專題22圓的相關性質（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,AC為?O的兩條弦，連接03,OC,若NA=45。，則N3OC的

度數為（）

75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關鍵.根據圓周角定理可知=即可得到答案.

【解析】根據題意，圓周角/A和圓心角同對著8C，,=?.?NA=45。,

Z.BOC=2ZA=2x45°=90°.故選，C.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，ZE=35°,則（）

C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出400=2NE.

由圓周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由鄰補角的性質求出ZBOD=180°-70°=110°.

【解析】?.?NE=35。，:.ZAOD=2ZE='70°,.?.ZBOD=180o-70o=110°.故選，D.

3.（2024.江蘇連云港.中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到

A點后放開，讓此重物由A點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為（）

o

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【解析】在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段圓弧，

故選，C.

4.（2024.四川涼山?中考真題）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A8,連接A3,作A3的垂直平分線8交A3于點。，交45于點

C,測出AB=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出3D的長；設圓心為。，連接05,

在RtaOBD中，可用半徑03表示出的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子

的直徑長.

【解析】；8是線段A3的垂直平分線，，直線經過圓心，設圓心為。，連接03.

1,

RtAQBD中，8r?=/A8=20cm,根據勾股定理得：OD1+BD1=OB2,即：（OB-10）+202=OB2,解

得：。8=25；故輪子的半徑為25cm,故選，C.

5.（2024.內蒙古赤峰.中考真題）如圖，AO是。。的直徑，A3是。。的弦，半徑OC_LAB,連接CD,交

03于點E,NBOC=42。，則NOE。的度數是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質.先根據垂徑定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得ZD=g/AOC=21。，再利用三角形的外角性質即可求解.

【解析】?.,半徑；.AC=BC，AZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,AC=AC>

ZD=-ZAOC=21°,：.ZOED=ZAOB-ZD=63°,故選，B.

2

6.（2024.湖北.中考真題）A3為半圓。的直徑，點C為半圓上一點，且N6B=50。.①以點3為圓心，

適當長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以OE為圓心，大于JDE為半徑作弧，兩弧交于點P；③

作射線BP,則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據直徑所對的圓周角是直角可求出加C=40。,

根據作圖可得NABP=；ABC=2O。，故可得答案

【解析A3為半圓。的直徑，NACB=90。，：NC4B=50。，NABC=40。，由作圖知，AP是/ABC

的角平分線，尸=gA8C=20。，故選，C

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，AB是。。的直徑，若NCDB=60。，則NABC的度數等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據直徑所對的圓周角為

直角得到NACB=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到NCZ汨=4=60。，進一步計算即可解答.

【解析】是的直徑，二〃^8=90。，-.?ZCDB=60°,ZA=ZCDB=60°,..ZABC=90°-ZA=30°,

故選，A.

8.（2024.四川廣元.中考真題）如圖，已知四邊形是。。的內接四邊形，E為A￡>延長線上一點，

ZAOC=128°,則NC￡>E等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得/ABC的度數，再根據圓內接四邊形對角互補,可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【解析】?.?NABC是圓周角，與圓心角NAOC對相同的弧，且NAOC=128。.

.-.ZABC=-ZAOC=-x128°=64°,又；四邊形ABCD是。。的內接四邊形，:.ZABC+ZADC=180°,

22

又?.?NCDE+ZADC=180。，/.ZCDE=ZABC=64°,故選，A.

9.（2024?云南?中考真題）如圖，CD是。。的直徑，點A、3在。。上.若AC=BC，ZAOC=36%則〃=

D

A.9°B.18°C.36°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接03,由AC=BC可得N3OC=NAOC=36。,

進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質是解題的關鍵.

【解析】連接03，：AC=BC，/?^BOC=ZAOC=36°,1^BOC=18°,故選，B.

10.（2024?黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據相關定理逐項分析

判斷，即可求解.

【解析】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；B.平

分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；C.物體在燈泡發出的光照射下形成的

影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的

弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正確，不符合題意；故選，C.

11.（2024.廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦A3的長為4石，點C在。。上，OC±AB,ZABC=30°.QO

所在的平面內有一點尸，若。尸=5,則點尸與。。的位置關系是（）

A.點尸在。。上B.點尸在。。內C.點尸在。。外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解

題關鍵.由垂徑定理可得AD=2白，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結合特殊角的正弦值，求出。。的

半徑，即可得到答案.

