第02講函數的性質：單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值

目錄

01考情透視?目標導航...........................................................................2

02知識導圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數的單調性.........................................................................4

知識點2：函數的最值...........................................................................5

知識點3：函數的奇偶性.........................................................................5

知識點4：函數的周期性.........................................................................5

知識點5：函數的對稱性.........................................................................6

解題方法總結...................................................................................6

題型一：單調性的定義及判斷....................................................................9

題型二：復合函數單調性的判斷.................................................................10

題型三：分段函數的單調性.....................................................................11

題型四：利用函數單調性求函數最值.............................................................12

題型五：利用函數單調性求參數的范圍...........................................................12

題型六：利用函數的單調性比較函數值大小.......................................................13

題型七：函數的奇偶性的判斷與證明.............................................................14

題型八：已知函數的奇偶性求參數...............................................................15

題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值.......................................................16

題型十：奇函數的中值模型.....................................................................16

題型十一：利用單調性與奇偶性求解函數不等式...................................................17

題型十二：函數對稱性的應用...................................................................18

題型十三：函數周期性的應用...................................................................19

題型十四：對稱性與周期性的綜合應用...........................................................20

題型十五：類周期與倍增函數...................................................................21

題型十六：抽象函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性..........................................22

04真題練習?命題洞見..........................................................................23

05課本典例?高考素材..........................................................................24

06易錯分析?答題模板..........................................................................25

易錯點：判斷函數的奇偶性忽視定義域...........................................................25

答題模板：判斷函數的奇偶性...................................................................25

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

2023年I卷第4、11題，10分從近幾年高考命題來看，本節是高

(1)函數的單調性2023年甲卷第13題，5分考的一個重點，函數的單調性、奇偶

(2)函數的奇偶性2022年H卷第8題，5分性、對稱性、周期性是高考的必考內

(3)函數的對稱性2022年I卷第12題，5分容，重點關注周期性、對稱性、奇偶性

(4)函數的周期性2021年D卷第8題，5分結合在一起，與函數圖像、函數零點和

2021年甲卷第12題，5分不等式相結合進行考查.

復習目標:

(1)借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.

(2)結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結合三角函數，了解周期性的概念和幾何意義.

(4)會依據函數的性質進行簡單的應用.

一般地，設函數/(.、)的定義域為％區間DG.4：

如果對于。內的任意兩個自變量的植

當吃K時,都仃/g</(.vj,則/(.v)Th區間Z)上是增函數.

Y］調函數的定義

般地,設函數/(.V)的定義域為H區間。G：

如果對于。內的任意兩個自變量的值

當時，都有/(.vjv/CvJ,則/(x)在區間。上是減函數.

單調性

如果函數尸/(*僑區間/上單調遞增或單調遞減，

單調區間的定義

則函數r=/(x)在這?區間具有單調性，區間/叫做r=/(x)的單調區間

復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增(減)函

數,內層函數是熠(減)函數,豆合函數是增函數；外層函數是熠(減)函數,內層函

數是減(增)函數,復合函數是減函數.

(l)V.vez),都有/(2二監

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM；

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

圖像關于T軸對稱

對于函數/(K)的定義域內任意一個K,都有/(?K)=/(X))

奇偶性

圖像關于原點對稱

對于函數/(2的定義域內任意一個K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒數丁=/C),如果存在一個非零常數r,

函數的性質使得當x取定義域內的任何值時,都有/&+乃=/(2,

那么就稱函數箕=/(.”為周期函數

/(?v)=/(.v+?)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期結論

人'+加抽”=嗎

2=搐"=4同

/(?"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函數7=/(工+。)為偶函數,則函數j=/(x)關于x=a對稱)

《若函數尸/。+。)為奇函數,則函數J=/(K)關于點00)對稱\)

<若/(M=，Qa-x),則函數/代)關于對稱)

(若/(2/(2。?2=2瓦則函數/(M關于點(。力)對稱、)

老占突硒?力理慳宙

1r知識國*'

知識點1:函數的單調性

（1）單調函數的定義

一般地，設函數/（尤）的定義域為A,區間

如果對于。內的任意兩個自變量的值占，*2當占＜々時，都有/（%）＜/（無2），那么就說了⑺在區間

D上是增函數.

如果對于。內的任意兩個自變量的值不，x2,當不＜/時，都有人占卜〃々），那么就說了（%）在區

間D上是減函數.

①屬于定義域A內某個區間上；

②任意兩個自變量％,%且為＜工2；

③都有/（%］）＜f（x2）或/（Xj）＞〃尤2）；

④圖象特征：在單調區間上增函數的圖象從左向右是上升的，減函數的圖象從左向右是下降的.

