江蘇省南京市2025屆高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若，則當最大時，（）A. B.1C. D.22．甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是（）A.極差 B.平均數C.中位數 D.都不相同3．已知雙曲線的右焦點為F，則點F到其一條漸近線的距離為（）A.1 B.2C.3 D.44．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.5．已知點的坐標為(5，2)，F為拋物線的焦點，若點在拋物線上移動，當取得最小值時，則點的坐標是A.(1，) B.C. D.6．在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.108．已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或9．某校開展研學活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現的結果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種10．若函數，則（）A. B.C.0 D.111．已知數列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.12．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設P為圓上一動點，Q為直線上一動點，O為坐標原點，則的最小值為___14．已知等差數列中，，，則______________15．的展開式中的常數項為_______.16．在正方體中，則直線與平面所成角的正弦值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測量一次身高，得到前7個月的數據如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個月的平均身高；（2）求出身高y關于月齡x的回歸直線方程（計算結果精確到整數部分）；（3）利用（2）的結論預測一下8個月的時候小孩的身高參考公式：18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題的題設條件中.問題：等差數列的公差為，滿足，________?（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和得到最小值時的值.19．（12分）等差數列{an}的前n項和記為Sn，且.（1）求數列{an}的通項公式an（2）記數列的前n項和為Tn，若，求n的最小值.20．（12分）從某居民區隨機抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數據資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預測當該居民區某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數公式中，，，其中，為樣本平均值21．（12分）在公差為的等差數列中,已知，且成等比數列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.22．（10分）已知橢圓，其焦點為，，離心率為，若點滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，的重心滿足：，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據拋物線的定義，結合換元法、配方法進行求解即可.【詳解】因為點P為該拋物線上的動點，所以點P的坐標設為，拋物線的焦點為F，所以，拋物線的準線方程為：，因此，令，，當時，即當時，有最大值，最大值為1，此時.故選：B2、B【解析】由平均數、極差及中位數的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數分別為，，故不同，故選：3、A【解析】由雙曲線方程可寫出右焦點坐標，再寫一漸近線方程，根據點到直線的距離公式可得答案.【詳解】雙曲線的右焦點F坐標為，根據雙曲線的對稱性，不妨取一條漸近線為，故點F到漸近線的距離為，故選：A4、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D5、D【解析】過作準線的垂線，垂足為，則，當且僅當三點共線時等號成立，此時，故，所以，選D6、D【解析】利用正弦定理邊角互化思想化簡得出，利用余弦定理化簡得出，結合，根據函數在上的單調性可求得的取值范圍.【詳解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數在上單調遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題考查三角形內角余弦值的取值范圍的求解，考查了余弦定理以及正弦定理邊角互化思想的應用，考查計算能力，屬于中等題.7、D【解析】先由誘導公式及同角函數關系得到，再根據誘導公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D8、B【解析】分雙曲線的焦點在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點位置進行分類討論，考查計算能力，屬于基礎題.9、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據分步計數原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數原理知有種情況故選：D.10、A【解析】構造函數，再用積的求導法則求導計算得解.【詳解】令，則，求導得：，所以.故選：A11、D【解析】利用公式計算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D12、A【解析】由切線的性質，可得，，再結合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】取點，可得，從而，，從而可求解【詳解】解：由圓，得圓心，半徑，取點A（3，0），則，又，∴，∴，∴，當且僅當直線時取等號故答案為：14、【解析】設等差數列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據等差數列通項公式計算可得；【詳解】解：設等差數列的公差為，因為，，所以，所以，所以故答案為：15、15【解析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數為0，求出的值，從而可得展開式中的常數項【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的常數項為故答案為：1516、【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設該正方體的棱長為1，所以，，，，因此，，，設平面的法向量為：，所以有：，令，所以，因此，設與的夾角為，直線與平面所成角為，所以有，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數的計算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設回歸直線方程是.由題中的數據可知.，..計算結果精確到整數部分,所以,于是，所以身高y關于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當x=8時,y=3×8+50=74,所以預測8個月的時候小孩的身高為74厘米.18、（1）選擇條件見解析，（2）【解析】（1）設等差數列的公差為，由，得到，選①，聯立求解；選②，聯立求解；選③，聯立求解；（2）由（1）知，令求解.【小問1詳解】解：設等差數列的公差為，得，選①，得，故，∴.選②，得，得，故，∴.選③，，得，故，∴；【小問2詳解】由（1）知，，，∴數列是遞增等差數列.由，得，∴時，，時，，∴時，得到最小值.19、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差數列的通項公式列出方程組求解即可；（2）由裂項相消求和法得出，再由不等式的性質得出n的最小值.【小問1詳解】設等差數列{an}的公差為d，依題意有解得，所以an=2n.【小問2詳解】由（1）得，則，所以因為，即，解得n>99，所以n的最小值為100.20、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因為，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關.【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).21、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意求得數列的公差后可得通項公式．(Ⅱ)結合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對值后，利用數列的前n項和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數列，∴，整理得，解得或，當時，;當時，所以或（Ⅱ）設數列前項和為，∵，∴，當時，，∴；當時，綜上22、（1）（2）【解析】（1）運用橢圓的離心率公式，結合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設出直線方程，聯立直線和橢圓方程，利用根與系數之間的關系、以及向量數量積的坐標表示進行求解即可.【小問1詳解】依題意得，點