為，的中點，將菱形沿折起，使，為線段中點．（1）求大小；（2）求直線與平面所成角的大小．解：（1）依題意，都是邊長為的正方形，且，由為中點，得，，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，顯然平面平面，在平面內過作于，則平面，在平面內過作，則直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，則，而分別為的中點，則，，于是，即有，所以.（2）由（1）知，，，，設平面法向量為，則，即，令，得，設直線與平面所成的角為，則，而，因此，所以直線與平面所成角的大小為.19.在正項數列中，，且．（1）求證：數列是常數列，并求數列的通項公式；（2）若，記數列的前項和為，求證：．證明：（1）由題知正項數列，且，所以有，兩式相除得，即，兩邊取對數有，即，所以，所以，結合，所以，即數列是常數列，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以，所以，故，又因為單調遞增，所以，即，得證.20.已知拋物線：（）的焦點為，準線交軸于點，點，若的面積為1，過點作拋物線的兩條切線切點分別為，．（1）求的值及直線的方程；（2）點是拋物線弧上一動點，點處的切線與，分別交于點，，證明：．（1）解：，所以即拋物線方程為：，.方法1：：，，設切點，切線斜率為切線方程為，此切線過解得，或，得兩切點坐標，．所以直線方程為.方法2：設，，在拋物線上，所以，，切線方程分別為：又因為兩切線相交于,所以，即，均在直線上，即．（2）證明：方法1：設切點（），可得過點切線：，化簡得，由第一問知，點，可得直線方程為，聯立解得點橫坐標，同理由，坐標可得直線方程，可得點橫坐標.，結論得證.方法2：相減：，，過的切線，交：，得，同理，，.所以.21.杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素．本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情．某體能訓練營為了激勵參訓隊員，在訓練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓練場地，恰有20步臺階，現有一枚質地均勻的骰子，游戲規則如下：擲一次骰子，出現3的倍數，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復以上步驟，當隊員到達第7或第8步臺階時，游戲結束．規定：到達第7步臺階，認定失敗；到達第8步臺階可贏得一組吉祥物．假設平地記為第0步臺階．記隊員到達第步臺階的概率為（），記．（1）投擲4次后，隊員站在的臺階數為第階，求的分布列；（2）①求證：數列（）是等比數列；②求隊員贏得吉祥物的概率．（1）解：由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為，爬兩步臺階的概率為，所以隨機變量可能取值為4，5，6，7，8，可得，，，，，所以的分布列：45678（2）（ⅰ）證明：，即爬一步臺階，是第1次擲骰子，向上點數不是3的倍數概率，則，到達第步臺階有兩種情況：①前一輪爬到第步臺階，又擲骰子是3的倍數得爬兩步臺階，其概率為，②前一輪爬到第步臺階，又擲骰子不是3的倍數爬一步臺階，其概率為，所以（），則（），所以數列（）是首項為，公比為的等比數列．（ⅱ）解：因為數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以（），所以活動