（2）單調性與單調區間

①單調區間的定義：如果函數/（X）在區間。上是增函數或減函數，那么就說函數〃尤）在區間。上具

有單調性，。稱為函數/（尤）的單調區間.

②函數的單調性是函數在某個區間上的性質.

（3）復合函數的單調性

復合函數的單調性遵從“同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增（減）函數，內層函數是

增（減）函數，復合函數是增函數；外層函數是增（減）函數，內層函數是減（增）函數，復合函數是減

函數.

【診斷自測】（2024?高三?上海楊浦?期中）已知函數y=/（x）,xeR.若/⑴＜〃2）成立，則下列論

斷中正確的是（）

A.函數/（x）在（YO,+CO）上一定是增函數；

B.函數/（x）在（-＜?,+＜?）上一定不是增函數；

C.函數/(x)在(-w,y)上可能是減函數；

D.函數/(x)在(YO,+CO)上不可能是減函數.

知識點2：函數的最值

一般地，設函數y=〃x)的定義域為。，如果存在實數M滿足

①VxeD,都有②罵e。，使得"%)=M,則M是函數y=/(x)的最大值;

①VxeD,都有②王0e。，使得"Xo)=M,則M是函數y=〃x)的最小值.

【診斷自測】(2024?高三?北京?開學考試)函數y=—1-1+無(xZ3)的最小值為____.

X-1

知識點3：函數的奇偶性

函數奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(%)的定義域內任意一個X,都有

偶函數關于y軸對稱

/(-%)=/(X),那么函數/(X)就叫做偶函數

如果對于函數/(X)的定義域內任意一個X,都有

奇函數關于原點對稱

/(-%)=-/(%),那么函數/(尤)就叫做奇函數

【診斷自測】(2024?高三?河北唐山?期末)函數”X)為奇函數，g(x)為偶函數，在公共定義域內，下

列結論一定正確的是()

A.〃x)+g(x)為奇函數B.〃x)+g(x)為偶函數

C./(x)g(x)為奇函數D.7(x)g(x)為偶函數

知識點4：函數的周期性

(1)周期函數：

對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有

〃x+T)=/(x),那么就稱函數y=/(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數/(無)的所有周期中存在一個最小的正數，那么稱這個最小整數叫做了(X)的最小正周

期.

【診斷自測】若偶函數〃無)對任意xeR都有〃x+3)=-1，且當xe[-3,-2]時，〃尤)=4x,則

/(x)

知識點5：函數的對稱性

(1)若函數y=/(x+a)為偶函數，則函數y=f(x)關于x=。對稱.

(2)若函數y=/(x+a)為奇函數，則函數y=/(x)關于點(a,0)對稱.

(3)若f(x)=f(2a-x),則函數f(x)關于x=a對稱.

(4)若/(x)+/(2a-尤)=26，則函數/(無)關于點(a，6)對稱?

【診斷自測】若函數y=g(無)的圖象與y=lnx的圖象關于直線x=2對稱，則g(x)=.

解題方法總結

1、單調性技巧

(1)證明函數單調性的步驟

①取值：設%，%是/(尤)定義域內一個區間上的任意兩個量，且為＜龍2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；

④得出結論.

(2)函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調

區間.

(3)記住幾條常用的結論：

①若/(》)是增函數，則-/(X)為減函數；若/(X)是減函數，則-為增函數；

②若/(x)和g(x)均為增(或減)函數，則在/(%)和g(元)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數；

1

③若y（x）＞o且，（x）為增函數，則函數J府為增函數,為減函數;

f（.x）

④若了（尤）＞0且，（x）為減函數，則函數歷5為減函數，」一為增函數.

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

（2）奇偶函數的圖象特征.

函數/（X）是偶函數o函數/（X）的圖象關于y軸對稱；

函數/（X）是奇函數O函數/（X）的圖象關于原點中心對稱.

⑶若奇函數y=/（x）在x=0處有意義，則有/（0）=0；

偶函數y=/（x）必滿足/（X）=/（|x|）.

（4）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的

兩個區間上單調性相同.

（5）若函數/（尤）的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式.記

g（x）=+/（-x）］，，7（x）=:"（x）-/（-%）］，則/（X）=g（x）+h（x）.

（6）運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數，如/（X）+g（x）,/（無）一g（尤）,，（尤）Xg（尤）,/（尤）+g（尤）.

對于運算函數有如下結論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*（十）奇=偶；奇乂（十）偶=奇；偶x（十）偶=偶.

