2024-2025學年度八年級數學上冊探索三角形全等的條件（HL）專項練習

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（八年級下?山西晉中?期中）如圖，已知431/C,CDL/C,若用“HL”判定Rt^ABC和

全等，則需要添加的條件是（）

A.NB=NDB.ZACB=ACADC.AB=CDD.AD=CB

2.（八年級上?湖北隨州?期末）如圖，ACLBD^P,AP=CP,添加下列一個條件，能利用“HL”

判定△/AP之△CAP的條件是（）

A.ABHCDB.與/C互余C.BP=DPD.AB=CD

3.（八年級上?河南南陽?階段練習）如圖，在A/L8C和ACDE中，NACB=NCED=90。,AB=CD,

BC=DE,則下列結論不一定成立的是（）

CE=BEC.ABLCDD.NCAB=NECD

4.（八年級上?江西撫州?期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上.已知/C=DF,AB=DE,

則這兩個滑梯與地面夾角/ABC與/DFE的度數和是（）

/////////////////////

A.60°B.90°C.120°D.150°

5.（八年級上?湖北十堰?階段練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度/C與右邊滑梯水

平方向的長度。尸相等，若NCA4=32。，貝！JNE7X）=（）

6.（20-21八年級上?天津紅橋?期中）如圖，中，點。是a1邊上一點，DEJLAB于■或E,DFLBC,

&BD=FC,B或DC,N/aM55。，則/瓦圻的度數是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

7.（八年級上?江蘇南京?期末）如圖，垂足為C,A是EC上一點，且ZC=CD,4B=DE.若

AC=3.5,BD=9,則/E的長為（）

A.2B.2.5C.3D.5.5

8.（八年級上?河北張家口?期中）如圖，CDLAD,CB工AB,CD=CB,ZBCD=100°,貝i」NA4C=

A.30°B.40°C.50°D.60°

9.（14-15八年級上?江蘇鹽城?課后作業）如圖，在△力比■中，/年90°,點。在上，BC-BD,DELAB

交AC于點E,△/8C的周長為12,△/龍的周長為6,則%的長為（）

A.3B.4C.5D.6

10.（八年級下?河南平頂山?期中）如圖，AJBC的高2。與CE相交于點。，OD=OE,20的延長線

交8c于點”，則圖中共有全等的直角三角形（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（八年級上?甘肅平涼?期末）如圖，在AABC中，AD,BE分別是3C、/C邊上的高，已知NE=8D；

若/。3=60。，則NCBE的度數為.

12.（八年級上?河南南陽?期中）如圖，在“BC中，/C=90。，點。在48上，BC=BD,DE，AB交

NC于點E,AABC的周長為12cm,V4DE的周長為6cm,則邊3C的長為cm.

13.（八年級上?河北保定?階段練習）如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度/C與右邊滑梯水

平方向的長度。尸相等，兩個滑梯的傾斜角N/8C和ZDFE的數量關系是.

14.（八年級上?新疆伊犁?期中）如圖，DE工AB于■E,DF工AC于■F,若BD=CD,BE=CF,則下

列結論：?DE=DF；②/。平分N8/C；?AE=AD；@AC-AB=2BE,中正確的是.

15.（八年級上?江蘇南通?階段練習）如圖NB=NC=90。，￡是5c的中點，OE平分N/OC,NCED=35。,

則ZEAB=.

16.（八年級上?重慶渝中?階段練習）如圖，在四邊形48。中，AC,2。為對角線，且/C=/3,

ZACD=Z.ABD,AELBD于點、E.若BD=3,CD=2,則。E的長度為.

AB

17.（18-19七年級下?黑龍江?期末）如圖，為。8c的中線，點E在DC的延長線上，連接5E,且

BE=AC,過點B作BHLCD于點H,連接若CE=BH,'的=18,則DH?的長為.

E

18.（七年級下?山西臨汾?期末）如圖，在。8c中，ADL/C,垂足為為。8c外一點，連接BE,CE,

且/BAD+NBEC=180。.若CD=4,C￡=3,則/C的長為.

