北京市海淀區交大附中2025屆高二上數學期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．據記載，歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉發現的，該公式被譽為“數學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優美恒等式，將數學中五個重要的數（自然對數的底，圓周率，虛數單位，自然數的單位和零元）聯系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的數學公式”.根據歐拉公式，復數的虛部（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或3．已知等比數列的公比q為整數，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-34．設a，b，c非零實數，且，則（）A. B.C. D.5．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓6．已知函數，若函數有3個零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數，則（）A.3 B.C. D.8．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點，以線段為直徑的圓過右焦點，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.9．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.10．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交11．設，則A.2 B.3C.4 D.512．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經過點，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________14．圓被直線所截得弦的最短長度為___________.15．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為________16．某人實施一項投資計劃，從2021年起，每年1月1日，把上一年工資的10%投資某個項目.已知2020年他的工資是10萬元，預計未來十年每年工資都會逐年增加1萬元；若投資年收益是10%，一年結算一次，當年的投資收益自動轉入下一年的投資本金，若2031年1月1日結束投資計劃，則他可以一次性取出的所有投資以及收益應有__________萬元.（參考數據：，，）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，若函數處取得極值（1）求，的值；（2）求函數在上的最大值和最小值18．（12分）已知函數，其中為實數.（1）若函數的圖像在處的切線與直線平行，求函數的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.19．（12分）已知橢圓的上一點處的切線方程為，橢圓C上的點與其右焦點F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P為直線上任一點，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：20．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值21．（12分）如圖①，在梯形PABC中，，與均為等腰直角三角形，，，D，E分別為PA，PC的中點.將沿DE折起，使點P到點的位置（如圖②），G為線段的中點.在圖②中解決以下兩個問題.（1）求證：平面平面；（2）若二面角為120°時，求CG與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由歐拉公式的定義和復數的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復數的虛部為.故選：D.2、B【解析】分雙曲線的焦點在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點位置進行分類討論，考查計算能力，屬于基礎題.3、A【解析】由等比數列的性質有，結合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數，所以，，即q=2.所以.故選：A4、C【解析】對于A、B、D：取特殊值否定結論；對于C：利用作差法證明.【詳解】對于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯誤；對于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯誤；對于C：因為，所以.故C正確；對于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯誤；故選：C.5、C【解析】根據兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：6、B【解析】構造，通過求導，研究函數的單調性及極值，最值，畫出函數圖象，數形結合求出實數的取值范圍.【詳解】令，即，令，當時，，，令得：或，結合，所以，令得：，結合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當時，，且，當時，，則恒成立，單調遞增，且當時，，當時，，畫出的圖象，如下圖：要想有3個零點，則故選：B7、B【解析】由導數運算法則求出導發函數，然后可得導數值【詳解】由題意，所以故選：B8、A【解析】設雙曲線的左焦點為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點為的中點，也為的中點，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.9、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B10、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據共線定理即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎題.11、B【解析】利用復數的除法運算求出，進而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點睛】本題考查了復數的四則運算，考查了復數的模，屬于基礎題12、C【解析】根據對稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機變量服從正態分布，∴故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設圓方程為，代入原點計算得到答案.【詳解】設圓方程為經過點，代入圓方程則圓方程為故答案為【點睛】本題考查了圓方程的計算，設出圓方程是解題的關鍵.14、【解析】首先確定直線所過定點；由圓的方程可確定圓心和半徑，進而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長度為.【詳解】由得：，直線恒過點；，在圓內；又圓的圓心為，半徑，圓心到點的距離，所截得弦的最短長度為.故答案為：.15、±1【解析】由題意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，由兩平行線間的距離公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±116、24【解析】根據條件求得每一年投入在最終結算時的總收入，利用錯位相減法求得總收入.【詳解】由題知，2021年的投入在結算時的收入為，2022年的投入在結算時的收入為，，2030年的投入在結算時的收入為，則結算時的總投資及收益為：①，則②，由①-②得，，則，故答案為：24三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）求出導函數，由即可解得；（2）求出函數的單調區間，進而可以求出函數的最值.【詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當變化時，與變化如下遞增遞減所以函數在上的最大值為，最小值為.18、（1）（2），【解析】（1）根據平行關系得到切線斜率，進而得到導函數在處的函數值，列出方程，求出，進而得到函數解析式；（2）先由求出，再利用導函數求單調性和最值.【小問1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問2詳解】，則，解得，，，當，解得：，即函數在單調遞減，當，解得：或，即函數分別在，遞增.又，，，，，.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，因為，所以，又，所以當且僅當時，，因為，所以，，因為，所以，故橢圓的標準方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設，，，，，所以，由題知，以為切點的橢圓切線方程為，以為切點的橢圓切線方程為，又點在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當時，，所以，所以，綜上可得；20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯立直線和拋物線方程，根據拋物線定義和焦半徑公式得到，根據韋達定理可得到最終結果；（2）代入點坐標可得到參數的值，設直線的方程為，聯立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結果.【小問1詳解】設點，，點，，聯立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過兩個線面平行即可證明面面平行（2）以為坐標原點建立直角坐標系，通過空間向量的方法計算線面角的正弦值【小問1詳解】如上圖所示，在中，因為D，E分別為PA，PC的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，連接，交于點，連接，因為與均為等腰直角三角形，，所以，，所以，且，則四邊形是平行四邊形，所以是中點，且G為線段的中點，所以中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面【小問2詳解】因為，平面，，所以平面，所以可以以為坐標原點，建立如上圖所示的直角坐標系，此時，，，，因為G為線段的中點，所以，所以，，，設平面的法向量為，則有，即，得其中一個法向量，，所以CG與平面所成角的正弦值為22、