北京市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期

期末考試數(shù)學(xué)模擬卷

一、單選題

1.若方程5）=19兩根為。和6,且則下列結(jié)論中正確的是（）

A.。是19的算術(shù)平方根B.b是19的平方根

c.a—5是19的算術(shù)平方根D.6+5是19的平方根

2.對于任何實數(shù)限拋物線y=-%2與拋物線y=—（X—丸下的相同點是（）

A.形狀與開口方向相同B.對稱軸相同

C.頂點相同D.都有最低點

3.下列交通標(biāo)志圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

4.如圖，已知是半圓。的直徑，點C,。將A3分成相等的三段弧，點尸在AC上.若點。在A3上,

ZAPQ=a,對于下列三個結(jié)論判斷正確的是（）

結(jié)論I：若點。在的中點處，則。=145°；

結(jié)論H：當(dāng)點。在30上時，”的最小值為90°；

結(jié)論III:若4=115°,則點。在上.

A.I和iii都對B.I和II都不對c.II對m不對D.I不對III對

5.如圖，在VA3C中，AB=AC,AE是/BAC的平分線，點D是線段AE上的一點（不包括端點），則下列結(jié)論

不正確的是（）

A

A.AEXBCB.ABED^ACEDC.BAD^CADD.AABD^ADBE

6.如圖，C、。是以AB為直徑的圓。上的兩個動點（點C、。不與A、B重合），在運動過程中弦CD始終保持

不變，M是弦CD的中點，過點C作CPLA5于點P.若CD=3,AB=5,PM=x,則x的最大值是（）

B.各C.2.5D.2出

7.如圖是一個指針可以自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤，其中三個正三角形涂有陰影，隨機轉(zhuǎn)動指針，指針落在陰影區(qū)

8.下列各組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長的是（）

A.3,5,7B.5,12,13C.1,1,72D,6,8,10

9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4a+b=0B,a+b>0C.a回c=-l回5D.當(dāng)-1WXW5時，y>0

二、填空題

10.某函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖像在二、四象限內(nèi)；②在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量X的增大而增大.則其函

數(shù)解析式可以為.

11.如果關(guān)于X的一元二次方程式—4x+3m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則根的取值范圍是.

12.己知A(1,%),3(—2,%),4—后,%)在函數(shù)V=；X?的圖像上，則%,%，%的大小關(guān)系是.

13.平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-3,2),B(x,y),且AB〃尤軸，若點5到V軸的距離是到x軸距離的2倍，則

點B的坐標(biāo)為.

14.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由58元降為43元.已知兩次降價的百分率均為x則應(yīng)列出方程

(列出方程即可，不要解方程)

15.如圖，在NE4廠中，NfiAb=90°.以點A為圓心，”的長為半徑作砂，點C為砂的中點，過點C作

。，■交詼于點。，再以點A為圓心，AD的長為半徑作交AE于點及若AE=Ab=40，則圖中

陰影部分的面積為.

16.質(zhì)檢部門對某工廠生產(chǎn)的頭盔質(zhì)量進行抽查，抽查結(jié)果如表:

抽查的頭盔數(shù)10020030050080010003000

合格的頭盔數(shù)951892894797699602880

rn

合格頭盔的頻率一0.9500.9450.9630.9580.9610.9600.960

n

請估計該工廠生產(chǎn)5000個頭盔，合格的頭盔數(shù)有個.

17.如圖所示，AB是。O的直徑，弦CD，AB于H,ZA=30°,CD=26,則OO的半徑是.

三、解答題

18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)2/—5%+3=0

⑵/=2岳-2

19.問題：如圖，是?。的直徑，點C在。內(nèi)，請僅用無刻度的直尺，作出VA3C中邊上的高.

小蕓解決這個問題時，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識，設(shè)計了如下作圖過程.

作法：如圖,

①延長AC交（一0于點，延長3c交。。于點E；

②分別連接AE，BD并延長相交于點F；

③連接并延長交AB于點

所以線段“即為VA5C中邊上的高.

（1）根據(jù)小蕓的作法，補全圖形；

（2）完成下面的證明.

證明：鉆是；。的直徑，點、D,E在；.。上，

:.ZADB=ZAEB^°.（）（填推理的依據(jù)）

:.AE±BE,BD±AD.

