新疆哈密地區第二中學2025屆高二數學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若構成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，2．展開式中第3項的二項式系數為（）A.6 B.C.24 D.3．函數的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或4．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.5．《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成遞增的等差數列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數為（）A.14 B.16C.18 D.206．函數區間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值7．設，，，…，，，則（）A. B.C. D.8．橢圓的左右兩焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，，則橢圓C的離心率是（）A. B.C. D.9．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.610．復數的虛部為（）A. B.C. D.11．已知函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知直線在兩個坐標軸上的截距之和為7，則實數m的值為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到拋物線上的點的距離的最小值為________.14．過點作圓的切線，則切線的方程為________15．某部門計劃對某路段進行限速，為調查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將所得數據按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.16．若＝，則x的值為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標原點）18．（12分）如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）在數列中，，且，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最大值20．（12分）冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行．為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽，并根據這50名學生的競賽成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學生競賽成績的眾數和中位數．（結果保留一位小數）21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）著名的“康托爾三分集”是由德國數學家康托爾構造的，是人類理性思維的產物，其操作過程如下：將閉區間均分為三段，去掉中間的區間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區間構成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區間長度為，記第n次操作后剩余的各區間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數據：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.2、A【解析】根據二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式中第3項，所以展開式中第3項的二項式系數為.故選：A.3、A【解析】構造函數，結合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數，再由，從而將不等式轉換為，根據單調性即可求解.【詳解】構造函數，因為，所以為上的增函數又因為，所以原不等式轉化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.4、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B5、B【解析】由題可知這是一個等差數列，前項和，，列式求基本量即可.【詳解】設每人所出錢數成等差數列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數為.故選：B6、B【解析】求出得出的單調區間，從而可得答案.【詳解】當時，，單調遞減.當時，，單調遞增.所以當時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B7、B【解析】根據已知條件求得的規律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B8、C【解析】由題可得為等邊三角形，可得，即得.【詳解】∵過垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，∴為等邊三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故選：C.9、D【解析】根據全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D10、D【解析】直接根據.復數的乘法運算結合復數虛部的定義即可得出答案【詳解】解：，所以復數的虛部為.故選：D.11、D【解析】由在上恒成立，再轉化為求函數的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數，則在上恒成立，即，，當時，，所以故選：D12、C【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數m的值.【詳解】當時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設出拋物線上點的坐標，利用兩點間距離公式，配方求出最小值.【詳解】設拋物線上的點坐標，則，當時，取得最小值，且最小值為.故答案為：14、【解析】由已知可得點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，求出斜率，進而可得直線方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標為(0,

0)，圓的半徑,而所以點M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又，得到CM所在直線的斜率為，所以切線的斜率為，則切線方程為：即故答案為：.15、①.②.【解析】根據個小矩形面積之和為1即可求出的值；根據頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；16、4或9.【解析】分析：先根據組合數性質得，解方程得結果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數性質：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據拋物線的定義以及拋物線通徑的性質可得，從而可得結果；（2）設直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據三角形面積公式可得，從而可得結果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點O到直線l的距離，所以，解得，即【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系的相關問題，意在考查綜合利用所學知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以點為坐標原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證明出直線平面；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：因為平面，，以點為坐標原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、、、，所以，，，設平面的法向量為，依題意有，即，令，可得，，則，平面，因此，平面.【小問2詳解】解：由題，，設平面的法向量為，依題意有，即，取，可得，，因此，平面與平面的夾角余弦值為.19、（1）（2）40【解析】（1）根據遞推關系，判定數列是等差數列，然后求得首項和公差，進而得到通項公式；（2）令，求得，進而根據數列的前項和的意義求得當或5時，有最大值，進而求得和的最大值.【小問1詳解】解：∵數列滿足，∴，∴是等差數列，設的公差為d，則，即，解得，∴，∴【小問2詳解】令，得，解得，所以當或5時，有最大值，且最大值為20、（1）（2）眾數；中位數【解析】（1）根據頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據眾數即最高矩形中間值，中位數左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問1詳解】由,得【小問2詳解】50名學生競賽成績的眾數為設中位數為,則解得所以這50名學生競賽成績的中位數為76.421、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質得出直線與平面垂直，進而得出平面；（2）建立空間直角坐標系即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，，，設所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因為直線與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.22、（1）（2）（3）【解析】（1）根據“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區間的長度和為，結合題意，得到，利用對數的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區間長度為，根據“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的