【解析】如圖，令OC與A3的交點為。，為半徑，A3為弦，且OC_LAB,40=145=2所,

ZABC=30°ZAOC=2ZABC=60°,在AAZX）中，ZADO=9QP,ZAOD=60°,AD=2-j3,

AD-OA==20=4

sinZAOD=-—,---sin60。-g—,即O。的半徑為4,尸=5>4,點尸在。。外，故選，C.

12.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形A8CD是。。的內接四邊形，Afi是。。的直徑，若

C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，連接AC,由A5是。。的直徑得到NACB=90。，

根據圓周角定理得到NCAB=N3EC=20。，得到NABC=90。-NA4c=70。，再由圓內接四邊形對角互補

得到答案.

【解析】如圖，連接AC,'：AB是GO的直徑，；.ZACB=90°,:ZBEC=20°,：.Z.CAB=NBEC=20°

ZABC=90°-ZBAC=70°;四邊形AB8是。。的內接四邊形，，NADC=180?！狽ABC=110。，故選，

B

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形ABCD內接于。。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

AB+AD=2,則。。的半徑是（）

A.o.------C.D.

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點E,使BE=AD,連接BD,連接CO并延長交0。于點R連接AF,即可證得

△ADC均EBC(SAS),進而可求得AC=cos45。-AE=&，再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結合三角

函數即可求解.

【解析】延長A3至點E,使=連接3D,連接CO并延長交0。于點R連接AF,：四邊形ABCD

內接于。。，/.ZADC+ZABC=ZABC+NCBE=180°/.ZADC=NCBE'：ABAC=ACAD=45°

NCBD=NCDB=45。,NZMB=90。是。。的直徑，"CB=90?！鱋CB是等腰直角三角形，，

DC=BC*.?BE=AD/.AADC^AEFC(SAS)/.ZACD=ZECB,AC=CE,\'AB+AD=2A

AB+BE=AE=2又?:NDCB=90°ZACE=90°AACE是等腰直角三角形AC=cos45°?AE=忘：

ZABC=60°ZAFC=600'：AFAC=90°：.CF=.；.OF=OC=‘CP="故選，A.

sin600323

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖，A3是。。的直徑，位于A3兩側的點C,。均在。。上，ZBOC=30°,

則NADC=度.

【分析】本題考查圓周角定理，補角求出-40。，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即

可.

【解析】「AB是。。的直徑，位于A3兩側的點C,。均在。。上，ZBOC=30°,/.

ZAOC=180°-Z.BOC=150°,Z.AADC=-AAOC=150■故答案為：75.

2

15.（2024?北京?中考真題）如圖，。。的直徑A3平分弦8（不是直徑）.若N￡>=35。，則NC=

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先由垂徑定理得到ABLCD,由8C=BC得到=35。，故/。=90。-35。=55。.

【解析「??直徑A3平分弦8,二43,CD,：BC=BC，，ZA=AD=35°,NC=90?！?5。=55。，

故答案為：55.

16.（2024.江蘇蘇州?中考真題）如圖，AABC是。。的內接三角形，若NO3C=28。，則NA=

【答案】62。/62度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接OC,利用等腰三角形的

性質，三角形內角和定理求出NBOC的度數，然后利用圓周角定理求解即可.

【解析】連接OC,OB=OC,Z.OBC=28°,NOCB=ZOBC=28°,/.

ZBOC=180°-NOCB-NOBC=124°,ZA=-ZBOC=620,故答案為：62°.

2

17.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，AABC內接于O。，AO是直徑，若NB=25°,則NCAD

B

【答案】65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接8,根據直徑所對的圓周角是直角

得出NACD=90。，根據同弧所對的圓周角相等得出”=NB=25。，進而根據直角三角形的兩個銳角互余,

即可求解.

【解析】如圖所示，連接8,：AABC內接于O。，是直徑，ZACD=90。，：AC=AC，NB=25。,

ZD=ZB=25°AZC4D=90o-25o=65°,故答案為：65.