.-.AE,是A48C的兩條高線.

AE,所在直線交于點F,

直線R?也是VA3C的高所在直線.

；.CH是VABC中邊上的高.

20.如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，DE//AC,CE//BD,DE、CE交于E.

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）若菱形43。￡）的邊長43=2,ZBAD=120°,求矩形OCED的周長.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=^^+氏+0（。。0）與無軸相交于A,B兩點，與y軸相交于點C,直

線丁=近+〃（左/0）經(jīng)過8,C兩點,已知A（l,0）,C（0,3）,MBC=5.

（2）分別求出直線和拋物線的解析式.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以B,C,尸三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出

點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.如圖，公路腦V和公路PQ在點P處交匯，且NQ/W=30。，點A處有一所中學(xué)，AP=160m.假設(shè)汽車行

駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么汽車在公路上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？

請說明理由.如果受影響，己知汽車的速度為54km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

23.隨著中考時間越來越近，學(xué)生的壓力也越來越大.某校為了解本校九年級學(xué)生的壓力情況，設(shè)計了一份調(diào)查

問卷，對該校所有九年級的學(xué)生進行調(diào)查，并隨機抽取部分調(diào)查結(jié)果，通過分析可將本校九年級學(xué)生的壓力情況

歸納為A（非常大），B（比較大），C（正常），D（沒有壓力）四種類型.具體分析數(shù)據(jù)如下統(tǒng)計圖：

（1）本次抽查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為,在扇形統(tǒng)計圖中，a='

（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整.

（3）若感覺壓力非常大的同學(xué)中有兩名女同學(xué)，三名男同學(xué),從中隨機抽取兩名同學(xué)進行心理疏導(dǎo)，求抽到的兩

名同學(xué)恰好是一男一女的概率.

24.實心球是北京市初中體育學(xué)業(yè)水平現(xiàn)場考試選考項目之一.某同學(xué)作了2次實心球訓(xùn)練.第一次訓(xùn)練中實心球

行進路線是一條拋物線，行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，擲出時起點處高度為1.6m,

當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進至最高點3.4m處.

(2)該同學(xué)第二次訓(xùn)練實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.125(%-4)2+3.6,記第一

次實心球從起點到落地點的水平距離為4,第二次實心球從起點到落地點的水平距離為4，則4

d2.(填“=”或).

25.如圖，A,D,E三點在同一直線上，N1=N2,/3=/4.

(1)求證：AB=AC；

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=。f+法_3與x軸交于兩點A(-1,0)和3(3,0),與y軸交于點C,

拋物線上有一動點P,拋物線的對稱軸交無軸于點E,連接EC,作直線3C.

(1)求拋物線的解析式；

S2

(2)若點P為直線3c上方拋物線上一動點時，連接P8,PC,當(dāng)^^=金時，求點P坐標(biāo);

,△PBC3

(3)如果拋物線的對稱軸上有一動點。，x軸上有一動點M是否存在四邊形PQCN是矩形？若存在，在橫線上

直接寫出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

27.圖，AB=AC=AD,ZBDC=135°.

(1)如圖1,求ZB4c的度數(shù)；

(2)如圖2,連3C,過C作直線/LAC,P點在直線/上，連"，在線段"上截取AE=AB,連此交線段

AC于尸，求證：PA-PC=AF；

(3)在(2)的條件下，連CE,若BE=6,直接寫出四邊形A5CE的面積為.

28.【閱讀思考】

在平面直角坐標(biāo)系X0V中，點A8的坐標(biāo)分別(a,0),(0,9且就片0,點尸是平面內(nèi)一點，連接

AP,BP,OP.定義：在上述條件下，若△AOPsgOB,則稱點尸是48的智慧點，記作尸(A*B).

【初步探究】

(1)如圖1,48分別在x軸、y軸的正半軸上.

①若a=4,b=2,P(2,2),求證：點尸是48的智慧點；

②若P(A*3),用含a,b的式子表示點P的坐標(biāo).(直接寫出答案)

【理解應(yīng)用】

⑵若P(A*3),a=-2b(b>0),且LBP=5,求)的值.

【拓展遷移】

(3)若a=—1,Z?=l,點C(0,3),且△APfis/XBpe,求點尸的坐標(biāo).