（7）復合函數y=f［g（x）］的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.

（8）常見奇偶性函數模型

奇函數：①函數f（x）=m（a+1）（x豐0）或函數/（%）=m（a.

a-1a+1

②函數”r）=±3-「）.

③函數f（x）=loga2土生=loga（1+衛-）或函數f（x）=log。2二”=loga（1一--）

x—mx—mx+mx+m

22

④函數/（x）=logfl（V^+1+X）或函數/（x）=loga（Vx+1-x）.

注意:關于①式，可以寫成函數f（尤）=7"+3-（xwO）或函數了（元）=初-3-（aeR）.

a'-1ax+1

偶函數：①函數/（尤）=±（罐+「）.

,7K

②函數/（%）=loga（a+l）-^.

③函數/（|尤|）類型的一切函數.

④常數函數

3、周期性技巧

函數式滿足關系(尤eR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/(x+T)=工"(尤+T)=-1

2T

f(x+T)=f(x-T)2T

/(x+T)=-/(x-D4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(6-〃)

\f(b+x)=f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

2a

[/(尤)為偶函數

f(a+x)=~f(a-尤)

2s-〃)

{于(b+x)=-f(b-尤)

于(a+x)=-f(a-尤)

2a

/(x)為奇函數

f(.a+尤)=f(a-x)

4s-a)

f(b+尤)=-于(b-x)

ff(a+x)=f(a-x)

4。

[/(尤)為奇函數

于(a+x)=-于(a-x)

4a

1/(尤)為偶函數

4、函數的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數/(無)是周期函數，且T=2(6-a)；

(2)若函數y=f(無)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數y=/(x)是周期函數，且

7=2(6—a)；

(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(仇0)(。<。)，則函數y=f(x)是周期函數，

且T=43-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數y=/(尤)關于直線x=a對稱，則/(a+x)=f(a-x).

(2)若函數y=/(x)關于點(a,b)對稱，JU!)f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數y=/(a+x)與y=/(a-x)關于y軸對稱，函數y=/(a+x)與y=-/(a-x)關于原點對稱.

題型洞察

題型一：單調性的定義及判斷

【典例1-1】(2024?陜西榆林?一模)已知函數/(X)在[0,+力)上單調遞增，貝U對實數“。>6”

是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2](2024?安徽蚌埠?模擬預測)下列函數中，滿足“對任意的%e(0,+a)),使得

〃%)：/(%)<0,,成立的是()

A.f(x)=-x2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【方法技巧】

函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調

區間.

【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數〃尤)="f+，的圖象恰如其形，因而得名三

叉戟函數，因為牛頓最早研究了這個函數的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數〃尤)=ax?+2的圖

X

象經過點(2,8),且"-2)=0.

⑴求函數“X)的解析式；

(2)用定義法證明：”X)在(-雙。)上單調遞減.

【變式1-2](2024?高三?上海?期中)由方程xk|+MN=l確定函數y=/(x),則y=/(x)在(TO)

上是()

A.增函數B.減函數C.奇函數D.偶函數

題型二：復合函數單調性的判斷

【典例2-1】函數=的單調遞增區間是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+oo)D.(l,+<x))

【典例2-2](2024?高三?浙江紹興?期末)函數y=ln(尤2一2*的單調遞減區間是()

A.B.C.(-oo,0)D.(2,+co)

【方法技巧】

討論復合函數y=/[g(x)]的單調性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數的單調性.一般

需要先求定義域，再把復雜的函數正確地分解為兩個簡單的初等函數的復合，然后分別判斷它們的單調性,

再用復合法則，復合法則如下：

1、若"=g(x),y=/(")在所討論的區間上都是增函數或都是減函數，則？=/國。)]為增函數；

2、若〃=g(x),y=/(")在所討論的區間上一個是增函數，另一個是減函數，則y=/[g(x)]為減函

數.列表如下：

〃=g(x)y=/(")y=/[g(M

增增增

增減減

減增減

減減增

復合函數單調性可簡記為“同增異減”，即內外函數的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

【變式2-1](2024?高三?甘肅?開學考試)函數/(x)=2jcos，-3x)的單調遞減區間是()

7i2E7i2kn兀2kn5兀2kn

A.-------1--------,------1--------(左wZ)B.一+,一+(keZ)

43123123123

7i2kn7i2kn7i2kn7i2kli/,

C.--------1--------,------1---(--j--t-eZ)D.—+——,-+——(ksZ)

123123L12343Jv7

1

【變式2-2】函數〃x)=的單調遞減區間是()

