高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西南寧市部分名校2024屆高考模擬數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知an是等比數列，，，則（）A.10 B. C.6 D.〖答案〗C〖解析〗因為是等比數列，所以，又因為，所以，故選：C．2.若復數是純虛數，則實數（）A.1 B. C. D.0〖答案〗B〖解析〗由，根據題意可知.故選：B.3.如圖，有三個相同的正方形相接，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設正方體邊長為1，由圖可得，則且，所以.故選：B.4.已知正方形的四個頂點都在橢圓上，橢圓的兩個焦點分別在邊和上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨設橢圓方程為，當時，，所以，因為四邊形為正方形，所以，即，所以，所以，解得，因為，所以．故選：C.5.小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據題意，設事件A為“小明爬到第4級臺階”，事件B為“小明走了3步爬到第4級臺階”，事件A包含3中情況，①走了4次1級臺階，其概率.②走了2次1級臺階，1次2級臺階，其概率，即,③走了2次2級臺階，其概率，故小明爬到第4級臺階概率，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率,故選：D.6.已知圓，點在線段（）上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，以為直徑作圓，則圓的面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，，，，為銳角，當圓的面積取最大值時AB最大，因為，所以當最大時AB最大，因在上單調遞增，所以當最大時最大，在中，，所以最大時最大，因為，所以當最大時，最大，因為點在線段（）上，所以，所以當點為時，最大，，即,此時，即，所以，即圓半徑為，所以圓的面積的最大值為，故選：D．7.《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為平面，AB、平面，所以，，因為，，、平面，所以平面，如圖所示，設為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因且，所以，所以弧的長為．故選：B.8.若函數存在零點，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，設，則，∴在R上單調遞增，∴，∴，，，即．所以存在零點等價于方程有解，令，則，當時，h'x<0；當時，h所以hx在上為減函數，在上為增函數，所以．故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.銳角三角形中，角，，所對應的邊分別是，，，下列結論一定成立的有（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為為銳角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為為銳角三角形，且，所以，又因為在上單調遞增，所以，故C正確；對于D，由得，，由為銳角三角形得，，即，解得，故D正確；故選：BCD．10.已知定義在上的奇函數，對，，且當時，，則（）A.fB.有個零點C.在上單調遞增D.不等式的解集是〖答案〗AC〖解析〗對于A，在中，令，得，，故正確；對于B,又為上的奇函數，，，∴fx至少有三個零點，故錯誤；對于C,設，，且，則，，，在上是增函數，由于為奇函數，∴fx在上也是增函數，故C正確；對于D,易知當時，，當時，，由，得或，解得，故D錯誤．故選：．11.已知正方體的棱長為2，過棱的中點作正方體的截面，下列說法正確的是（）A.該正方體外接球的表面積是B.若截面是正六邊形，則直線與截面垂直C.若截面是正六邊形，則直線與截面所成角的正弦值的3倍為2D.若截面過點，則截面周長為〖答案〗BD〖解析〗對于A，外接球的半徑為，故外接球的表面積為，故A錯誤；對于B，建立如圖1所示的空間直角坐標系，設的中點為G，則，，，，，∴，，，∴，，則，，即，，又，，正六邊形截面，∴正六邊形截面，故B正確；對于C，如圖1，易得，為正六邊形截面的一個法向量，設直線與截面所成的角為，則，故C錯誤；對于D，如圖2，延長，與的延長線交于點K，與的延長線交于點L，連接交于點M，連接交于點N，則截面為平面．因此有，M為的三等分點，N為的三等分點，于是．∵，，，故截面的周長為，故D正確．故選：BD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.集合子集的個數是______________．〖答案〗64〖解析〗由題可知，，有6個元素，所以該集合的子集有個.13.設為正整數，展開式的二項式系數的最大值為，展開式的二項式系數的最大值為，若，則_____.〖答案〗〖解析〗由展開式的二項式系數的最大值為，則有，由展開式的二項式系數的最大值為，則有，由，故有，即，即，即，解得.14.已知拋物線的焦點為，點為拋物線上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由題意知，焦點，設存在定點，使得點在圓上運動時，均有，設，則，由，知，聯立兩式，消去可得，令，則，滿足上式，所以，所以，當且僅當，三點共線時，等號成立，設，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．（1）證明：因為，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因為，所以，所以或（舍去），所以；（2）解：根據等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.16已知函數，其中.（1）求函數的單調區間；（2）對任意，都有，求實數的取值范圍.解：（1）函數的定義域為(0,+∞)，函數的導數，因為，所以當時，，此時，函數在上單調遞減，當時，，此時，函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞減，所以對任意的，都有，因為對任意的，都有，所以，即，得，所以當時，對于任意的，都有，當時，，由（1）得在上單調遞增，所以對于任意，有，因為對于任意，都有，所以，即，設，則，設，則，所以在上單調遞減，則當時，，此時不等式不成立，綜上，所求的取值范圍是.17.如圖，在中，，，．將繞旋轉得到，，分別為線段，的中點．（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值．解：（1）因為，將繞旋轉得到，所以，又平面，所以平面，取中點，連接，作，垂足為，因為，點為中點，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，即點到平面的距離為的長度，因為平面，平面，所以，因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以，所以．（2）以點為坐標原點，所在直線為軸，以過點，垂直于平面的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，可得，即，取，則，取中點，連接，由等腰得，，則，由（1）得平面，所以為平面的一個法向量，設平面與平面所成夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為．18.已知雙曲線：過點，離心率為.（1）求的方程；（2）過點且斜率為的直線交雙曲線左支于點，平行于的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，點A在第一象限，直線的斜率為.若四邊形為平行四邊形，證明：為定值.（1）解：因為雙曲線：過點，離心率為，所以有；（2）證明：設直線的方程為，直線的方程為，，將代入直線得，即，聯立，得，得，即，，因為在第一象限，雙曲線漸近線方程為，聯立，得，即，聯立，得.即，所以，因為，所以，所以①，又②，①②得，，所以，所以，因為所以，為定值.19.夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續選擇銀耳羹的概率為，如此往復．（1）求該同學第2天選擇綠豆湯概率；（2）記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數列；（3）求從第1天到第10天中，該同學選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數．解：（1）設表示第1天選擇綠豆湯，表示第