北京市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期

期末考試數(shù)學(xué)模擬卷

一、單選題

1.若方程5）=19的兩根為。和6,S.a>b,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.。是19的算術(shù)平方根B.b是19的平方根

c.a—5是19的算術(shù)平方根D.6+5是19的平方根

【答案】C

【分析】本題主要考查了根據(jù)求平方根的方法解方程，求一個數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，先解方程得到

a=5+曬,b=5-M，再根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義求解即可.

【詳解】解：???（％—5）2=19,

x-5=±M，

???a=5+V19,b=5-M，

，a-5=M，b+5=10-M，

5是19的算術(shù)平方根，

.??四個選項中只有C選項說法正確，符合題意，

故選：C.

2.對于任何實數(shù)/I,拋物線>=-%2與拋物線y=—的相同點是（）

A.形狀與開口方向相同B.對稱軸相同

C.頂點相同D,都有最低點

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的圖象與性質(zhì)即可解答；

【詳解】解：對于任何實數(shù)限拋物線y=*與拋物線y=-（x-"）2的相同點是形狀與開口方向相同，

拋物線y=一尤2的對稱軸是y軸，頂點是原點，有最高點（0,0）；

拋物線y=-（X-始2的對稱軸是直線x=/2,頂點是（〃，0）,有最高點（h,0）；

故選：A

【點睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵.

3.下列交通標(biāo)志圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；

B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故B選項符合題意；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形

的定義.

4.如圖，已知48是半圓。的直徑，點C,。將A3分成相等的三段弧，點尸在AC上.若點。在A3上,

ZAPQ^a,對于下列三個結(jié)論判斷正確的是（）

結(jié)論I：若點。在的中點處，則a=145。；

結(jié)論H：當(dāng)點。在30上時，a的最小值為90°；

結(jié)論III：若a=115°,則點。在上.

A.I和III都對B.I和II都不對C.II對III不對D.I不對III對

【答案】A

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的定義可判斷結(jié)論I;圓周角定理可判斷結(jié)論II；根據(jù)/人尸。=115。找到所對應(yīng)的弧以

及弧所對應(yīng)的圓心角找到NAOQ的度數(shù)即可確定。所在位置.

【詳解】解：連接

:點。在C。的中點處,

則ACQ的度數(shù)為90°,

ZABQ=45°,

:四邊形ABQP是圓內(nèi)接四邊形，

/.a=ZAPQ=l?,Qo-ZABQ=135°,故結(jié)論I成立;

連接BQ,PB,

當(dāng)P、8重合時，

ZAPQ=ZAPB=90°,

/.”的最小值為90°；故結(jié)論II成立；

：ZAPQ=U5°,

：.NAPQ所對應(yīng)優(yōu)弧ABQ，

..?根據(jù)圓周角定理易知優(yōu)弧所對圓心角為230。,

則劣弧AP。所對應(yīng)圓心角乙4。。=130。，

VC。為A3的三等分點,

ZAOD=12.0°

故。應(yīng)位于￡）5上，故結(jié)論III成立；

故選：A.

【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，注意區(qū)分優(yōu)弧和劣弧在圓上對應(yīng)不同的圓周角以及圓心角是解題

關(guān)鍵.

5.如圖，在VA3C中，AB=AC,AE是/BAC的平分線，點D是線段AE上的一點（不包括端點），則下列結(jié)論

不正確的是（）

A

A.AEXBCB.ABED^ACEDC.BAZ涇CADD.AABD^ADBE

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一和全等三角形的判定，可以判斷各個選項中的結(jié)論是否正確，從而可以

解答本題.

【詳解】解：；在^ABC中，AB=AC,AE是/BAC的平分線，

.,.AEXBC,故選項A不符合題意；

BE=CE,ZDEB=ZDEC=90°,ZBAD=ZCAD

DE=DE

在ABED和ACED中，＜ZDEB=ZDEC

BE=CE

ABED部八CED,故選項B不符合題意；

AB=AC

△BAD和ACAD中，＜ZBAD=ZCAD

AD=AD

BAD^CAD,故選項C不符合題意

題目中所含條件無法證明AABD^ADBE,故選項D符合題意

故選：D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

6.如圖，C、。是以AB為直徑的圓。上的兩個動點（點C、。不與A、B重合），在運動過程中弦CD始終保持

不變，M是弦的中點，過點C作CPLA5于點P.若CD=3,AB=5,PM=x,則x的最大值是（）

A.3B.45C.2.5D.273

【答案】C

【分析】如圖：延長CP交。。于N,連接ON,易證尸DN,所以當(dāng)DN為直徑時，的值最大.

