專題19對角互補模型

考向相似形對角互補模型

府題呈觀

【母題來源】2021年中考北京朝陽卷

【母題題文】如圖，在Rt^ABC中，AC=BC,/ACB=90°,點0在線段AB上(點0不與點

A,B重合)，且0B=k0A,點M是AC延長線上的一點，作射線0M,將射線0M繞點0逆時針

旋轉90°,交射線CB于點N.

(1)如圖1,當k=l時，判斷線段0M與0N的數量關系，并說明理由；

(2)如圖2,當k>l時，判斷線段0M與0N的數量關系(用含k的式子表示)，并證明；

(3)點P在射線BC上，若NB0N=15°,PN=kAM(k^l),且穿<當工，請直接寫出箓的

值(用含‘"

k的式子表示).

圖1圖2備用圖

【答案】(1)0M=0N,

圖1

作OD_LAM于D,OEJ_CB于E,

NAD0=ZMD0=ZCE0=N0EN=90°

.\ZD0E=90°,

VAC=BC,ZACB=90°,

???NA=NABC=45°,

在Rt^AOD中，

OD=OA.sinNA=0A.sin45°=—0A,

_2

同理：0E=yOB,

V0A=0B,

/.OD=OE,

VZD0E=90°,

.'.ZD0M+ZM0E=90°,

VZM0N=90°，

ZE0N+ZM0E=90°,

.?.ZDOM=ZEON,

在RtZXDOM和RtZXEON中,

'/MDO=/NEO

-OD=OE，

、NDOM=NEON

.'.△DOM^AEON(ASA),

/.OM=ON.

(2)如圖2,

圖2

作OD_LAM于D,OE_LBC于E,

由(1)知：0D=—OA,OE=—OB,

22

.OD_OA_1

**OE-OB-k'

由(1)知：

ZD0M=ZE0N,ZMD0=ZNE0=90°,

AADOM^AEON,

,OM_OD_1

**ON~OE~k'

???ON=k?OM.

(3)如圖3,

設AC=BC=a,

AAB=V2a,VOB=k-OA,

.\0B=V2?—a,0A=揚」-a,

k+1k+1

.-.0E=—0B=—a,

2k+1

VZN=ZABC-ZB0N=45°-15°=30°

OE

.\EN==V30E=V3e—

tanZN

?"E=OD=爭A=E，

/.NC=CE+EN=—a+V3-—a,

由(2)知:—=—=i,ADOM^AEON,

ONOBk

..AM_1

.?.ZM=ZN,

?PN-k'

.OM_AM

：.APON^AAOM,

**ON-PN'

???NP=NA=45°,ZAM0=ZN=30°,

.\PE=OE=—a,

.\PN=PE+EN=—a+V3?—a,

k+1k+1

設AD=OD=x,

DM=V3x,

由AD+DM=AC+CM得，

(V3+1)x=AC+CM,

.-.X=—(AC+CM)<—(AC+—XC)=-AC,

2222

.\k>l

...竺_備拚=1+敢

PN-k^+—ia+V3-rk^+—iak+Wk'

,NC

??1+V3fc?

PCk-l_______

【試題解析】(1)作OD_LAM,OE±BC,證明△DOMgZ\EON；

(2)作OD_LAM,OE±BC,證明△DOMs/\EON；

(3)解Rt^EON和斜△AOM.

【命題意圖】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；解直角三角形及其應用;

運算能力；推理能力.

【命題方向】一般設置為解答題，設置為壓軸題.

【得分要點】如圖，ZAOB=ZDCE=90°,ZCOB=a,貝UCE=CD-tana

方法：如圖，過點C分別作CMLOA,CNXOB,垂足分別為M、N

NECECN

易證AMCDs/iNCE,/.------=——=-------=tana,即CE=CD-tana

MDCDCM

1.(2021?浙江稠州二模)特例感知

(1)如圖1,已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,取BC邊上中點D,連接AD,點E

為AB邊上一點，連接DE,作DFLDE交AC于點F,求證BE=AF；

探索發現

(2)如圖2,已知在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3,取BC邊上中點D,連接AD,

點E為BA延長線上一點，AE=b連接DE,作DFLDE交AC延長線于點F,求AF的長；

類比遷移

(3)如圖3,己知在AABC中，ZBAC=120°,AB=AC=4,取BC邊上中點D,連接AD,點

E為射線BA上一點(不與點A、點B重合)，連接DE,將射線DE繞點D順時針旋轉30°交

射線CA于點F,當AE=4AF時，求AF的長.