19.（8分）（八年級上?浙江溫州?期中）已知，如圖，在AJBC中，。是8c的中點，DEJ.AB于點、E,

DFJ.AC于點、F,且BE=CF.求證：ZB=ZC.完成下面的證明過程.

證明：

DEVAB,DF1AC,

ZBED==90°.

是的中點，

BD=,

又YBEMCF,

RtABDE^m/\CDF

.../B=/C.

20.（8分）（八年級上?內蒙古巴彥淖爾?階段練習）如圖，AD,8C相交于點。，AD=BC,

NC=ND=90°.

(1)求證：/\ACB^ABDA；

(2)若N4BC=28。，求/。。的度數.

21.（10分）（八年級下?陜西咸陽?階段練習）如圖，已知“3C,乙4c3=108。，點。在邊3C的延長

線上，連接N48C的平分線交/。于點E,過點￡作垂足為H,且/C￡H=54。.

（1）求/ZCE的度數；

（2）請判斷ZE是否平分NC/尸，并說明理由.

22.（10分）（八年級上?河北邢臺?階段練習）如圖，在中，NCAB=90。，在3C的上方作ABOC,

使BD=CD,且/8。。=90。，AC與BD交于點、E,連接

（1）若。平分N8C。，求證：CE=2AB.

（2）求/D/C的度數.

D

23.（10分）（21-22八年級上?山東聊城?期末）如圖，在中/力反?=45°,于點〃點￡為

皿上的一點，且貸4C,延長巫'交然于點戶，連接物.

（1）求證：△BEMAACD；

S

（2）若刀小0,FB=b,求瞪"的值.（用含a,6的式子表示）

、AFBD

24.（12分）（20-21七年級下?遼寧朝陽?期末）己知：兩個等腰直角三角板△力"和（/C=8C,DC

=CE,NACB=/DCE=9Q°）如圖所示擺放，連接/￡、劭交于點0.而與加交于點四BD與AC交于點、N.

（1）如圖1（兩個等腰直角三角板大小不等），試判斷/￡與初有何關系并說明理由;

（2）如圖2（兩個等腰直角三角板大小相等，即/C=2C）,在不添加任何輔助線的情況，請直接寫出圖2

中四對全等的直角三角形.

圖1圖2

參考答案：

1.D

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定定理的應用，根據垂直定義得出/"C=/Z)CN=90。，根據圖

形可知/C是公共直角邊，根據直角三角形全等的判定HL得出需要添加的條件是斜邊相等，能熟記全等

三角形的判定定理是解題的關鍵.

【詳解】解：AB1AC,CDVAC,

：.ABAC=ZDCA=90°,

在RtZX/BC和RtACDA中,

[AC=CA

[AD=CB'

：.RtA^C^RtACD^(HL),

故選：D.

2.D

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握“HL”是解答本題的關鍵.根據“HL”所需的

條件分析即可.

【詳解】解：:/C工3。，

，NAPB=ZCPD=90°,

,?AP=CP,

要利用“HL”判定△/AP之的條件是AB=CD.

故選D.

3.B

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，屬于基礎

題.

首先證明△NBC也推出CE=/C,/D=/5,ZCAB=ZECD,由/D+/OCE=90。，推出

ZB+ZDCE=90°,推出CD_L43,即可——判斷.

【詳解】解：在比A4BC和用ACDE中，

[AB^CD

\BC^DE

:NABC@CDE,

:.CE=AC,ZD=ZB,ZCAB=ZECD,

QND+NDCE=90。,

/.NB+NDCE=90。,

/.CD1AB,

故A、C、D正確，

故選：B.

4.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，利用HL證明

RtZ\45C名/得到N2=N3,Zl=Z4,由N3+/4=90°可得45C+/DFE=90。.

【詳解】解：由題意得，NBAC=NEDF=90。,

VBC=EF,AC=DF,

：.mAABC^RtAADEF(HL),

???/2=/3,Z1=Z4,

?.*Z3+Z4=90°,

Z2+Z4=90°,BPZABC+ZDFE=90°.