B

18.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，"C內接于。。，點。在A3上，AO平分/交0。于。,

連接BD.若AB=10,BD=2下,則3c的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判

定和性質，延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得NAT>3=NADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,進而

可證明AABZ巨AAED（ASA）,得到近，即得BE=46,利用勾股定理得AD=4石，再證明

△ABDS^BCE,得到竺=翌，據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

ABAD

【解析】延長AC,BD交于E,?.?M是。。的直徑，，4￡>2=40￡=90。，ZACB=ZBCE=90°,-.AD

平分^BAC,：,ABAD=NDAE,^：AD=AD,AAB￡)^AA￡D(ASA),BD=DE=2非,BE=4后,

■.-AB=IO,BD=25AD=yJIO2-(2y/5^=4>/5.;ZDAC=NCBD,XVZBAD^ZDAE,二

BEBC475BC?

ZBAD=ZCBD,???ZADB=ZBCE=90°,:.AAB4ABEC,—=—,；.^—=—k,;.BC=8,故

ABAD104君

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，3C是。。的弦，連接03,OC,/A是BC所對的圓周角，則/A與NO8C

的和的度數是.

【答案】90。/90度

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關鍵.根據圓周角定理可得N30c=2NA,結合三角形內角和定理，可證明2NA+NOBC+NOCB=180。，

再根據等腰三角形的性質可知NOBC=ZOCB,由此即得答案.

【解析】是所對的圓周角，N8OC是所對的圓心角，，N3OC=2NA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,/.2ZA+ZOBC+ZOCB=180°,.OB=OC,;.NOBC=NOCB,

2ZA+Z.OBC+Z.OBC=180°,.-.2ZA+2ZOBC=180o,ZA+ZOBC=900.故答案為：90°.

20.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑AB_LCD于點E,CD=6,BE=\,貝。弦AC的

長為.

【答案】3V10

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

由垂徑定理得CE=￡Z）=LC￡）=3,設。。的半徑為『，則==在我90互＞中，由勾股定

2

理得出方程，求出r=5,即可得出A￡=9,在中，由勾股定理即可求解.

[W^rlVAB1CD,CD=6,:.CE=ED=^CD=3,設。。的半徑為r,貝ljO￡=OB—EB=r—1,在R〃OED

中，由勾股定理得：。b2+此2=。。2,即（-1）2+32=產，解得：r=5,.,.Q4=5,OE=4,.?.AE=Q4+O￡=9,

在比AAEC中，由勾股定理得：AC=VCE2+AE2=A/32+92=3-710＞故答案為：3.

21.（2024?江西?中考真題）如圖，是O。的直徑，AB=2,點C在線段上運動，過點C的弦DEIAfi,

將D3E沿OE翻折交直線45于點孔當OE的長為正整數時，線段朋的長為.

【答案】2-6或2+百或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，根據。E4AB,可得OE=1或2,利用勾股定理

進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

【解析】?.?AB為直徑，OE為弦，,/）￡1<回,，當。E的長為正整數時，￡>E=1或2,當￡>E=2時，即

為直徑，?.?JDE_LAflJ.將O3E■沿。E翻折交直線A3于點E此時廠與點A重合，故尸6=2;當DE=1

時，且在點c在線段os之間，如圖，連接。。，此時OO=!AB=I,-.DE±AB,.-.DC=^DE=^,

222

：.OC-^OD2-DC2=—,；.BC=0B-0C=2—逝,:.BF=2BC=2-0

22

當OE=1時，且點C在線段Q4之間，連接。刀，同理可得BC=2+逝,:.BF=2BC=2+B綜上，可

2

得線段沖的長為2-0或2+也或2,故答案為：2-百或2+0或2.

22.（2024?河南?中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB=3,線段CD繞點C在平面內

旋轉，過點B作AD的垂線，交射線4￡>于點E.若8=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2收+1/1+2&2V2-1/-1+2V2

【分析】根據題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以A3為直徑的圓上，根據

AE=AB-cosZBAE,得出當cosNBAE■最大時，AE最大，cosNBAE'最小時，AE最小，根據當AE■與G>C

相切于點。，且點。在AABC內部時，NR4E最小，AE最大，當AE與。。相切于點。，且點。在&4BC

外部時，/BAE最大,AE最小，分別畫出圖形，求出結果即可.