2

【詳解】解：如圖：延長。交（。于N,連接。N.

AB±CN,

:.CP=PN,

CM=DM,

:.PM=-DN,

2

二當(dāng)ON為直徑時，尸M■的值最大，最大值為之.

2

故選：C.

【點睛】本題考查是圓的綜合題，垂徑定理，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造三角形中位線解決問題.

7.如圖是一個指針可以自由轉(zhuǎn)動的正六邊形轉(zhuǎn)盤，其中三個正三角形涂有陰影，隨機轉(zhuǎn)動指針，指針落在陰影區(qū)

)

111

A.-B.-C.一D.-

6236

【答案】B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合概率公式計算即可.

【詳解】???正六邊形被分成相等的6份，陰影部分占3份,

31

/.指針落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是一=一.

62

故選B.

【點睛】本題考查簡單的概率計算.熟記概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

8.下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.3,5,7B.5,12,13C.1,1,收D.6,8,10

【答案】A

【詳解】A、32+52/72,不能作為直角三角形的三邊長，本選項符合題意；

B、52+122=132；C、12+12=（V2）2;D、62+82=102,均能作為直角三角形的三邊長，不符題意,

故選A.

9.二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.4a+b=0B,a+b>0C.a團團5D.當(dāng)-1WXW5時，y>0

【答案】D

【詳解】A-.?拋物線對稱軸為直線x=2,匚=2,即b=-4a,貝U4a+b=0,選項錯誤；

2a

B.：拋物線過點開口向下，.?e<（）,則a+b=-5a>0,選項錯誤；

C.：拋物線過點（-1,0）,；.a—b+c=O,則5a=-c,即a：c=-l：5,選項錯誤；

D.當(dāng)-lWxg5時，y>0,錯誤，應(yīng)該是當(dāng)TWx/5時，y>0,選項正確.

故選D.

【點睛】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系：（1）二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向，當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；

當(dāng)a<0時，拋物線開口向下；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-B.

2a

二、填空題

10.某函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖像在二、四象限內(nèi)；②在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.則其函

數(shù)解析式可以為.

【答案】y=--（答案不唯一）

X

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)題意作答即可.

【詳解】根據(jù)題意可得此函數(shù)可以是反比例函數(shù)，并且左<0,

2

所以函數(shù)解析式可以為：y=—-，

x

故答案為y=-2（答案不唯一）

X

11.如果關(guān)于X的一元二次方程%2—4%+3根=0有兩個不相等的實數(shù)根，則M的取值范圍是.

4

【答案】m<-

3

【分析】根據(jù)題意一元二次方程有兩不相等實根，則有V=〃-4ac=16-12機>0,然后解得機的取值范圍.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程好―4%+3相=0有兩個不相等的實數(shù)根，

V=Z?2—4?c=16—12m>0，

4

TTl<—j

3

4

故答案為：m<—

3

【點睛】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求解參數(shù)的取值范圍.一元二次方程依2+云+。=09工0)有兩個不

相等的實數(shù)根，貝UA=〃—4〃°>0;有兩個相等的實數(shù)根，則A=〃—44=0；沒有實數(shù)根，則△=〃—4QCV0.

12.己知A(l,%),3(—2,y2),C(-V2,%)在函數(shù)y=的圖像上，則%,%，%的大小關(guān)系是.

【答案】

1,

【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可得二次函數(shù)y=的圖象開口向上，對稱軸為y軸，則當(dāng)了<0時，y隨x的增

大而減小，且當(dāng)x=l時和x=—1時的函數(shù)值相等，由此求解即可.

【詳解】解：：二次函數(shù)解析式為y=-V

4

1,

.?.二次函數(shù)y=—的圖象開口向上，對稱軸為y軸，

4

，當(dāng)％<0時，y隨x的增大而減小，且當(dāng)尤=1時和x=—1時的函數(shù)值相等，

%<%<%?

故答案為：%<%<%?