/////////////////////

5.B

【分析】先根據HL證明RtZUBCgRtZVMT"再根據全等三角形的性質得出NCA4=/Q￡尸=32。，最后

根據直角三角形兩銳角互余即可求解.

【詳解】解：在RtZk/BC和RtADEF中，

BC=EF

AC=DF

.?.RtA^BC^RtAD￡F(HL),

J/CBA=/DEF=32。,

：.ZEFD=90°-ZDEF=58°,

故選：B.

【點撥】本題主要考查了用HL證明三角形全等，解題的關鍵掌握有一條直角和斜邊相等的兩個直角三角

形全等.

6.D

【分析】證明及△外叵以△頌(HL),由全等三角形的性質得出N,尸。=N瓦厲=25°,即可得出答案.

【詳解】解：，：ZAFD=155°,

:?/DFC=25°,

■:DFIBC,DE1AB,

:?/FDC=/DEB=9G°，

CF=BD

在Rt叢FDC和RtADEB中，

CD=BE

:.Rt叢FDCWRt叢DEB(HL),

：.ZDFC=ZEDB=25°,

：.ZEDF=180°-ZBDE-ZFDC=180°-25°-90°=65°.

故選：D.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

7.A

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，根據題意，利用直角三角形全等的判定定理得到

RMEOCgRt△胡C(HL),求出相關線段長度，由圖中線段關系表示出口=EC-/C=5C-4C,代值求

解即可得到答案，熟練掌握兩個三角形全等的判定與性質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：???/。=3.5,

CD=AC=3.5f

?/ECLBD,

ZECD=ZBCA,

在RLEDC和RUBAC中，

(AC=CD

\AB=ED

RMEQC也Rt△胡C(HL),

/.EC=BC,

?/BC=BD-CD=BD-AC=9-3.5=5.5f

:.EA=EC—AC=BC—AC=5.5—3.5=2,

故選：A.

8.B

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質，直角三角形中兩個銳角互余，根據條件證明出兩個直角

三角形全等是解題的關鍵.

【詳解】解：CB工AB,

ZADC=ZABC=90°,

在Rt^ADC和Rt^ABC中,

[CD=CB

\AC=AC"

RtAADC注RtAABC（HL）,

:"ACD=/ACB,

=100°,

/.AACB=-/BCD」x100。=50。，

22

/.ABAC=90°-ZACB=90°-50°=40°.

故選：B.

9.A

【分析】先根據角平分線的性質得到"=員；再證明A方△應感兄看△應T得至11〃￡=能接著利用三角形周

長和等線段代換得至！MOMC+ZAflZ和49+〃?=6,所以6+2%=12,從而得到灰的長.

【詳解】解：連接典

■:DELAB

???/瓦廬90°,

在RtABED和Rt4BEC中,

\BE=BE

[BD=BC'

:.RtABED^RtABEC(HL),

：.DE=CE,

???△//的周長為12,

：.AB+AC+BC=129

BP月。=12,

〈△Z龐的周長為6,

：.AD+DE+AE=^,

即AD+EC+AE=&,

：.AD+AC=6,

???6+280=12,

:.BC=3.

故選：A.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握HL證明全等是解答此題的關鍵.

10.D

【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定兩個直角三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.熟練掌握運用全等三角形的判定方法是解題關鍵.

^ADO^AEO,^DOC^EOB^COM^BOM^ACM^ABM^ADB^AEC^BCE^CBD,利用全等三

角形的判定可證明，做題時，要結合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證.

【詳解】解："DO知AEO,

2OCaEOBqCOMaBOMQACMWABMQADBWAECQBCE均CBD.理由如下：

在與△/￡(?中，NADO=NAEO=9。。,

fOA=OA

\OD=OE'

:.AADOOAEO(HL),

.?.ZDAO=ZEAO,AD=AE,

在△DOC與△￡05中,

/ODC=/OEB=90。

<OD=OE

/DOC=/EOB

：.^DOC^EOB(ASA),

：.DC=EB,OC=OB,

：?DC+AD=EB+AE,^AC=AB,

/DAO=/EAO,

：.AMLBC,CM=BM.