【解析】；NACB=90。，CA=CB=3,：.ABAC=ZABC=1x90°=45°,二?線段8繞點C在平面內旋

2

轉，8=1,.,.點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，NA￡B=90。，.?.點￡在以A3為

直徑的圓上，在RtZWE中，AE=AB-cosZBAE,：A3為定值，.,.當cosNA4E最大時，AE最大，

cosNBAE最小時，AE最小，...當AE與G）C相切于點。，且點。在AABC內部時，N54E最小，AE最

大，連接8,CE,如圖所示：

則8LAE，：.ZADC=ZCDE=90°,旬=口爐-5=打-f=2&：AC=AC，二

XCED=XABC=45°,VZCDE=90°,，ACDE為等腰直角三角形，/.DE=CD=1,：.

AE=AD+DE=2A/2+1，即AE的最大值為2點+1;

當AE與。C相切于點。，且點。在AABC外部時，23AE最大，AE最小，連接8,CE,如圖所示:

則COJ_AE,AZCDE=90°,：,AD=4AC1-CD1-A/32-I2=272-:四邊形"庭為圓內接四邊形，

AACEA=180°-ZABC=135°,AACED=180°-ACEA=45°,VZCDE=90°,.?.△CDE為等腰直角

三角形，，DE=CD=1,：.AE=AD-DE=2亞-1，即AE1的最小值為2拒-1;故答案為：272+1;20-1.

三、解答題

23.（2024.四川甘孜?中考真題）如圖，A3為。。的弦，C為的中點，過點C作8〃AB,交03的

延長線于點D連接。4,OC.

⑴求證：8是。。的切線；

(2)若OA=3,BD=2,求AOCD的面積.

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知OCLAB,據此即可求證；

(2)利用勾股定理求出8即可求解；

解：(1)證明：???A3為。O的弦，C為A3的中點，

由垂徑定理的推論可知：OC±AB,

,/CD//AB,

：.OC±CD,

0c為。。的半徑，

8是。。的切線；

(2)VOB=OA=OC=3,BD=2,

OD=OB+BD=5,

?*-CD=dOD2-OC2=4,

/.S'OCD=gxOCxCD=6,

24.(2024.內蒙古包頭?中考真題)如圖，A3是O。的直徑，3c,3。是。。的兩條弦，點C與點。在A3

的兩側，E是OB上一點(OE>BE),連接。C,CE,且N30c=2ZBCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=y/5,求。。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：9〃OC.(請用兩種證法解答)

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內角和定理求出/。2。=/。口=3(180。-/2。(?),結合

ZBOC=2ZBCE,可得出NO3C+N3CE=90。，在RtAOCE中，利用勾股定理求解即可;

(2)法一：過。作。尸_LBD于尸，利用垂徑定理等可得出2/=：BD=OE,然后利用HL定理證明

RtACEO^RtAOFB,得出NCOE=NQB尸，然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AE>,證明ACEOSAADB,得出NCOE=NAB。，然后利用平行線的判定即可得證

解：(1)解：：OC=OB,

：.NO8C=NOC8=g(l80?！狽3OC),

*.?ZBOC=2NBCE,

：.ZOBC=1(180°-2NBCE)=90°-Z.BCE,即NOBC+ZBCE=90°,

二ZOEC=90°,

???OC2=OE2+CE2,

：.OC2=(OC-l)2+(^)2,

解得0c=3,

即。。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。尸，班(于凡

?/BD=2OE

：.OE=BF,

y.OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

RtACEO^RtAOFB(HL),

NCOE=NOBF,

：.BD//OC-,

法二：連接AO,

?AB是直徑,

ZADB=90°,

???AD=^AB2-BD2=^（2OC）2-（2OE）2=2^OC2-OE2=2CE,

.PCCEOE\

**AB-AD-?

^CEO^^ADB,

ZCOE=ZABD,

：.BD//OC.

25.（2024?安徽?中考真題）如圖，。。是AABC的外接圓，。是直徑A3上一點，NACD的平分線交A3于

⑴求證：CDrAB-

(2)設句0_LAB,垂足為M,若OA/=OE=1,求AC的長.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質以及定理是解

題的關鍵.

(1)由等邊對等角得出〃AE=NAE/，由同弧所對的圓周角相等得出NE4E=N3CE,由對頂角相等得

出NAEF=NCEB,等量代換得出NCEB=N8CE,由角平分線的定義可得出NACE=N￡>CE,由直徑所

對的圓周角等于90?？傻贸鯪ACB=90。，即可得出NCEB+NDCE=NBCE+NACE=NACB=90。，即

NCDE=90。.