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)圖像

的性質(zhì).

13.平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-3,2),B(x,y),且AB〃x軸，若點3到V軸的距離是到x軸距離的2倍，則

點B的坐標(biāo)為.

【答案】(4,2)或(-4,2)

【分析】根據(jù)AB平行x軸，兩點的縱坐標(biāo)相同，得出產(chǎn)2,再根據(jù)點3到丁軸的距離是到x軸距離的2倍，得出

忖=2'=4即可.

【詳解】解：：點4—3,2),B(x,y),且A8〃x軸，

；.y=2,

?.?點B到y(tǒng)軸的距離是到X軸距離的2倍,

|=2y=4,

x=±4,

：.B（-4,2）或（4,2）.

故答案為（-4,2）或（4,2）.

【點睛】本題考查兩點組成線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，點到兩軸的距離，掌握兩點組成線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)

系，與x軸平行，兩點縱坐標(biāo)相同，與y軸平行，兩點的橫坐標(biāo)相同，點到兩軸的距離，到x軸的距離為|y|,至Uy軸

的距離是因是解題關(guān)鍵.

14.某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由58元降為43元.已知兩次降價的百分率均為尤則應(yīng)列出方程

（列出方程即可，不要解方程）

【答案】58（1-域=43

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)降價后的價格=降價前的價格（1-降價的百分

率）.

【詳解】解：由題意得，58（1-%）2=43,

故答案為：58（l-x）2=43.

15.如圖，在々X尸中，NBAF=90°.以點A為圓心，AF的長為半徑作砂，點C為防的中點，過點。作

。￡），川交斯于點。，再以點A為圓心，AD的長為半徑作交AE于點3.若AE=AE=4j5，則圖中

陰影部分的面積為.

【答案】8

【分析】連接AC,根據(jù)題意，S陰影=S扇形ACE+SAACO—S扇形ABD,由扇形面積公式，只要求出扇形ACE和扇形A8O的

圓心角和A。、O的長即可，而點。為砂的中點，再結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接AC,?.?點C是跖的中點，ZEAF=90°,AZC4Z）=45°.

???CD±AF,AC=AE=4應(yīng)，

AD=AC-cos45°=4.

45x?x(4A/2)21//90x^x42)。。

S陰影二S扇形ACE+SaACZ)-S扇形ABD二----------二-x4x4--------------=4乃+8-4乃=8?

360--2+360

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)和扇形面積的計算，熟知扇形面積公式、連接

AC得出S陰影=S扇形ACF+SAAC。一S扇形ABD是解題的關(guān)鍵.

16.質(zhì)檢部門對某工廠生產(chǎn)的頭盔質(zhì)量進行抽查，抽查結(jié)果如表:

抽查的頭盔數(shù)10020030050080010003000

合格的頭盔數(shù)951892894797699602880

VY1

合格頭盔的頻率一0.9500.9450.9630.9580.9610.9600.960

n

請估計該工廠生產(chǎn)5000個頭盔，合格的頭盔數(shù)有個.

【答案】4800

【分析】用總數(shù)量乘以合格的頭盔數(shù)穩(wěn)定的頻率即可.

【詳解】解：估計該工廠生產(chǎn)5000個頭盔，合格的頭盔數(shù)有5000x0.96=4800（個）.

故答案為：4800.

【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在概率附近左右擺動，并且隨實驗

次數(shù)的增加擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值

就是這個事件的概率，正確理解頻率估計概率是解決本題的關(guān)鍵.

17.如圖所示，AB是。。的直徑，弦CDLAB于H,NA=30°,CD=26,則。。的半徑是.

【分析】連接BC,由圓周角定理和垂徑定理得出NAC3=90°,CH=DH=-CD=^3,由直角三角形的性質(zhì)

2

得出AC=2CH=26,AC=6BC=26,AB=2BC,得出3C=2,AB=4,求出。4=2即可.

【詳解】解：連接BC,如圖所示：

：AB是。。的直徑，弦于H,

ZACB=90°,CH=DH=gcD=』

ZA=30°,

AC=2CH=243，

在MAABC中，ZA=30°,

:.AC=0BC=2&AB=2BC-

BC^2,AB=4,

OA=2,

即。。的半徑是2；

故答案為2

【點睛】考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握圓周角定

理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

18.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

（1）2X2-5X+3=0

（2）X2=2A/2X-2

3

【答案】(1)x=—,x=1；

l22

(2)x1=x2=-\/2.

