高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2025屆高三第一次聯考（一模）數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，得，則，，故選：B.2.設，其中i為虛數單位．則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.3.若，則大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，且．所以，故．故選：D.4.已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，與的夾角為，所以，則，所以在上的投影向量為．故選：B.5.定義在上的函數滿足，且為偶函數，則下列說法正確的是（）A.函數的周期為2B.函數的圖象關于對稱C.函數為偶函數D.函數的圖象關于對稱〖答案〗C〖解析〗由題意可知，fx+4=-f則函數的周期為4．A選項錯誤；又，即函數的圖象關于對稱，也關于1,0對稱，則的圖象不關于對稱，B錯誤；若關于對稱，已知圖象關于對稱，則函數周期為2矛盾，D錯誤．對于C，為偶函數，則，可知，故C正確．故選：C.6.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設的外接圓的半徑為，因為，由余弦定理得，所以，則，故，記的外心為，連接，則取的中點，連接，則，又因為，可得，因為，且平面,平面，所以平面,平面，又因為平面,平面，所以，因為且平面，所以面，可得由題意可得外接球的球心在上，設外接球的半徑為，可得，解得，即，所以球的表面積為．故選：A.7.已知函數，若不等式的解集中佮有兩個不同的正整數解，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數的定義域為，不等式化為：．令，，，故函數在上單調遞增，在上單調遞減．當時，gx>0，當時，gx當時，gx<0當時，，當，且時，，畫出及hx的大致圖象如下，因為不等式的解集中恰有兩個不同的正整數解，故正整數解為．故，即．故.故選：C.8.拋物線的焦點為，準線與軸的交點為．過點作直線與拋物線交于兩點，其中點A在點B的右邊．若的面積為，則等于（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題可知，，直線斜率必存在，且，由對稱性不妨設，則A和B在第一象限，因為，所以，過作軸交于點，則，即，又點在上，所以即，代入得，整理得，即，所以或，此時或，因為A和B在第一象限，所以，故，所以，所以即.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.給出下列命題，其中正確命題為（）A.已知數據，滿足：，若去掉后組成一組新數據，則新數據方差為21B.隨機變量服從正態分布，若，則C.一組數據的線性回歸方程為，若，則D.對于獨立性檢驗，隨機變量的值越大，則推斷“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小〖答案〗ABD〖解析〗對于A選項，去掉后的平均數為，方差為故A選項正確；對于B選項，由于隨機變量服從正態分布，則，關于1對稱，則故B選項正確；對于C選項，因為，所以，又因為回歸方程為，所以，所以，故C選項錯誤；對于D選項，對于獨立性檢驗，隨機變量的值越大，則兩變量有關系的程度的錯誤率更低，故越大，判定“兩變量有關系”的錯誤率更低，D選項正確．故選:ABD.10.函數部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個單位后得到函數y=gx的圖象，且y=gx在上單調遞減，則下列說正確的是（）A.B.為圖象的一條對稱軸C.可以等于5D.的最小值為2〖答案〗BD〖解析〗由函數圖象，可得，所以，所以，解得，又由函數的圖象過點，且，當時，可得，所以，解得，因為，可得；當時，可得，所以，解得，因為，不存在，舍去，綜上可得，，，所以，所以A不正確，B正確；又因為，所以是函數的一條對稱軸，所以B正確；將函數的圖象向右平移個單位后，得到，因為在上單調遞減，則滿足．解得，當時，，而，故不可能等于5，所以C錯誤．當時，，又因為，所以，所以D正確．故選：BD.11.已知雙曲線的左、右焦點分別為．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內心為與軸的交點為，記的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為，則下列說法正確的有（）A.若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為2或B.若，且，則雙曲線的離心率為C.若，則的取值范圍是D.若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，雙曲線漸近線的夾角為，則或者故或．對于B，設，則．故，解得．又，故．對于C，令圓切分別為點，則，，令點，而，因此，解得，又，則點橫坐標為，同理點橫坐標為，即直線的方程為，設直線的傾斜角為，那么，，在中，在中，，漸近線的斜率為．因為均在右支上，故．如圖所求，．對于D，，故，而，，故，由余弦定理可知，故．