(2)由(1)知，NCEB=NBCE,根據等邊對等角得出3E=BC,根據等腰三角形三線合一的性質可得

出M4,AE的值，進一步求出Q4,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

解：(1)證明：：FA=FE,

ZFAE=ZAEF,

又NFAE與NBCE都是gb所對的圓周角，

NFAE=NBCE,

,/ZAEF=ZCEB,

：.NCEB=NBCE,

'：CE平分NACD,

：.ZACE=ZDCE,

AB是直徑，

ZACB=90°,

：.ZCEB+NDCE=ZBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCDE=90。，

即CD±AB.

（2）由（1）知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又FA=FE,FMLAB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

：.圓的半徑。4=OB=AE—OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在中.

AB=2OA=6,BC=2

AC=y]AB2-BC2=A/62-22=4收

即AC的長為40.

26.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，跖是。。的直徑，點A在。。上，點C在M的延長線上,

ZEAC=ZABC,AC＞平分/'BAE交。。于點。，連結DE.

⑴求證：C4是。。的切線；

(2)當AC=8,CE=4時，求OE的長.

【分析】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關鍵.

（1）連接Q4,根據圓周角定理得到NR4F=90。，根據等腰三角形的性質得到NABC=440,求得

ZOAC=90°,根據切線的判定定理得到結論；

（2）根據相似三角形的判定和性質定理得到5C=16,求得BE=BC-CE=12,連接50,根據角平分線

的定義得到440=44。，求得BD=DE，得到&）根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

解：（1）證明：連接。1,

~O~i―"/\EC...砥是的直徑,

「.NR4H=90。，

:.ZBAO+ZOAE=90°,

\OA=OB,

ZABC=ZBAO,

?.-ZEAC=ZABC,

.\ZCAE=ZBAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

ZOAC=90°f

,「Q4是O。的半徑，

.?.C4是O。的切線；

(2)vZEAC=ZABC,ZC=ZC,

:.AABC^AEAC,

ACCE

.8_4

??—j

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接AD,

?「AD平分284后，

\?BAD?EAD,

BD=DE，

BD—DE，

■.?跖是G＞。的直徑,

:.ZBDE=90°,

DE^BD=—BE=6y/2.

27.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知/PA。及AP邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規在射線AQ上求作點。，使得/COQ=2/C4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的條件下，以點。為圓心，以Q4為半徑的圓交射線A。于點3,用無刻度直尺和圓規在射線CP

上求作點使點拉到點C的距離與點拉到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

3

⑶在（1）、（2）的條件下，若sinA=1，CM=12,求&W的長.

【分析】（1）根據尺規作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根據尺規作圓，作垂線的方法即可求解；

（3）根據作圖可得MW1AQ，CM=WM=12,A8是直徑，結合銳角三角函數的定義可得AM的值，根

據勾股定理可求出AC的值，在直角ABGW中運用勾股定理即可求解.

解：（1）如圖所示，

P

：.ZCOQ^IZCAQ.

點。即為所求

（2）如圖所示，

P

M.

連接8C,以點3為圓心，以3c為半徑畫弧交AQ于點片，以點片為圓心，以任意長為半徑畫弧交A。于

點C1,DX,分別以點G，2為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點1,連接4耳并延長交A尸于點

；A3是直徑，

ZACB=90°,即8C_LAP,

根據作圖可得4G=BR,q片=RK，

MBt±AQ,即NMB出=90。，”用是點M到A。的距離，

,/BC=BB,,

...RMBCMmWABB[M(HL),

/.CM=BjM,

點Af即為所求點的位置;

(3)如圖所示,

A

根據作圖可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC^MW=12,MW1AQ,連接3C,

WM3

??在Rt中，sinA------——,

AM5

5WM5x12

AM==20,

33

AC=AM-CM=20-12=8,

A8是直徑,

ZACB=90°,

sinA上3

AB5

設5C=3x,貝l]AB=5x,

/.在Rt^ABC中,（5x）2=（3%）2+82,

解得，x=2（負值舍去），

BC=3兀=6,

在小ABQW中，BM=4CM-+BC1=A/122+62=6A/5-

28.（2024?河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座3c上，點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水

平視線OE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當經

過A,8兩點的圓與水平視線相切時（如圖2）,在切點尸處感覺看到的塑像最大，此時—AP8為最大

視角.