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)先移項，然后利用因式分解法解方程即可.

【小問1詳解】

解：V2X2-5X+3=0.

.?.(2x-3)(x-1)=0,

2x—3=0或x—1=0,

3

解得藥=5,x2=i；

【小問2詳解】

解：原方程整理得2缶+2=0，

???（X-V2）2=0，

解得%[=x2=5/2.

19.問題：如圖，是O的直徑，點C在（。內(nèi)，請僅用無刻度的直尺，作出VA3C中邊上的高.

小蕓解決這個問題時，結(jié)合圓以及三角形高線的相關(guān)知識，設(shè)計了如下作圖過程.

作法：如圖，

①延長4。交（。于點。，延長3C交。。于點E；

②分別連接AE，5D并延長相交于點F；

③連接FC并延長交AB于點H.

所以線段“即為VA3C中邊上的高.

（1）根據(jù)小蕓的作法，補全圖形；

（2）完成下面的證明.

證明：是：。的直徑，點。，E在。上，

：.ZADB=ZAEB=°.（）（填推理的依據(jù)）

:.AEYBE,BD±AD.

..AE,是AABC的兩條高線.

AE，班）所在直線交于點尸，

二直線PC也是VA5C的高所在直線.

是VA5C中邊上的高.

【答案】（1）見解析（2）90,直徑所對的圓周角是直角，BD

【分析】（1）根據(jù)所給作圖步驟作圖即可；

（2）根據(jù)圓周角定理可知NAD6=NAE3=90°,進而可得AE，8。是VA5C的兩條高線，再根據(jù)三角形的

三條高線所在直線交于一點即可證明.

【小問1詳解】

解：補全后圖形如下所示:

【小問2詳解】

證明：是。O的直徑，點。，E在。上，

:.ZADB=ZAEB=9Q°.（直徑所對的圓周角是直角）

:.AE±BE,BD±AD.

.-.AE,3D是VA3C的兩條高線.

AE，3D所在直線交于點尸，

直線也是VABC的高所在直線.

.?.CH是VA3C中A3邊上的高.

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角，BD.

【點睛】本題考查圓周角定理以及三角形高線的特點，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角，以及三角形

的三條高線所在直線交于一點.

20.如圖，O是菱形ABCD的對角線的交點，DE//AC,CE//BD,DE、CE交于E.

（1）求證：四邊形OCED是矩形；

（2）若菱形43。￡）的邊長/13=2,ZBAD=120°,求矩形OCED的周長.

【答案】（1）見解析（2）矩形OCED的周長為2（6+1）

【分析】（1）易證四邊形OCED為平行四邊形，菱形對角線互相垂直，根據(jù)有一個內(nèi)角為90。的平行四邊形可以證

明四邊形為矩形；

（2）解直角三角形求出OD、OC即可解決問題；

【小問1詳解】

證明：CE//BD,

/.四邊形OCED是平行四邊形，

：。是菱形ABCD的對角線的交點,

ZCOD=90°,

，四邊形OCEO是矩形；

【小問2詳解】

在菱形ABCD中，

由ABAD=120°可知ZABC=60°，

/.AABC是等邊三角形，

AB=AC=2，

OC=1,DO—BO=V22—I2=A/3，

/.矩形OCED的周長=2（73+1）.

【點睛】本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，矩形的判定，菱形各邊長相等的性質(zhì)，本題中求得OC,OD

的值是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=依2+反+。（。00）與無軸相交于A,B兩點，與y軸相交于點C,直

線丁=米+”（左wO）經(jīng)過3,C兩點，已知A（l,o）,C（0,3）,且BC=5.

（2）分別求出直線和拋物線的解析式.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以B,C,尸三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出

點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（4,0）

,、3c3215c

(2)y——x+3,y——x-----x+3

444

（3）存在,

【分析】（1）由OC=3,BC=5,可由勾股定理求08,進而得點8坐標(biāo);

(2)用待定系數(shù)法即可求解函數(shù)解析式；

(3)設(shè)點尸坐標(biāo)為■，機］,分三類討論：①當(dāng)/PC8=90。時；②當(dāng)/。5。=90。時；③當(dāng)/6PC=90。時，分

別建立勾股定理方程求解點P坐標(biāo)即可.