\lx~—8x+15

A.(v,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.(4,+oo)

題型三：分段函數的單調性

【典例3-1】（2。24.陜西商洛.一模）已知函數?。?一）-]是定義在R上的增函數，則。的

取值范圍是（）

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

/、[（a-2）x+4a-6,x<1f（x,）-f（x）八

【典例3-2】已知函數〃x）=工二,滿足對于任意的毛，電（3/馬）都有9成

+2,%>1%i—兀2

立，則實數a的取值范圍是（）

【方法技巧】

函數/（x）=[C"z,在R上為增函數，貝人

[t（x'）,x>m

①s（x）在（-OO,河上單調遞增；②f（無）在O,+00）上單調遞增；③S（〃2）Wf（M）.

函數=在R上為減函數，貝h

0x）,x〉m

①s（x）在（-00,河上單調遞減；②X尤）在（見+8）上單調遞減；③

,、fax+1—a,0<x<lf（x,}

【變式3-1】已知函數〃x）=/…，若％，9e（O,2），百工馬,都有八八">0成立,

2,1<xW2x?一再

則。的取值范圍為（）

A.（0,2]B.（fl]C.（0,1]D.（0,+巧

（2a-3）x+2,xV1

【變式3-2】已知函數〃x）=°,是R上的減函數，則a的取值范圍是（）

—,X>1

33

A.0<a<一B.1Wa<一

22

_3?3

C.0<aW—D.1<a<—

22

題型四：利用函數單調性求函數最值

【典例4?1】(2024?全國?模擬預測)設％￡。卷,則函數y=Jsin%+Jcosx的最大值為__.

【典例4-2］若函數=f—2x+|x-磯〃＞0)在［0,2］上的最小值為1,則正實數〃的值為.

【方法技巧】

利用函數單調性求函數最值時應先判斷函數的單調性，再求最值.常用到下面的結論：

1、如果函數y=/(無)在區間(°,回上是增函數，在區間屹，c)上是減函數，貝!I函數y=/(x)(xea,c)

在X=3處有最大值一伯).

2、如果函數y=/(x)在區間①，6］上是減函數，在區間屹，c)上是增函數，貝1|函數y=/(x)(xea,c)

在處有最小值/(?.

3、若函數y=/(x)在［a,句上是嚴格單調函數，則函數y=/(元)在［用句上一定有最大、最小值.

4、若函數、=/0)在區間口，團上是單調遞增，則y=/(x)的最大值是/(b),最小值是y(a).

5、若函數y=/(x)在區間［a,6］上是單調遞減，則y=/(x)的最大值是y(a),最小值是/(b).

【變式4-1］(2024?上海嘉定?一模)函數—3x+5在無上的最大值和最小值的乘積為

x-1|_2_

【變式4-2］若函數y=/-〃zx+2］在［0,1］的最大值為2,則〃?的取值范圍是.

題型五：利用函數單調性求參數的范圍

【典例5-1］(2024?全國?模擬預測)若函數/(x)=41x-a|+3在區間［1,+8)上不單調，則a的取值范圍

是()

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(fl)D.(YO,1]

【典例5-2】(2024?廣東佛山?二模)已知0＜。＜1且awg,若函數=Zlog/Tog?產在(0,+8)上單

調遞減，則實數a的取值范圍為()

A.(；,g)B.(0,；)C.(：,g)」(g,l)D.(O,；)U(g,D

【方法技巧】

若已知函數的單調性，求參數a的取值范圍問題，可利用函數單調性，先列出關于參數a的不等式，

利用下面的結論求解.

1>若a>/（x）在［加，n］上怛成立<=>a>f（x）在［加，川上的最大值.

2、若av/（x）在［加，川上恒成立oav/（x）在［機，上的最小值.

【變式5-1］若〃X）=-$3+；X2+2X+I是區間（〃Li,m+4）上的單調函數，則實數冽的取值范圍是（）

A.m<-5B.m>3

C,或機23D.-5<m<3

【變式5-2］（2024?全國?模擬預測）函數〃尤）=log〃（尤值-4-1）在［L2］上單調遞增，則實數a的取值范

圍是（）

A.（2,+8）B.（0,l）kJ（2,+a?）C.［4,+oo）D.（0,l）u［4,+a?）

【變式5-3］（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=log”（尤3—加+“一2勾（"0且"1）在區間（1,口）

上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.（0,|B.C.（1,2］D.⑵+⑹

lo

【變式5-4］若函數A*）=Si（f2+-5）在區間（3m-2即+2）內單調遞增，則實數m的取值范圍為

2

（）

題型六：利用函數的單調性比較函數值大小

【典例6-1](2024?寧夏銀川?一模)若"x)=ln(x2+l)-=,設°=/(—3)力二〃1112),0=/(2°3),則?,

IW

b,c的大小關系為（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【典例6-2］（2024?寧夏石嘴山-三模）若定義在R上的偶函數/'（尤）在［0,+8）上單調遞增，則

/?。4［，/］:，/卜-）的大小關系為（）

【方法技巧】

1、比較函數值大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數單調性解決.