⑴請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

⑵經測量，最大視角NAPB為30。，在點尸處看塑像頂部點A的仰角Z4PE為60。，點P到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像A3的高（結果精確到Q1m.參考數據：石=1.73）.

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質，解直角三角形的應用等知識，解題的關鍵是：

（1）連接根據圓周角定理得出=根據三角形外角的性質得出然后

等量代換即可得證；

（2）在RJAHP中，利用正切的定義求出在RtZXBHP中，利用正切的定義求出3”,即可求解.

則/4A4B=NAP8.

,/ZAMB>ZADB,

ZAPB>ZADB.

（2）在RtAAHP中，ZAPH=60°,PH=6.

AH

VtanZAPH=——，

PH

AH=PH-tan60°=6x^3=673.

ZAPB=3O°,

：.NBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

BH

在RtABHP中,tanZBPH=——，

PH

?*.BH=PH-tan30°=6x3=25

3

AB=AH-34=66-26=46”4x1.73u6.9（m）.

答：塑像AB的高約為6.9m.

29.（2024?江西?中考真題）如圖，A3是半圓O的直徑，點。是弦AC延長線上一點，連接班）,BC,

ZD=ZABC=6O°.

(1)求證：3。是半圓。的切線；

(2)當3c=3時，求AC的長.

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質，弧長公式，熟知相關性質和計

算公式是解題的關鍵.

(1)根據直徑所對的圓周角為直角結合已知條件，可得NC4B=30。，即可得？ABD90?,進而可證得結

論；

(2)連接OC,證明△O8C為等邊三角形，求得ZAOC=120。，利用弧長公式即可解答.

解：(1)證明：；A3是半圓。的直徑,

ZACB=90°,

■.■ZD=ZABC=60°,

ZCAB=90°-ZABC=30°,

:.ZABD=1800-ZCAB-ZD=90°,

是半圓。的切線;

(2)如圖，連接OC,

:.ZCOB=60°,OC=CB=3,

ZAOC=1800-ZCOB=120°,

,120ccc

I.=----x2%x3=24.

AC360

30.（2024.廣東深圳?中考真題）如圖，在△ABD中，AB=BD,O。為的外接圓，仍為。。的切線,

AC為。。的直徑，連接。。并延長交BE于點E.

⑴求證：DELBE；

(2)若AB=5G，BE=5,求O。的半徑.

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，中垂線的判定和性質，矩形的判定和性質:

（1）連接6。并延長，交AD于點“，連接易證8。垂直平分AD,圓周角定理，切線的性質，推

出四邊形瓦〃汨為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知?！?6石=5,勾股定理求出出/的長，設。。的半徑為乙在RtZXAOH中，利用勾股

定理進行求解即可.

解：（1）證明：連接6。并延長，交AD于點H,連接

D

?：AB=BD,OA=OD,

?**垂直平分AD,

/.BHJ.AD,AH=DH,

'：跖為＜3。的切線，

/.HBLBE,

：AC為。。的直徑，

ZADC=90°,

.??四邊形3/TOE為矩形，

DELBE；

(2)由(1)知四邊形3HDE為矩形，BHJ.AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

?*-BH=4AB1-AH2=575，

設。。的半徑為r,貝1J：OA=OB=r,OH=BH-OB=5^5-r,

在RtA4C歸中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（575-r）2,

解得：r=3A/5;

即：0。的半徑為36.

31.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,。。經過A、C兩點，交AB

于點。，CO的延長線交AB于點片DE〃CF交BC于點E.

⑴求證：為。。的切線;

（2）若AC=4,tanZCFD=2,求8的半徑.

【分析】（1）連接OD,根據等腰三角形的性質可得NC8=2NC4B=90。，再根據DE〃C/，可得

AEDO=180O-ACOD=90°,問題得證;

（2）過點C作于點M根據等腰直角三角形的性質有CH=48=20,結合tan/CED=2,可

得器=2,即吁口利用勾股定理可得"加在RfW中，根據tanNCd器=2,設半

徑為"即有右=2,問題得解.