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．〖答案〗或〖解析〗，當,當.故〖答案〗為：或13.13.現有4個相同的袋子，里面均裝有4個除顏色外其他無區別的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現將這4個袋子混合后，任選其中一個袋子，并且連續取出三個球（每個取后不放回），則第三次取出的球為白球的概率為______．〖答案〗〖解析〗由題意，設“取出第個袋子，其中”，“從袋子中連續取出三個球，第三次取出的球為白球”，則，且兩兩互斥．，所以，所以，．14.以表示數集中最小的數．函數的最大值是______．〖答案〗〖解析〗．令，則．而．令，其中，則由，可知,令，得，即在上為增函數，在上為減函數．故，即，當且僅當，即時等號成立．故的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，已知在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求的值；（2）若為邊上一點，且，求的長．解：（1）由題意知，，故．又，故，而，則．（2）中，，故．，故故．16.如圖，在四棱錐中，，，平面平面為中點．（1）求證：平面；（2）點在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意：，同理，又．而，即又平面平面，平面平面平面，平面平面，又，且面面平面．（2）解：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，有，取面的一個法向量，則，故．令n=x,y,z是平面的一個法向量，則，即令，有，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17.橢圓的上頂點為，圓在橢圓內．（1）求的取值范圍；（2）過點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為．是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由．解：（1）設為橢圓上任意一點，，則．則．故．（2）由題意可知，設，因為，故切線的斜率都存在．又直線的方程為，即為，直線的方程為．則，故．而，故，又因為．故，同理．故直線的方程為．若直線與圓相切，則，令．故，即．故，或．故存在滿足條件的圓，其方程為．18.南昌地鐵1號線在2015年12月26日正式通車運營，共24站.第1站為雙港站，第24站是瑤湖西站.如果乘客乘坐從第1站開往第24站的地鐵，則稱他為正向乘車，否則稱他為反向乘車.假設每隔5分鐘，在1號線上的任何一個站點（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘車，也可以反向乘車.在五一勞動節的5天假期期間，張爸爸帶著大張和小張一起去南昌旅游.他們約定每天由一人統一管理三人的手機，相鄰兩天管理手機的人不相同.若某天是張爸爸管理手機，則下一天有的概率是大張管理手機；若某天是大張或小張管理手機，則下一天有的概率是張爸爸管理手機，第一天由張爸爸管理手機.（1）記這5天中，張爸爸保存手機的天數為X，求X的分布列及期望．（2）在張爸爸管理手機的某天，三人在第13站八一廣場站下地鐵后，失去了聯系.張爸爸決定按照事先安排，獨自前往景點.大張和小張都決定乘坐地鐵，每到一個站點，下車尋找對方.只要他們出現在同一個站點，就會尋找到對方，然后一起前往景點，和張爸爸匯合，如果沒有尋找到對方，則他們繼續乘車尋找.大張和小張正向乘車、反向乘車的概率均為.求在25分鐘內（包含25分鐘），他們尋找到對方的概率.解：（1）由題意知，隨機變量的取值為，可得；當時，張爸爸管理手機的情況分為：在第3天、第4天、第5天三種情況．若在第3天管理手機，不同的手機管理方法有4種，其概率為；若在第4天管理手機，不同的手機管理方法有4種，其概率為；若在第5天管理手機，不同的手機管理方法有2種，其概率為；所以．當時，張爸爸管理手機的情況為：第3天和第5天，此時，不同的手機管理方法有4種，可得故．所以隨機變量的分布列為123所以隨機變量的期望為．（2）由題意知，大張和小張有的概率乘車的方向相同，當大張和小張都乘車尋找對方時，可以視為大張在第13站不乘車，在某個站點，小張以的概率不乘車，以的概率正向乘車兩站，以的概率反向乘車兩站，現求小張在五步內，第一次回到起點的概率，若小張經過一步，第一次回到起點，相當于小第在第一步選擇了停留，其概率為，若小張經過兩步，第一次回到起點，其概率為；若小張經過三步，第一次回到起點，則只能在第2步時停留，其概率為；若小張經過四步，第一次回到起點，則小張有2種選擇，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率為；若小張經過五步，第一次回到起點，則小張有2種選擇，停留1次，且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率為，故滿足條件的概率為．19.在微積分中，泰勒展開是一種常用的分析方法.若在包含的某個開區間中具有階導數，設表示的階導數.則對有.其中，是位于與之間的某個值，它稱為階泰勒余項.叫做在處的階泰勒多項式.（1）求在處的1階泰勒多項式和2階泰勒多項式，并證明：當時，；（2）整數.定義數列.設e為自然對數的底數