在△GW與力切中，N0MC=N0MB=9G。,

fOC=OB

\OM=OM，

：.ACOM^ABOM(HL).

在與中，NAMC=NAMB=90。,

fAC=AB

[AM=AM，

:"ACMAABM(HL).

在△4D8與△4EC中，

'AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

：."DB知AEC(SAS).

在JCE與ACBD中,/BEC=NCDB=90。,

{BC=CB

[BE=CD

：.^BCE^CBD(HL).

故選：D

11.30。/30度

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證△力助g△BD4即可求解.

【詳解】解：?.?/。、BE分別是BC、/C邊上的高，

???/AEB=ABDA=90°

ZCAB=60°,

：.ZEBA=30°

???AE=BD,AB=BA

：.RtMEBmRtABDA(HL)

：.ZDBA=ZEAB=60°,

???ZCBE=/DBA-ZEBA=30°

故答案為：30°

12.3

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，如圖所示，連接5E,利用HL證明Rt△劭CgRt△助。

得到=,根據三角形周長公式推出NO+4C=6cm,再由8。+80+4。+4。=12?111,可得5。=3(?.

【詳解】解：如圖所示，連接取，

,：DE1AB,ZC=90°,

???ZC=/BDE=90°,

在RLEBC和RtAEBD中,

[BC=BD

[BE=BE'

Rt△或。物RtZ\￡5O(HL),

：.CE=DE,

???的周長為12cm,V/OE的周長為6cm,

AB+AC+BC=12cm,AD+DE+AE=6cm,

AD+AE+CE=6cm,即AD+4C=6cm,

???BC+BD+AD+AC=12cm,

2BC+6cm=12cm,

BC=3cm,

故答案為：3.

c

E

BDA

13.NABC+NDFE=90。

【分析】由條件信息可得，“3C與必跖均是直角三角形，由已知可根據HL判定兩三角形全等，再根

據全等三角形的對應角相等，不難求解.

【詳解】解：ZABC+NDFE=90°,證明如下：

由題意可得："3C與")所均是直角三角形，S.BC=EF,AC=DF.

在RtA4BC和RtADEF中,

\BC=EF

[AC=DF'

RtA4BC絲RUZ)￡F(HL),

：.ZABC=ZDEF,

ZDEF+ZDFE=90°,

：.NABC+NDFE=90°.

故答案為：ZABC+ZDFE=90°

【點撥】此題考查了全等三角形的應用.做題時要注意找已知條件，根據已知選擇方法得出全等三角形是

解題關鍵.

14.①②④

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質.利用HL證明RtZXBEZ)也RtACFD全等，根據全等三角形

對應邊相等可得。E=DF,再證明R3/ED也及△4ED(HL),判斷出平分/A4C,可得34F,再

根據圖形即可得到AC-AB=2BE.

【詳解】解：*/DE1AB,DF1AC

NE=ADFC=90°,

又,：BD=CD,BE=CF,

：.RtA^D^RtACFD(HL),

：.DE=DF,①正確，符合題意；

又；/E=NDFC=9Q°,AD=AD,

RtA^￡Z>^RtA^ro(HL),

：.AE=AF,NEAD=/FAD,即4D平分/A4C,②正確，符合題意；

：.AC-AB=BE+CF=2BE,④正確，符合題意；

在中，Z￡=90°,：.AD>AE,③錯誤，不符合題意；

綜上所述，正確的是①②④.

故答案為：①②④.

15.35°

【分析】過點后作垂足為凡由三角形的內角和定理求得/CDE=55。，由角平分線的定義可

知284=110。，由平行線的判定定理可知73〃CD,由平行線的性質可求得=70。，由角平分線

的性質可知EF=EC,則EF=BE,根據HL可證明Rt"EF絲Rt^AEB,從而得到ZEAB=g/DAB=35°.