【小問1詳解】

解：：點C(0,3),即0C=3.

,/BC=5,

在RtBOC中，根據(jù)勾股定理得OB=7BC2-OC2=4，

即點8坐標(biāo)為(4,0).

【小問2詳解】

把6(4,0)、。(0,3)分別代入丁=依+"中，

「(3

4k+n=0k=~~

得《。，解得＜4.

〃二3。

i［n=3

3

???直線5C解析式為y=——x+3；

4

把4(1,0)、5(4,0)、C(0,3)分別代入)=改2+"+0得

3

Cl——

a+Z?+c=04

<16〃+4b+c=0,解得<b=~—

4

c=3

c=3

315

???拋物線的解析式是y=：%?2—x+3.

■44

【小問3詳解】

在拋物線的對稱軸上存在點P,使得以B,C,P三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下:

315

V拋物線的解析式是y=—必--x+3,

-44

拋物線對稱軸為直線x=-*h=:5.

2a2

設(shè)點P坐標(biāo)為［I',.

①當(dāng)NPCB=90°時，有BP?=BC?+PC?.

VBP2=|^4-1^|+m，PC2=+(m-3)2-BC2=25-

=圖+(機-3)2+25,

19

解得:m=—

3

519

故點々

②當(dāng)NPBC=90°時，有PC2=PB2+BC2.

"：PC2=+(m—3)2,PB2=(^4-1^|+m2,BC2=25，

??,[gj+(m—3)2=(4—g[+m+25,

解得：rn——2,

故點E—2];

③當(dāng)NBPC=90°時，有BC~=BP2+PC~.

■：PC2=+(771—3)2,P82=[4_|]+m2,BC?=25,

???25=[4—g]+m2+^+(m-3)2.

解得：叫=3+心3-276

但3+2娓'"53-2⑹

??32’2-*4□~~2J

z7

5195T或[

綜上所述，使得，為直角三角形的點尸的坐標(biāo)為或或

BCP2'T□2J

【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系數(shù)法求解析式，分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度

不大.第（3）問特別注意分類討論思想的運用.做到不重不漏.

22.如圖，公路腦V和公路P。在點尸處交匯，且/Q/W=30。，點A處有一所中學(xué)，AP=160m.假設(shè)汽車行

駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么汽車在公路上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？

請說明理由.如果受影響，已知汽車的速度為54km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

Q

【答案】學(xué)校會受到噪聲影響；理由見解析；學(xué)校受影響的時間為8秒

【分析】過點A作AB，PN于點3,則可得A6=80m,從而可判斷學(xué)校會受到影響；設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到

影響，點F結(jié)束，則易得從而BE=BF,由勾股定理可求得破的長，從而得跖的長，由路程、速

度與時間的關(guān)系即可求得學(xué)校受影響的時間.

【詳解】解：如圖，過點A作ABLPN于點8,

/.AB=^AP=12Q（m）,

80m<120m,

學(xué)校會受到噪音的影響；

設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到影響，點/結(jié)束，則AE=AF=100m,

,/AB=AB,

ARtABE2RtABF,

:?BE=BF,

由勾股定理得：BE=ylAE--AB~=A/1002-802=60（m），

EF=2BF=120m,

:汽車的速度為18m/s,

受影響的時間為：180+15=8（s）

【點睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾

股定理的應(yīng)用等知識，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是本題的關(guān)鍵與難點.

23.隨著中考的時間越來越近，學(xué)生的壓力也越來越大.某校為了解本校九年級學(xué)生的壓力情況，設(shè)計了一份調(diào)查

問卷，對該校所有九年級的學(xué)生進行調(diào)查，并隨機抽取部分調(diào)查結(jié)果，通過分析可將本校九年級學(xué)生的壓力情況

歸納為A（非常大），B（比較大），C（正常），D（沒有壓力）四種類型.具體分析數(shù)據(jù)如下統(tǒng)計圖：

人數(shù)

(1)本次抽查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為,在扇形統(tǒng)計圖中，?=

(2)請把條形統(tǒng)計圖補充完整.