解：（1）證明：連接OD.

c

AC=BC,ZACB=90°,

/.AAC8為等腰直角三角形,

ZCAB=45°,

Z.NCOD=2NCAB=90°,

?/DE//CF,

：.2cOD+NEDO=180°,

ZEDO=180°-ZCOD=90°,

DE為。。的切線.

(2)過點C作CHLAB于點H,

???△AC5為等腰直角三角形，AC=4,

AB=4A/2,

?*-CH=AH=2五,

VtanZCFD=2,

:.里=2,

FH

FH=^，

'：CF-=CH-+FH-,

?*-CF=A/W.

在Rt△產OD中，VtanZCFD=—=2,

OF

設半徑為r，???赤二;=2,

.2回

32.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在AABC中，以A3為直徑的。。交3c于點O,QEJ_AC,

垂足為E.。。的兩條弦FB,如相交于點￡/D4E=/B陽.

⑴求證：DE1是。。的切線；

(2)若NC=30。,CD=26，求扇形OND的面積.

【分析】(1)連接OD,利用等邊對等角，圓周角定理等可得出N34=NZM￡,由垂直的定義得出

ZADE+ZDAE=9Q°,等量代換得出NADE+NOAA=90。，即然后根據切線的判定即可得證；

(2)先利用含30。的直角三角形的性質求出DE=石，同時求出N￡E>C=60。，進而求出NBO￡>=30。，利

用等邊對等角，三角形外角的性質等可求出NAOD=60。，ZBOD=120°,證明△AO￡>是等邊三角形，得

出AD=OD,NOZM=60。，進而求出NADE=30。，在RtAADE中，利用余弦定義可求出AD=2,最后

利用扇形面積公式求解即可.

解：(1)證明：連接OD,

,/OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

又ZDAB=ZBFD,ZDAE=ZBFD,

：.AODA=ZDAE,

'：DEJ.AC,

：.ZADE+ZDAE=90°,

ZADE+ZODA=90°,即O￡>1,

又OD是O。的半徑；

DE是。。的切線；

(2)VZC=30°,C￡>=273,DEJ.AC,

：.DE=-CD=y[3,ZCDE=60°,

2

又OD_LDE,

：.NBDO=180O-ZODE-"DE=30°,

OB=OD,

：.Z.OBD=ZODB=30°,

AZAOD=60°,NBOD=120。

又OD=OA,

??△AOZ）是等邊三角形，

AAD=ODfZODA=60°,

NAD石=30。，

在Rt/xADE中，AD=———==2,

cosZADEcos30°

扇形OBD的面積為⑶萬/.

3603

33.（2024?江蘇揚州?中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊

情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論.

如圖，已知"C,CA=CB,。。是AABC的外接圓，點。在。0上（AD>BD）,連接AD、BD.CD.

圖1圖2備用圖1備用圖2

【特殊化感知】

（1）如圖1,若NACB=60。，點。在AO延長線上，則AD-班）與8的數量關系為；

【一般化探究】

（2）如圖2,若NACB=60。，點C、。在AB同側，判斷與CD的數量關系并說明理由；

【拓展性延伸】

（3）若NACB=。，直接寫出AD、BD、8滿足的數量關系.（用含a的式子表示）

【分析】（1）根據題意得出是等邊三角形，則N。皿=60。，進而由四邊形ACDB是圓內接四邊形,

設AD,3c交于點E,則BE=CE,設5。=1,則8=30=1,分別求得AD,3D,即可求解；

（2）在AD上截取。尸=BD,證明△井BGACDWAAS）,根據全等三角形的性質即得出結論；

（3）分兩種情況討論，①當。在上時，在AD上截取DE=3E>,證明AC4BSA￡）￡B,VABEKCBD,

得出叱產,作CFSAB于點八得出43=28。?!!?,進而即可得出結論；②當。在人臺上時，

CD￡>C2

延長3。至G,使得DG=ZM,連接AG,證明ACABSA/MG,ACAD^BAG,同①可得A3=2AC-sin—,

2

即可求解.

解：(1)：C4=CB,ZACB=60°,

AABC是等邊三角形，則NC4B=60。

。。是AABC的外接圓，

?*.AD是NBAC的角平分線，則ZDAB=30°

AD