【詳解】解：過點￡作￡尸上AD,垂足為尸.

VZC=90°,ZCED=35°,

：.ZCDE=55°.

DE平分//OC,

NEDF=55。.

：.ZCD^=110°.

?/Z5=ZC=90°,

AB//CD.

ACDA+ADAB=\^°.

ZDAB=70°.

DE平分NCDA,EF1AD,ECLDC,

：.EF=EC.

是BC的中點，

EF=BE.

在Rt“EF和RLAEB中，

jEF=BE

\AE=AE'

/.RLAEF=^t^AEB.

：.ZEAF=ZEAB.

：.ZEAB=-ZDAB=-x70°=35°.

22

故選答案為35。.

【點撥】本題主要考查的是角平分線的性質、全等三角形的性質和判定、平行線的性質和判定、三角形的

內角和定理等知識點，由角平分線的性質證得斯=￡。是解題的關鍵.

［分析】過點4作/歹_L交CD的延長線于點F,根據AAS證明AAFCdAEB,得至I」AF=AE,CF=BE,

再根據HL證明得至！尸=Z)E,最后根據線段的和差即可求解.

【詳解】解：過點/作力少工⑺交。。的延長線于點凡

FD

NZ尸。=90。，

?/AEA.BD,

ZAFC=ZAED=ZAEB=90°,

在廠。和aZEg中,

ZAFC=ZAEB=90°

ZABE=ZACD

AC=AB

.?.小廠C會A4E5（AAS）,

：?AF=AE,CF=BE,

在Rt△/尸Z）和RtAAED中,

AF=AE

AD=AD

,Vi^AFD=Rt"EZ）（HL）,

/.DF=DE,

?：CF=CD+DF,BE=BD-DE,CF=BE,

:.CD+DF=BD-DE,

2DE=BD—CD,

?:BD=3,CD=2,

IDE=1,

.-.DE=~,

2

故答案為：!

2

【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解答此題的關鍵.

17.3

【分析】

過點A作N尸J_￡尸于點尸，證明"DF均BDH（AAS）,RsC/尸之RtAEB//（HL）,得出BH=HD+DF=2DH,

再由CD為AABC的中線及8〃，。，根據弘初的面積列出關于他的方程，求解即可.

【詳解】

解：如圖，過點A作/尸，斯于點尸

.-.AD=BD,NAFD=ZBHD=90P

又■;ZADF=NBDH

:AADF知BDH(AAS)

:.AF=BH,FD=HD

■■■在RtACAF和RtAEBH中

{AF=BH

[AC=BE

RtAG4F^RtA￡57/(HL)

EH=CF

:.EH-CH=CF-CH,EC=HF

?;BH=EC,EC=HF=HD+DF,HD=DF

:.BH=HD+DF=2DH

?.?CD為443c的中線，BHLCD

...SADBZH7ZDJ=—2S4AIBSH=-2x18=9

又S=-HD-HB=-HDx2HD

：.-HDx2HD=9

2

解得：HD=3

故答案為：3.

【點撥】

本題考查了全等三角形的判定與性質、等底同高三角形的面積關系及直角三角形的面積公式，屬于中檔題.

18.5

【分析】如圖，過3作BFLCE的延長線于尸，證明A/BD且廠(AAS),則/。=即，BD=BF,證

明RMBC。空RM2C尸(HL),則CF=CD=4,EF=CF-CE=1,AD=\,根據NC=/D+CZ),計算求

解即可.

【詳解】解：如圖，過B作2廠，CE的延長線于尸，

ABAD+NBEC=180°,ZBEF+ZBEC=180°,

ZBAD=ZBEF,

ABAD=NBEF,ZADB=NEFB=90°,AB=BE,

:."BD%EBF(AAS),

：.AD=EF,BD=BF,

,/BD=BF,BC=BC,

：.RtAfiCZ>^RtAJ8CF(HL),

CF=CD=4,

：.EF=CF-CE=l,AD=1,

：.AC=AD+CD=5,

故答案為：5.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質.解題的關鍵在于明確線段之間的數量關系.

