2025屆江蘇省南通市如東中學、栟茶中學數學高三上期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環所占面積與單獨五個環面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內隨機取N個點，經統計落入五環內部及其邊界上的點數為n個，已知圓環半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．2．已知雙曲線：的焦距為，焦點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻．這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數．下列命題：①函數的圖象關于原點對稱；②函數是周期函數；③當時，函數取最大值；④函數的圖象與函數的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④5．函數（）的圖像可以是（）A． B．C． D．6．若各項均為正數的等比數列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知隨機變量服從正態分布，，（）A． B． C． D．8．設復數滿足為虛數單位)，則（）A． B． C． D．9．執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A． B． C． D．10．如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．20 B．27 C．54 D．6411．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．已知復數z滿足,則在復平面上對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.14．四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______15．數列的前項和為，數列的前項和為，滿足，，且.若任意，成立，則實數的取值范圍為__________.16．已知，，其中，為正的常數，且，則的值為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數，），曲線：（為參數）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.18．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.19．（12分）已知函數，它的導函數為．（1）當時，求的零點；（2）當時，證明：．20．（12分）在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大??；（2）若，為外一點，，求四邊形面積的最大值.21．（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．22．（10分）已知各項均為正數的數列的前項和為，且，（，且）（1）求數列的通項公式；（2）證明：當時，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據比例關系求得會旗中五環所占面積，再計算比值.【詳解】設會旗中五環所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.2、A【解析】

利用雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，求出，的關系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，可得：，可得，，則的漸近線方程為．故選A．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，構建出的關系是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題.3、D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.4、A【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數，不是周期函數，不是周期函數，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.5、B【解析】

根據，可排除，然后采用導數，判斷原函數的單調性，可得結果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數在單調遞減在單調遞增，故選：B【點睛】本題考查函數的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調性；（5）值域，屬基礎題.6、C【解析】

由正項等比數列滿足，即，又，即，運算即可得解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，又，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等比數列基本量的求法，屬基礎題.7、B【解析】

利用正態分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎題.8、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復數即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數的乘法、除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.9、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結論．【詳解】執行該程序可得．故選：D．【點睛】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．10、B【解析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。11、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應選．12、A【解析】

設，由得：，由復數相等可得的值，進而求出，即可得解.【詳解】設，由得：，即，由復數相等可得：，解之得：，則，所以，在復平面對應的點的坐標為，在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查共軛復數的求法，考查對復數相等的理解，考查復數在復平面對應的點，考查運算能力，屬于常考題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，，，，由，，，根據平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數形結合求解.【詳解】設，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題.14、【解析】

由題意畫出圖形，補形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補形為長方體，則過一個頂點的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補形是關鍵，屬于中檔題．15、【解析】

當時，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據定義求出，再借助單調性求解．【詳解】解：當時，，則，，當時，，，，，，（當且僅當時等號成立），，故答案為：．【點睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

把已知等式變形，展開兩角和與差的三角函數，結合已知求得值．【詳解】解：由，得，，即，，又，，解得：．為正的常數，．故答案為：．【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數，考查數學轉化思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數，將圓的參數方程，轉化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標方程.（2）利用圓的參數方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達式，再由三角函數最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因為曲線和相切，所以，即：；（2）設，所以所以當時，面積最大值為【點睛】本小題主要考查參數方程轉化為普通方程，考查直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查利用參數的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.18、（1）（2）是定值，且定值為2【解析】

（1）設出點坐標并代入橢圓方程，根據列方程，求得的值，結合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標，聯立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設直線的方程為：，則直線的方程為.聯立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.【點睛】本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當時，求函數的導數，判斷導函數的單調性，計算即為導函數的零點；

當時，分類討論x的范圍，可令新函數，計算新函數的最值可證明．【詳解】(1)的定義域為當時，，，易知為上的增函數，又，所以是的唯一零點；(2)證明：當時，，①若，則，所以成立，②若，設，則，令，則，因為，所以，從而在上單調遞增，所以，即，在上單調遞增；所以，即，故.【點睛】本題主要考查導數法研究函數的單調性，單調性，零點的求法．注意分類討論和構造新函數求函數的最值的應用．20、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理化簡等式可得，即；（2）根據題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【詳解】（1），由正弦定理得：在中，，則，即，，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當時，四邊形的面積取最大值，最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基礎題．21、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據題意列出關于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設點，，點，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化簡即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設點，，點，，聯立方程，消去得：，，①，點，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式得：，為定值．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系、定值問題的求解；關鍵是能夠