圖2圖3

圖1

「△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD是高，

.*.BD=CD=AD=」BC,ZB=ZC=45°,ZBAD=ZCAD=iZBAC=45°,

22

VDF±DE,

.,.ZEDF=ZADB=90°,

???NBDE=NADF=900-ZADE,

在ABDE和AADF中，

(ZBDE=ZADF

=AD，

⑵=^LCAD=45°

AABDE^AADF(ASA),

，BE=AF；

(2)解：如圖2中,

圖2

由(1)知，BD=CD=AD,NB=NC=NBAD=NCAD=45

???NEDF=NADB=90°,

.\ZBDE=ZADF=90o+ZADE,

在4BDE和AADF中，

(ZBDE=ZADF

\BD=AD，

S=^CAD=45°

AABDE^AADF(ASA),

，BE=AF,

VAB=3,AE=1,

???BE=AB+AE=4,

???AF=4；

(3)解：如圖3中,

圖3

VAB=AC,BD=CD,

.\AD±BC,ZBAD=ZCAD=-ZBAC=60°,

2

BD=CD=AB?sin60°=2百，

VAE=4AF,

???可以假設AF=m,則AE=4m,BE=4-4m,CF=4-m,

VZEDC=ZEDF+ZFDC=ZB+ZBED,NEDF=NB=30°,

，NFDC=NBED,VZB=ZC,

.,.△EBD^ADCF,：.—=

CDCF

與等=片，整理得，m2-5m+l=0,

解得或手（舍棄），

經檢驗，m=手是分式方程的解.

當點F在CA的延長線上時，CF=4+m,

由△EBDS/^DCF,可得些=吧，

CDCF

,4-4m_2>/3

**2^/34+m，

解得，m=三磬或三科（舍棄），

經檢驗，m=a爐是分式方程的解.

當點E在射線BA上時，BE=4+4m,

VAEBD^ADCF,

.BE_BD.4+4m_273

,?CO—CF，**273-4-m

解得，m=手或手（舍棄），

經檢驗，m=\亙是分式方程的解.

綜上所述，滿足條件的AF的值為手或不磬或手.

2.（2021?安徽模擬）（1）如圖，RtZkABC中，ZA=90°,AB=AC,D為BC中點，E、F分

別為AB、AC上的動點，且NEDF=90°.

求證：DE=DF；

（2）如圖2,RtZkABC中，ZBAC=90°,AC=4,AB=3,AD±BC,ZEDF=90°.

①求證：DF?DA=DB?DE；

②求EF的最小值.

圖1圖2

(1)證明：如圖1,連接AD,

VAB=AC,ZBAC=90°,BD=CD,

.\AD±BC,AD=BD=DC,ZB=ZDAE=45°,

VZADB=ZEDF=90°,

ZADB-ZADF=ZEDF-ZADF,即ZADE=ZBDF,

在ARDF和AADE中，

'/B=ZDAE

■BD=AD'

、/BDF=ZADE

.".△BDF^AADE(ASA),

???DE=DF；

(2)①證明：VADXBC,

AZADB=90°,

???ZADB=ZEDF,

???ZADB-ZADF=ZEDF-ZADF,即NBDF=ZADE,

VZBAD+ZDAE=90°,NBAD+NB=90°,

???NB=NDAE,

???ABDF^AADE,

BDDF

??一，

ADDE

二?DF?DA=DB?DE；

②解：如圖2,連接EF,

在RtZkABC中，ZBAC=90°,AC=4,AB=3,

則BC=y/AB2+AC2=5,

.AnAB-AC12

??AD=-B^=T!

