2024-2025學年河北省石家莊市無極縣文苑中學高二（上）開學

數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知平面向量d=（2,-1）,K=（1,1）.C=（-5,1）,若位+k及〃乙則實數k的值為（）

11111

A.-TB.1C.2D.T

2.設復數z=1-爪是虛數單位），則/—z=（）

A.-1B.1-2iC.1+2iD.-1+2i

3.在平行四邊形4BCD中，^ABD=90°,且AB=1,BD=<2，若將其沿BD折起使平面ABD1平面

BCD,則三棱錐a-BDC的外接球的表面積為（）

A.27rB.87rC.167rD.47r

4.如圖，已知邊長為2的正方體4BCD-&B1GD1，點E為線段CD1的中點，貝|B

直線4E與平面&BCD1所成角的正切值為（）箱

A號B.|…-

5.我市對上、下班交通情況作抽樣調查，上、下班時間各抽取12輛機動車測其行駛速度（單位：km/h）如

下表：

上班時間182021262728303233353640

下班時間161719222527283030323637

則上、下班時間行駛時速的中位數分別為（）

A.28與28.5B.29與28.5C.28與27.5D.29與27.5

6.已知"個數X],%2，…叫的平均數為總方差為s2,則數3打,3冷，…3功的平均數和方差分別為（）

A.x,3s2B.3x,s2C.3%,3s2D.3x,9s2

7.正方形ACDE與等腰直角三角形4C8所在的平面互相垂直，且4C=BC=2,乙4c8=90。，F,G分別是

線段力E,BC的中點，貝ICD與GF所成的角的余弦值為（）

A-?R6

D--T

9

8.在△ABC中，。為4c的中點，E為線段CB上靠近B的三等分點，則屁=（）

A.^AB+yACB.^AB-yACC.^AB+^ACD.fxB-7XC

36366336

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設點M是AABC所在平面內一點，則下列說法正確的是（）

A.若前壽才豆福則點M是ATIBC的重心

B.若前=2話-前，則點M在邊BC的延長線上

C.若。在△48C所在的平面內，角4、B、。所對的邊分別是a,b,c,滿足以下條件2。+2而+歷=

。，則SAOBC=gSAABC

D.若奇=x荏+y而，且無+y=g,則AMBC的面積是△48C面積的2

10.如圖，在正六邊形28CDEF中，點。為其中心，則下列判斷正確的是（）

A.AB=OCED

B初/而F/\/\c

C.\AD\=\BE\\/\/

D.AD^FCAB

11.某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間

月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線統計圖.根據該折線統計圖，下列結論正確的是（）

月接待游客量/萬人

八

45..................................................................................................................................................

，三h5空5

711111111111111」」11」」」」1111111111111」,

123456789101112123456789101112I23456789101112月份

2017年2018年2019年

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致都在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量逐月增加

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設向量五=（3,久），b=（y,9）,S.d//b,則町=.

13.在ATIBC中，內角a,B,C的對邊分別是a,b,c,角C等于60。，若a=4,b=2,貝k的長為

14.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創的柳卯結構，它的外觀是如圖所示的十字

立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90。柳卯起來.若正四棱柱

的高為8,底面正方形的邊長為2,現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積至少為

(容器壁的厚度忽略不計，結果保留兀)

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知同=2,|山=3,(2a—b)-(a+3/))=—34.

(1)求江與3的夾角。；

(2)當x為何值時，向量+9的模長為，7?

16.(本小題12分)

已知復數z=3+bi(b￡R'),且(1+3i)-z純虛數.

(1)求復數z；

(2)若w=z?(2+i),求復數w的模|w|.

17.(本小題12分)

為了讓學生了解環保知識，增強環保意識，某中學舉行了一次環保知識競賽，共有900名學生參加了這次

競賽.為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學生的成績進行統計.請根據尚未完成的頻率分布表和

頻數分布直方圖，解答下列問題.

分組頻數頻率

50.5?60.540.08

60.5?70.50.16

70.5—80.5

80.5?90.516

90.5?100.5

合計501.00

(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內);

(2)補全頻數分布直方圖；

(3)若成績在75.5?85.5分的學生獲得二等獎，問獲得二等獎的學生約為多少人?

18.（本小題12分）

如圖，在四棱錐P—4BCD中，PAl^ABCD,ABHCD,且CD=2,AB=1,BC=2/2,PA=1,AB1

BC,N為PD的中點

(1)求證：AN〃平面PBC.

(2)求平面PAD與平面P8C所成二面角的余弦值

(3)在線段PD上是否存在一點M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是祟，若存在求出翳的值，若

不存在說明理由.

19.(本小題12分)

已知△ABC的角A,B,C對邊分別為a,b,c,且bcosA+acosB=c(3cosA-1).

(1)求cos/；

(2)若瓦？?前=-10,求△ABC的面積S的值.

參考答案

l.B

2.D

3.D

4.A

5.D

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.27

13.273

14.84兀

15.解：⑴因為|國=2,\b\=3,(2a-h)-(a+3fo)=-34.

所以(21—石)■(a+3b)=2a2+5a-b-3b2—34,a-b=-3,

所以cos。=°=—＜，又。E[0,7r],所以6=亭.

\a\\b\2i

(2)若向量xZ+3的模長為夕,

則(久五+6)2=/片+2乂3.°+//=4%2-6久+9=7,

解得x=1或a

16.解：(l)z=3+bi(beR),且(1+3i)?z=(1+3E)?(3+bi)=3-36+(9+b)i為純虛數,

得即b=l,；.z=3+i；

(2)若w=z?(2+i)=(3+i)?(2+i)=5+5i,則|w|=V52+52=5AA2.

17.解：(1)頻率分布表：

分組頻數頻率

50.5?60.540.08

60.5?70.580.16

70.5—80.5100.20

80.5?90.5160.32

90.5?100.5120.24

合計501.00

(2)頻數分布直方圖如下圖所示:

⑶成績在75.5?80.5分的學生占70.5?80.5分的學生的系

因為成績在70.5?80.5分的學生頻率為0.20,

所以成績在75.5?80.5分的學生頻率為0.10，

成績在80.5?85.5分的學生占80.5?90.5分的學生的系

因為成績在80.5?90.5分的學生頻率為0.32,

所以成績在80.5?85.5分的學生頻率為0.16,

所以成績在75.5?85.5分的學生頻率為0.26,

由于有900名學生參加了這次競賽，

所以該校獲得二等獎的學生約為0.26x900=234(人).

18.解：過力作力ElCD,垂足為E,則DE=1,以4為坐標原點，分別以所在直線為x,y,z軸建

立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),B(0,l,0),E(2V7,0,0),

D(272,-l,0),C(2/2,l,0),P(0,0,l),

N(JI,一另),則前=(，1,一另)，

(1)設平面PBC的一個法向量為元i=(x,y,z),

?7,

272%=0,取4=(°工1)

?*?AN?7Vy=——+—=0,

T->

AN1rij

又ANU平^PBC,

：.AN11平面PBC

(2)設平面PAD的一個