【變式6-1]（2024?高三?河北滄州?期中）已知函數〃x）=4

,記

e+e

-憶），?用,c=m則（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【變式6-2】函數/（x）=d+2x-cosx,a=/（lg3）*==/23,則〃也c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【變式6-3]（2024?四川?模擬預測）若定義在R上的偶函數〃x）在[0,+s）上單調遞增，則

[1!1|],/[：/卜-2）的大小關系為，）

A.小|）>嗎）>"）B,小|）>/（巧〉嗎）

C.（>枷|）>?）D.小卜加）>枷|）

題型七：函數的奇偶性的判斷與證明

【典例7-1】設函數〃x）,g（x）的定義域為R,且“X）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論中正確的

是（）

A.7（x）g（x）是偶函數B.是奇函數

C.是奇函數D.，（x）g（x）|是奇函數

【典例7-2]（2024?全國?模擬預測）已知函數/（無）=41og4（岸荷-x）-3的圖象經過點則函

數y=/（x）的奇偶性為（）

A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既是奇函數又是偶函數

【方法技巧】

函數單調性與奇偶性結合時，注意函數單調性和奇偶性的定義，以及奇偶函數圖像的對稱性.

【變式7-1]（多選題）（2024?重慶?模擬預測）函數=：g（x）=ln（jl+9x，一3q,那么

A./(x)+g(x)是偶函數B.，(x>g(x)是奇函數

g(x)

日在是奇函數

C.7E可函數D.g(/(x))

■f(x)

【變式7-2】利用圖象判斷下列函數的奇偶性:

-Y+2%+1,%>0

⑴f(x)=

x2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

(2)/(x)=

x2—x,x>0

⑶y=(1)H；

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)^=X2-2|X|-1.

題型八：已知函數的奇偶性求參數

____IQX_]X>0

【典例8-1】已知函數〃x)=log2(4rHx)是奇函數，則.=,若g(x)={,'「則g(g(T))=—.

【典例8-2】已知函數=的圖象關于原點對稱，g(x)=lg(l(r+l)+加是偶函數，則0+8=—.

【方法技巧】

利用函數的奇偶性的定義轉化為了(-x)=±，(x),建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、

填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

【變式8-1](2024?高三?湖北武漢?期末)函數為奇函數,則實數上的取值

為.

【變式8-2】已知函數〃x)=log3(9"+，w)-x的圖象關于丁軸對稱，貝！]加=—.

2

【變式8-3】已知函數/。)=寸匚定義域為R,g(x)=x(/Q)+a),若g(x)為偶函數，則實數。的值

2+1

為

題型九：已知函數的奇偶性求表達式、求值

【典例9-1】已知函數〃x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且“尤)+g(x)=x?-尤+1,則

g(3)的值是

【典例9-2】(2024?廣東湛江?二模)已知奇函數〃x)=|(、門貝心(工=____.

g(x)+l,x>0,

【方法技巧】

抓住奇偶性討論函數在各個分區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于/(%)的方程，從而可得

/(X)的解析式.

【變式9-1]若定義在R上的偶函數“X)和奇函數g("滿足/(x)+g(x)=e，，則g(x)的解析式為

g(x)=.

【變式9-2】已知函數/⑺對一切實數x都滿足/(力+〃-力=0,且當x<0時，/(X)=2X2-X+1,則

/('=一?

題型十：奇函數的中值模型

【典例10-1】函數/(尤)=1*+lg(GTi+x)在區間[-八詞內的最大值為最小值為N,其中帆>0,

則M+N=.

【典例10-2】對于函數/(%)=0^+及N+。(其中),選取a,b,c的一組值計算/(2),/(-2),

所得出的正確結果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

【方法技巧】

已知/(x)=奇函數+M,xe[—a,a],則

⑴/(-%)+/(x)=2M

⑵小)1mx+/(x)1nto=2M

【變式10?1】(2024?廣西?一模)/(力是定義在R上的函數，++；為奇函數，則

/(2023)+/(-2022)=()

A.-1D.1

【變式10-2】設函數/(xhor'+bsi