19.ZCFD,CD,(HL)

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質知識；證明RtAH加且Rt^CCHHL),得出48=/C即可.證

明三角形全等是解題的關鍵.

【詳解】解：???/?￡DF1AC,

:.NBED=NCFD=90。

?.?。是8C的中點，

BD=CD

又；BE=CF,

Rt^BDE^RUCDF(HL)

.-.zs=zc.

20.(1)見詳解

(2)ZC4O=34°

【分析】(1)由“HL”可證之火床3。/；

(2)由全等三角形的性質可得4B4D=NN8C=28。，即可求解.

【詳解】(1)證明：：/C=/D=90。，

△/C3和△瓦)/都是直角三角形，

在Rt^ACB和Rt^BDA中，

AD=BC,AB=BA,

\AD=BC

[AB=BA

：.Rt&ACBmRtABDA(HL)；

(2)在比△力CB中，

ZABC=28°,

.\ZCAB=90o-28°=62°,

由(1)可知△4C5之△5ZX4,

/./BAD=ZABC=28°,

/.ZCAO=/CAB-ABAD=62°-28°=34°.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明△NCBg△瓦切是本題的關鍵.

21.(1)ZACE=36°

(2)/E平分NC4/，理由見解析

【分析】(1)由平角的定義可求解//CD的度數，再利用三角形的內角和定理可求解N￡S=36。，進而

可求解；(2)過點E分別作產于點M,EN1AC于點、N,根據角平分線的性質可證得=EN,

進而可證明結論.

【詳解】(1)???/ZC5=108。，

.■/CD=180。—108。=72。.

QEH1BD,

ZCHE=90°.

???/CEH=54。,

ZECH=90°-54°=36°f

??.ZACE=72。-36。=36。；

(2)AE平分NCAF

理由：如圖，過點E分別作石尸于點"，ENtAC于點、N

???BE平分ZABC

/FBE=ZDBE

EM±BF.EH1BD.EN1AC

ACHE=ZENA=/EMB=90°

在AEMB和AEHB中

ZCHE=ZEMB=90°

<BE=EB

NFBE=NDBE

:.^EMB^EHB(AAS)

.-.EM=EH

■：ZACE=ZECH=36°

二同理可得：EN=EH

EM=EN

在ANAE和AMAE中，

'EM=EN

NEMA=ZENA=90P

AE=EA

:.^NAE^MAE(HL)

ZAEN=ZAEM

【點撥】本題主要考查角平分線的判定與性質，三角形的內角和定理，掌握角平分線的判定與性質是解題

的關鍵.

22.(1)見解析

(2)45°

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質即角平分線性質，

(1)延長A4,CD交于點、F,由題意得烏尸，有4B=AF,由垂直得ND8尸=ZDCE,證得

ABDF為CDE,有3尸=CE即可證明結論；

(2)過點。分別作尸于點N,。河//。于點初，有4DBN出ADCM,得到Z)N=Z)M,可得

△DAN空xDAM,即可求得角度.

【詳解】（1）證明：延長氏4,CD交于點F,如圖,

?;/BCA=NFCA,CA=CA,ZCAB=ZCAF=90°f

.?.△CAB^ACAF(ASA),

/.AB=AF,

BF=2AB.

?/ZDBF+ZF=90°,ZDCE+ZF=90°,

:.ZDBF=ZDCE.

-ZBDF=ZCDE=90°,BD=CD,

:.^BDF^CDE(ASA),

BF=CE,

:.CE=2AB.

(2)解：過點。分別作于點N,于點如圖,

ZDNB=ZDMC=90°.

?;/DBN=/DCM,BD=CD,

..△DBNADCM(AAS),

:.DN=DM,

DA=DA,

:?ADAN^AD^M(HL),

ADAC=ZDAF=-ZFAC=45°.

2

23.(1)見解析

(2)=|

、江BD0

【分析】(1)利用N84D=N4BC=45。得8。=/。，又BE=AC,ZADB=