由勾股定理得：DC=V"2—心=學,

VZB=ZB,NADB=NCAB,

???AADB^ACAB,

BDAB

??一，

ADAC

,BDDF

由①可矢口，――=

ADDE

DFAB

??一，

DEAC

???NEDF=NCAB=90°,

???AEDF^ACAB,

EFDEEFDE

??一，即一=—

BCAC54

.口口5DE

??EF=丁，

當DE最小時,EF取最小值,

止匕時，口￡=喏=華=要，

當DEXAC時,DE最小,

5x—12

,EF的最小值為:千

5

3.(2021?四川成都模擬)如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E為線段AD上一動點，連

接CE,過點B作BFLCE,交射線CD于點F,垂足為P.

(1)求證：ACED^ABCF；

(2)當F為CD的中點時，求tanNBAP的值；

(3)若4ABP為等腰三角形時，直接寫出DE的長.

???ND=NBCF=90°,

VBFXCE,

.,.ZBPC=90°,

/.NDCE=900-ZBCP=ZCBF,

AACED^ABCF.

(2)如圖1,過點P作GHLCD于點G,交AB于點H,

???CD=AB=4,

1

.\CF=件=2,

VBC=6,

.,.BF2=22+62=40,

BF=V40=2V10；

BPBC

*.*—=—=cosZCBF,

BCBF

.?.BF?BP=BC2,

/.2VT0BP=62,

解得BP=爭，

ZHBC=ZBCG=ZCGH=90°,

???四邊形BCGH是矩形，

???NPHA=NPHB=90°，GH〃BC,

??ZBPH=ZFBC,

PHBC

—=cosNFBC,

BPBF

，BF?PH=BP?BC,

A2VT0PH=^^X6,

解得PH=%

BHCF

:一=—=sinZFBC,

BPBF

，BF?BH=BP?CF,

A2VT0BH=^^X2,

Q

解得BH=總，

??.AH=4Y=弓，

27

.._PH_~s_27

??tanN/RBAADP——yy—yy.

T

(3)當PA=PB時，如圖2,作PHLAB于點H,則AH=BH,

VZBHP=ZBAC=90°,AD〃BC,

，PH〃AD〃BC,

EPAH

---=1,

CPBH

.EP=CP,

?BF±CE,

?BE=BC=6,

.AE=V62-42=2V5,

.DE=6-2V5；

當PA=AB時，如圖3,作AM_LBP于點M,則BM=PM=±BP,

BPBC

=—=cosZCBF,

BCBF

.nn_BC2_62_36

??力r一麗■一麗一麗,

???BM=

\?AB〃CD,

???ZABM=ZF,

BMCF

=—=cosNF,

ABBF

18

?.?互_一竺，

4BF

???整理得CF=*

ZDCE=90°-ZBCP=ZCBF,

DECF

/.—=—=tanNCBF,

CDBC

CDCF_4x|

???DE=BC=~6~"

當BP=AB=4時，如圖4,則PC=762—42=2底

VZDEC=ZPCB,NEDC=NCPB=90°,CD=AB=BP,

AACDE^ABPC(AAS),

.*.DE=PC=2V5.

綜上所述，DE的長為6-2b或3或2遍.

4.(2021?山東濟寧三模)我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

(1)概念理解：

請你根據上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子：矩形或正方形；

(2)問題探究；

如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P,

連結AC,BD,試探究AC與BD的數量關系，并說明理由；

(3)應用拓展；

如圖2,在RtZXABC與RtZ^ABD中，NC=ND=90°,BC=BD=3,AB=5,將RtZ^ABD繞著

點A順時針旋轉角a(0°<Za<ZBAC)得到Rt^AB'D'(如圖3),當凸四邊形AD'

BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積.

解：(1)矩形或正方形是一個等鄰角四邊形.故答案為：矩形，正方形;

(2)結論：AC=BD,

理由：連接PD,PC,如圖1所示：

；PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線,

/.PA=PD,PC=PB,

.\ZPAD=ZPDA,ZPBC=ZPCB,

.\ZDPB=2ZPAD,ZAPC=2ZP