(3)若感覺壓力非常大的同學(xué)中有兩名女同學(xué)，三名男同學(xué)，從中隨機抽取兩名同學(xué)進行心理疏導(dǎo)，求抽到的兩

名同學(xué)恰好是一男一女的概率.

【答案】⑴50；108

3

(2)見解析(3)-

【分析】(1)根據(jù)樣本容量=頻數(shù)+所占百分?jǐn)?shù)，求得樣本容量后，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的意義解答即可.

(2)利用頻數(shù)之和等于樣本容量計算即可.

(3)利用畫樹狀圖計算即可.

【小問1詳解】

本次抽樣調(diào)查的樣本容量是一色=50,

20%

故答案為：50.

參與科技制作社團所在扇形的圓心角度數(shù)為。=360°x—=108°；

50

故答案為：108.

【小問2詳解】

設(shè)三個女生分別為4,32,員，兩個男生分別為81，?2,畫樹狀圖如下:

開始

123

恰好取到一男和一女的概率是一=

205

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，畫樹狀圖求概率，熟練掌握統(tǒng)計圖的意義，準(zhǔn)確畫樹狀圖是解題

的關(guān)鍵.

24.實心球是北京市初中體育學(xué)業(yè)水平現(xiàn)場考試選考項目之一.某同學(xué)作了2次實心球訓(xùn)練.第一次訓(xùn)練中實心球

行進路線是一條拋物線，行進高度y(m)與水平距離x(m)之間函數(shù)關(guān)系如圖所示，擲出時起點處高度為1.6m,

當(dāng)水平距離為3m時，實心球行進至最高點3.4m處.

(2)該同學(xué)第二次訓(xùn)練實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.125(%-4)2+3.6,記第一

次實心球從起點到落地點的水平距離為4,第二次實心球從起點到落地點的水平距離為乙，則4

d2.(填"=”或).

19

【答案】(1)y=——3)+3.4

(2)<

【分析】(1)由圖可知c=L6,頂點坐標(biāo)為(3,3.4),設(shè)二次函數(shù)表達式為y=a(x—3)2+3.4,由此即可求解；

(2)令(1)中拋物線的解析式>=0,且％>0,解方程，得出4=市+3,令第二次訓(xùn)練的函數(shù)解析式>=0,

且x>0,解方程，得出4=J^*+4,即可求解.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意設(shè)丁關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=?(x-3)2+3.4,

把(0,L6)代入解析式得，1.6=a(0-3)2+3.4,

解得，a=——

19

y關(guān)于X的函數(shù)表達式為y=--(x-3)+3.4.

小問2詳解】

根據(jù)題意，令y=0,且無＞0,

1,

/.0=--(x-3)+3.4,

解得，F(xiàn)=JF7+3,x,=—\/17+3(舍去)，

0=-0.1250-4)2+3.6

解得，石=J28.8+4,%=_j28.8+4(舍去)，

??-4=717+3,t/2=728^8+4

***di<d2?,

故答案為：<.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際運用及待定系數(shù)法確定解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及求解是解題的關(guān)

鍵.

25.如圖，A,D，E三點在同一直線上，Zl=Z2，/3=/4.

（1）求證：AB=AC-,

（2）求證：AEYBC.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)已知中的條件兩角夾邊可判定△AQC04AQB,由全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC；

（2）由AB=AC和Nl=/2可得AE_L8c.

【詳解】解：（1）證明：23=24,

:.ZADB=ZADC,

在A4DB和AADC中，

21=Z2

<AD=AD,

ZADB=ZADC

:./^ADC=AADB(ASA),

AB=AC；

(2)證明：在/ABC中，AB=AC,N1=N2,

.-.AE±BC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握這些性質(zhì)和

判定是解決問題的關(guān)鍵.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=奴2+法-3與X軸交于兩點A(-1,0)和3(3,0),與y軸交于點C,

拋物線上有一動點P,拋物線的對稱軸交無軸于點E,連接EC,作直線3c.

(1)求拋物線的解析式；

S2

(2)若點P為直線3C上方拋物線上一動點時，連接當(dāng)黃^=鼻時，求點P坐標(biāo)；

,△PBCJ

(3)如果拋物線的對稱軸上有一動點。，無軸上有一動點N,是否存在四邊形PQCN是矩形？若存在